当前，群论研究的热点之一就是李代数。李代数的研究不仅丰富了代数理论，更对物理学，化学有较大促进。目前，省内对李代数的研究，大多数集中在半单性质方面。其中，Killing型，Cartan子代数起到了重要作用。但对幂零李代数而言，Killing型(是平凡的)却无可利用。因而需要探索其它途径。　　自由群线性表示的研究是代数表示的研究的一个分支，但该分支进展一直比较缓慢。本文将致力于自由群线性表示的性质研究，借助深入探索本原元的组合性质，找到使得线性表示像幂单的充要条件。这种研究是组合群理论中的研究方法和自由群表示相结合的尝试；同时，也是在计算机技术充分发展阶段，利用编程计算辅助证明的尝试；本文的结论，还对两个矩阵张成幂零李代数给出了判定条件，是对幂零李代数研究方法的探索。　　设G为域F上的二元生成自由群, C8×8是复数域C上的8阶矩阵群，ρ:G→C8×8是群G的矩阵表示。本文将研究使得ρ的像ρ(G)为幂单群的充要条件。　　由于G是二元生成的，因此，问题转化为矩阵A，B生成的ρ:G→C8×8的子群幂单的充要条件。再根据Jordan标准型理论, A，B之一必可化为下列形式：J8，diag(J7,1)，diag(J6,E2),diag(J6,J2)，diag(J5,E3)，diag(J5,J3),diag(J5,J2,1)，diag(J4,J4)，diag(J4,E4)，diag(J4,J3,1)，diag(J4,J2,E2)，diag(J4,J2,J2)或者其标准型若当块阶数不大于3。本文将研究中间几种情况。　　从另一个角度看，两个上三角幂单矩阵必然张成幂零李代数，而对幂零李代数的研究，Killing型也起不了太大作用。因此，本文的研究内容也可以看作是用组合群的方法判定什么样的两个矩阵可以张成幂零李代数。