小波分析自从上世纪八十年代提出以来,因其具有时频局部分析功能,迅速应用到许多学科。它起源于信号分析领域,现在已经在信号分析及处理相关领域有着广泛应用。由于小波基函数具有良好的数学性能,使其在偏微分方程数值计算领域也有所作为。小波基函数具有有限支撑性质,可以捕捉解的局部结构,甚至是解的奇异特征。小波分析主要思想是多分辨分析,它可以把具有多尺度特征的函数在每个尺度上分解,并且小波系数可以和空间位置一一对应,后者在Fourier分析中是不能做到的。这些优良性质,可以让小波方法在模拟复杂流动中具有独到的优势。微分方程小波数值方法可以分为两类：一是小波投影法、二是小波配置点法。本文研究了小波配置点自适应方法,把它应用于非线性动力学方程。我们知道,非线性动力学方程的解具有奇异特征,对差分格式提出了很大的困难,为此人们提出各类复杂格式来对付奇异性问题。它们格式复杂,带有许多经验成分,使用起来并不方便。小波自适应法可以通过设置逼近精度,它对应于小波系数临界值,来控制逼近某节点的值用到其周围节点的疏密程度。这样做有两好处：一是由于小波具有高压缩性能,大量节约了计算、二是整体精度得到控制,避免了数值震荡。本文以两个具有精确解的方程为例,说明了本文方法的精度控制,以Burgers方程及其变形为例,说明了小波配置点自适应方法的有效性。船舶流体力学中,有许多问题具有多尺度特征,比如湍流、激波和船体兴波。湍流具有间歇性,激波具有显著的间断性,这些特征给数值方法带来了很大的难度。我们将把小波自适应方法应用于这些复杂问题的计算和分析。我们研究了湍流数值模拟的小波自适应方法,提出了结合实际流动特征的湍流模拟思路,基于流动数据分析的湍流拟序结构小波模拟,主要体现在小波系数的临界值由流动数据统计得到,避免了人为设置参数,该临界值公式符合湍流的多方面特征。我们以二维湍流为例,计算了三涡并合过程,得到了逼真的演化图像,分析了小波自适应方法确实抓住了流动的主要特征,流动主要蕴含在由尺度系数和显著小波系数重构出来的拟序结构中。本算例中我们用不到10%的显著小波系数和尺度系数重构拟序结构,它们占据了99%以上的拟涡能。在激波数值模拟中,我们指出了第二粘性模型的必要性,并把它用来计算激波,利用局部微分求积法(Local differential Quadrature method,LDQ)计算导数,获得了无数值震荡的高分辨激波解。第二粘性模型和LDQ方法(插值小波),有助于我们理解激波并计算它们。兴波阻力优化具有重要的工程价值,我们试图用小波多尺度方法来研究该问题。应用Michell阻力理论,以Wigley船型为例,说明了小波方法对兴波阻力优化过程。把船体曲面写成小波级数形式,利用小波的压缩性能,可以得到曲面逼近的紧凑表达式。利用小波平移及尺度的正交性质,我们得到了以小波系数表达的阻力公式,以小波系数为优化变量,得到了阻力优化公式,并且改变小波系数时,船体体积保持不变。对阻力在不同船体特征尺度上所占的比重及位置分布做了分析,发现大尺度上的小波系数对阻力影响很大,我们仅对它们优化,减少了优化变量的数目,利用遗传算法,得到了优化船型。