论文部分内容阅读
早在上世纪八十年代,人们即引入了吸引子的概念,它能有效地描述非线性发展方程所产生的动力系统的长时间行为。由于吸引子的研究涉及反映许多自然现象的非线性发展方程,这些方程有很强的实际背景,至今关于吸引子的研究仍相当活跃。对于确定性系统的吸引子问题很多学者已进行了研究,但现实问题中,大多数系统受到随机噪声的扰动影响是不可避免的,确定性系统模型只是实际系统的理想化,随机系统对自然规律的描述更为本质和真实。在本文中,主要讨论随机吸引子的存在性问题。我们将利用Li[22]中所建立的关于拟连续随机动力系统吸引子存在性问题的研究方法和理论体系讨论有界区域D上带有乘法噪音的Reaction-diffusion方程以及P-Laplacian方程在一般p次可积空间Lp(D)(p≥2)中随机吸引子的存在性并且利用尾部估计方法讨论无界区域上带有乘法噪音的P-Laplacian方程的随机吸引子的存在性。
在第二章中我们考虑带有乘法噪音的Reaction-diffusion方程{du-(△u-f(u))dt=bu o dW(t),(1)u=0 on(δ)D.
其中D(C)Rn是带光滑边界的有界区域,参数6＞0,f是首项系数为正的奇数次多项式:f(s)=∑ajsj,a2m-1＞0,m＞1.J=0W(t)是概率空间(Ω,(F),P)上的独立的双边实值Wiener过程,其中Ω={ω∈(C)(R,R):ω(0)=0},(F)是Borelσ-algebra,P是Wiener测度。对于由此方程所产生的随机动力系统,我们最终得到如下结果:定理2.4设D(C)Rn,D有界,则由随机Reaction-diffusion方程(1)产生的随机动力系统在Lp(D)(p≥2)中存在随机吸引子。
在第三章中我们讨论带乘法噪音的P-Laplacian方程:{du+(-div(|▽u|p-2▽u)+f(u))dt=bu o dW(t),on D×Ru=0 on(δ)D.(2){ u(x,0)=u0(x),x∈D其中D(C)Rn是带光滑边界的有界区域,参数b＞0,f是首项系数为正的奇数次多项式;W(t)是概率空间(Ω,(F),P)上的独立的双边实值Wiener过程,其中Ω={ω∈(C)(R,R):ω(0)=0},(F)是Borelσ-algebra,P是Wiener测度。我们首先通过证明由此方程产生的L2(D)上的连续随机动力系统存在一个紧的随机吸收集,从而得到:定理3.4:设D(C)Rn有界,则由随机P-Laplacian方程(2)所生成的动力系统(ψ)在L2(D)中有随机吸引子A2,即A2在L2(D)中是紧的、不变的,并且在L2(D)的拓扑下吸引L2(D)中的所有有界集。
然后以Li[22]中对于拟连续随机动力系统吸引子存在性的判别原理为依据,即证明由带乘法噪音的P-Laplacian(2)所产生的随机动力系统在Lp(D)(p＞2)中有一个有界吸收集且该系统是ω-极限紧的,最终得到:定理3.6:设D(C)Rn有界,则由随机P-Laplacian方程(2)所生成的动力系统(ψ)在q次可积空间Lq(D)((A)q＞2)中有随机吸引子Aq(ω)。
在第四章中,我们讨论无界区域上带乘法噪音的P-Laplacian方程:du+(-div(|▽u|p-2▽u)+λu)dt=(f(x,u)+g(x))dt+cuodW(t),x∈Q,t＞0.(3)
满足边界条件:u|(δ)Q=0,
及初值条件:u(x,0)=u0=(x),x∈Q.
其中Q=D×Rn-1,D在R中有界,λ＞0,c＞0,P＞2为常数,g∈L2(Q),f是满足下列条件的非线性函数:f∈(C)1(Q×R,R);(I)f(x,u)u≤-a1|u|p+Ψ(x)对任意x∈Q及u∈R;(ii)|f(x,u)|≤(～f)(x)对任意x∈Q及u∈R,(iii)
其中a1为正常数,(Ψ)∈L1(Q),(～f)∈L2(Q)。W是(Ω,(F),P)上双边实值Wiener过程,其中Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0},(F)是Borel a-algebra,P是wiener测度,时间流定θsω(t)=ω(t+s)-ω(s),t,s∈R.是一族遍历变换。
我们将利用尾部估计的思想,即证明方程的解当空间变量及时间变量充分大的时候一致小,从而得到系统的渐近紧性,并结合系统有界吸收集的存在性,最终得到:定理4.6若(I)-(iii)及9∈L2(Q)成立,则由(3)产生的动力系统(ψ)在L2(Q)中有唯一的(D)-随机吸引子。
在本文最后一部分我们讨论了有界区域上的Kuranoto-Sivashinsky系统:{du+(vD4u+D2u+uDu)dt=0,(4){u(x,0)=u0(x)x∈Ω其中Ω=(-L/2,L/2),L＞0,v＞0,Dju(-L/2,t)=Dju(L/2,t)j=0,1,2,3.∫L/2-L/2u(x,t)dx=0.
该系统的全局吸引子问题虽然在Temam[1]中已有讨论,但Temam[1]中只得到了此系统在L2(D)的子空间奇函数空间中全局吸引子的存在性。我们得到了当区间长度满足L/≤2π√v＜1.(Ⅰ)时,则该系统在整个L2(Ω)中存在全局吸引子,即该吸引子吸引L2(Ω)中的所有有界集:定理5.3假设(Ⅰ)成立,则由(4)所定义的半群{S(t)}t≥0拥有一个全局吸引子A,吸引H中的所有有界集。