本文首先对推广的Melnikov函数方法进行了补充和完善，建立了分段光滑系统的Melnikov函数零根与极限环个数之间的关系。其次，利用推广的Melnikov函数方法，研究了两类分段光滑系统。通过复杂的计算，求得Melnikov函数零根的个数，由此分别得到了这两类系统由闭轨扰动产生的极限环的个数。作为对动力系统周期解的另一项研究，本文还考虑了一维周期方程，并给出了几种方法来研究周期解的个数问题和稳定性问题。其中，我们通过建立PoincaM映射！将方程化成规范型或利用平均方程，来确定周期解的个数。另外，通过研究零解的重数，可以了解零解的稳定性。　　本研究分为五个部分：第一章主要介绍了本文的研究背景，包括研究对象以及所用到的主要方法。第二章介绍了分段光滑系统的M elnikov函数方法.针对分段光滑的近哈密顿系统，我们对与推广的M elnikov函数方法相关的结论进行总结归纳，并且在这些已知结果的基础上，给出了周期带分支定理，以及在 H opf分支问题中的M elnikov函数的性质。第三章研究了一类非光滑的Lienard系统的极限环分支问题.针对该切换系统的两种情况：切换直线在 x轴上和切换直线在y轴上，我们先分别讨论了带双参数扰动的两类系统，并利用带双参数的M elnikov函数的第一项和第二项表达式，计算出这两类系统的极限环在闭轨附近的个数。然后，再根据这两类系统与原系统之间的关系，得出原系统在这两种情况下的极限环的个数，并举例说明结论。第四章主要考虑了一类具有Lienard形式的切换系统，该系统的左右子系统均为多项式系统.通过分段光滑系统的M elnikov函数方法，我们得到了系统的Melnikov函数M(h)的表达式.之后，为了能得到该式的零根个数，从而确定系统在闭轨附近的极限环个数，我们将M(h)中与 h有关的项分为三部分来讨论，最终的结果与这三部分有关.最后，我们按照系统中多项式的次数大小分类讨论，得到一系列关于这类系统的极限环在闭轨附近的个数的结果。第五章讨论了一维周期系统的周期解的存在性、稳定性及其个数问题，并给出了研究这些问题的若干理论与方法.本章的主要结果包含四个部分：第一部分阐述了周期解个数和Poincare映射之间的关系，并且总结和改进了已有结论;在第二部分中，我们得到了一维周期方程零解的重数与稳定性之间的关系，并且分别给出了χ=0是奇数重、偶数重和中心型的条件；第三部分给出了一个适用于一般方程的规范型定理；第四部分是平均法理论，阐述了如何利用平均方程来研究周期方程周期解的个数问题。