【摘 要】
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随着信息时代的快速发展,产生了大量高维数据.对数据进行降维的一些传统方法,如主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）,都会产生负值,而在一些实际场景中,负值是没有意义的.非负矩阵分解（NMF）是1999年由Lee和Seung[1]首次提出的,有着广泛应用,如图像处理[1]、文本聚类[2]和社区发现[3]等.相较于其他的矩阵分解方法,由于元素的非负性,所以可解释性很强.比如:在处理图像时,负的像素
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随着信息时代的快速发展,产生了大量高维数据.对数据进行降维的一些传统方法,如主成分分析（PCA）和奇异值分解（SVD）,都会产生负值,而在一些实际场景中,负值是没有意义的.非负矩阵分解（NMF）是1999年由Lee和Seung[1]首次提出的,有着广泛应用,如图像处理[1]、文本聚类[2]和社区发现[3]等.相较于其他的矩阵分解方法,由于元素的非负性,所以可解释性很强.比如:在处理图像时,负的像素点是没有意义的;在文本聚类时,正值代表文档以一定概率属于某个主题,负值则没有任何实际意义.对于非负矩阵分解的理论研究,主要是两方面:一是非负矩阵分解的算法,二是非负矩阵分解的初始化问题.解决非负矩阵分解的算法有很多,大致可分为三大类:乘法更新规则（MU）、投影梯度法和交替的非负最小二乘法（ANLS）.非负矩阵分解的初始化算法也有很多,主要分为两大类:一是基于奇异值分解的初始化算法,二是基于聚类的初始化算法.一般来说,用的比较多的初始化算法是基于奇异值分解的,具有代表性的是由Qiao提出的SVD-NMF[6]和Boutsidis等人提出的NNDSVD[5]算法.在非负矩阵分解的应用方面,研究的比较多的是其在聚类和图像处理方面的应用.进一步的,我们分别介绍了对称和非对称的非负矩阵分解与聚类的联系,以及非负矩阵分解在人脸重构和人脸识别方面的具体原理.Frieze等人[22]提出了一种基于蒙特卡洛方法的矩阵低秩逼近算法,这种方法可以大大节省计算的时间,Chia[23]利用这种思想解决了最小二乘问题.考虑到现有的基于奇异值分解的初始化方法都是基于原矩阵进行的,但是当矩阵的维数很大时,对原矩阵直接进行奇异值分解是很耗时的.受到Frieze等人思想的启发,本文提出了一种基于蒙特卡洛方法的非负矩阵分解初始化算法（FKV-NMF）:通过抽样构造一个更小的矩阵,我们可以对这个小矩阵来做奇异值分解,从而实现对W和H的初始化.数值实验显示,本文提出的初始化算法既在一定程度上保持了计算精度,也节省了计算时间.
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