【摘 要】
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本文主要利用非线性动力学的理论和方法研究了两类基因调控网络模型的动态行为.主要包括以下几个方面的内容:一是研究了多时滞对小分子非编码RNA介导的一类基因调控网络的影响.二是研究了一类连续基因调控模型的分岔行为,主要考虑了 Hopf分岔和Bogdanov-Takens分岔,同时利用向前欧拉方法将该类连续基因调控模型离散化,研究了该离散系统的余维1和余维2分岔.具体内容如下:第一章、第二章主要介绍本文
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本文主要利用非线性动力学的理论和方法研究了两类基因调控网络模型的动态行为.主要包括以下几个方面的内容:一是研究了多时滞对小分子非编码RNA介导的一类基因调控网络的影响.二是研究了一类连续基因调控模型的分岔行为,主要考虑了 Hopf分岔和Bogdanov-Takens分岔,同时利用向前欧拉方法将该类连续基因调控模型离散化,研究了该离散系统的余维1和余维2分岔.具体内容如下:第一章、第二章主要介绍本文的选题背景、国内外研究现状,基因调控网络的背景知识以及本文用到的一些非线性动力系统的相关概念、定理和结论等.第三章研究了多时滞对小分子非编码RNA介导的一类基因调控网络的影响.通过分析相应的线性化系统的特征方程,研究了系统正平衡点的渐近稳定性,并证明了时滞变化能诱导系统产生Hopf分岔.此外,利用中心流形定理和泛函微分方程的规范形理论,给出了确定Hopf分岔的方向和周期解稳定性的显式公式.最后,给出了一些数值模拟来支持理论结果.第四章研究了一类基因调控网络的稳定性和两种分岔.我们给出了该系统完整的稳定性分析,详细地描述了模型的非双曲平衡点的Hopf分岔和Bogdanov-Takens分岔.为了确定Hopf分岔产生的极限环的稳定性,计算了第一Lyapunov数,并给出了数值例子.通过计算cusp附近的普适开折,给出了Bogdanov-Takens分岔的三条分岔曲线,即鞍结点、Hopf和同宿轨分岔曲线.数值模拟的结果表明,该模型还具有其它类型的分岔,包括saddle-node分岔和cusp分岔,并给出了分岔图和相图,验证了理论结果的有效性.这些结果表明,在这类基因调控网络中存在着丰富的分岔行为.第五章利用向前欧拉方法将上述连续基因调控网络离散化,研究了离散化的基因调控网络模型的分岔和稳定性.首先,我们讨论了不动点的稳定性条件.其次,利用中心流形定理和分岔理论,导出了三种余维1分岔（fold分岔、flip分岔和Naimark-Sacker分岔）的存在条件.然后,利用几种变量替换和引入新参数,研究了余维2分岔（fold-flip分岔、1:2、1:3和1:4强共振）的发生条件.同时,为了便于验证,将这些分岔曲线返回到原始的变量和参数中进行表示.最后,数值模拟不仅证明了所给结果的有效性,而且表明离散基因调控网络存在更复杂且有趣的动力学行为.第六章对全文的主要工作进行总结,同时提出一些值得进一步研究的问题.
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