本文的主要由两个相对独立又有着内在联系的部分组成. 在第一部分中，我们给出了有界导出范畴的Krull-Schmidt性质的一个初等的证明.这部分的讨论主要集中在第三章.设A是一个artin代数，则有限生成模范畴上的有界导出范畴Db(mod-A)满足Krull-Schmidt性质，即：每个对象都可分解为有限个不可分解对象的直和，且不可分解对象的自同态环都是局部环.这个结论早已为众人熟知，但经典的证明却并不多见.有的证明方法需要借助较庞大的知识体系，如K-理论[8]，有的证明需要借助同伦范畴的特性[11，12].本文中，我们借助三角范畴中的t-结构这个工具，使得证明变得更初等，更简短. 注意到一个加法范畴满足Krull-Schmidt性质，当且仅当这个加法范畴满足幂等可裂性，并且加法范畴中每一个对象的自同态环都是半完全环[12，定理A.1].因此证明有界导出范畴的Krull-Schmidt性质就归结为证明它的幂等可裂性问题. 设C是一个加法范畴，C中幂等态射e:X→X称为可裂的，如果存在u:X→Y和v:Y→X，使得v。u=e，并且u。v=idY.若C中所有的幂等态射都可裂，则称C是幂等可裂的.我们的一个重要观察就是，在三角范畴中，幂等态射的可裂性对扩张封闭. 在第二部分中，我们讨论了投射模上的同伦范畴中Auslander-Reiten三角的存在性，并给出了Auslander-Reiten公式.这一部分的讨论主要集中在第四章和第五章. 对几乎可裂序列的进一步研究引发了更多新的概念和结论，人们把这些统称为Auslander-Reiten理论.如今，该理论已推广到任意环上的模范畴，并已成为代数表示论中一个强有力的研究工具.很自然地，我们希望在三角范畴中发展一套Auslander-Reiten理论.其中，Auslander-Reiten公式和Auslander-Reiten三角的存在性定理为Auslander-Reiten理论的中心部分. Happel最先开始研究三角范畴中的Auslander-Reiten理论.他在1987年给出了三角范畴中Auslander-Reiten三角的定义[18，19]. 定义对于一个三角范畴中的正合三角(exacttriangle)→αY→βZ→γ∑X，若α为左几乎可裂态射，β为右几乎可裂态射，则称此正合三角为Auslander-Reiten三角. 他指出了有界导出范畴中Auslander-Reiten三角的存在性：若一个artin代数∧的整体维数有限，则对于Db(∧-mod)中的任何一个不可分解对象Z，存在Auslander-Reiten三角X→Y→Z→X[1]，其中A-mod为有限表示模范畴. Krause在2000年用Brown表示定理证明了所有的紧生成的三角范畴中都存在Auslander-Reiten三角.这一结果把Auslander-Reiten三角的研究提升到无界复形中.但是具体描述这些Auslander-Reiten三角的始端和末端的对应关系是很困难的. Krause和作者在[29]中讨论了一类具体的紧生成三角范畴，即由各分支均为内射右A-模的复形所构成的同伦范畴K(Aop-Inj).我们建立了该范畴中的Auslander-Reiten公式，从而给出了该范畴中的Auslander-Reiten三角两端的复形之间准确的对应关系.并且，该公式包含了模范畴中经典的Auslander-Reiten公式作为其特例；模范畴中所有已知的几乎可裂序列都可以由K(Aop-Inj)中的Auslander-Reiten三角推导得出. Neeman在07年刚做的工作中，研究了另一类同伦范畴-由各分支均为投射左A-模的复形所构成的同伦范畴K(A-Proj).他详细刻划了K(A-Proj)中所有的紧对象：一个复形为K(A-Proj)中的紧对象当且仅当它同构于形如X的复形，使得X为左有界的有限生成投射模复形，且X﹡=Horn∧(X，∧)的上同凋群只有有限项非零.他还指出当∧为右凝聚环时，三角范畴K(∧-Proj)是紧生成的[34].这启发了我们研究K(∧-Proj)上的Auslander-Reiten三角. 设κ为一个完备的局部的交换noether环，A是κ上的noether代数.则∧是右凝聚环，因此K(∧-Proj)是紧生成的.设m为κ的唯一的极大理想，E是κ-模κ/m的内射包，则E是κ-模范畴中的内射上生成子.定义函子D=Homκ(-，E)：Modκ→Modk.该函子诱导了人一模上的函子D：∧-Mod→Aop.Mod，且D限制在artin模做成的子范畴上有一个对偶D:AArt→Aop-Noeth，其中Aop-Noeth表示由右noether模构成的满子范畴.注意到对∧的假设条件保证了noether∧-模即为有限表示∧-模. 我们建立了K(∧-Proj)上的Auslander-Reiten公式.定理5.1.1设Z和Y为任意两个投射∧-模复形，且Z为K(∧-Proj)中的紧对象，则有自然同构DHomK(∧-proj)(Z，Y)≌HomK(A-Proj)(Y,pDZ﹡).其中P为投射分解函子. 需要强调的是，K(∧-Proj)中的Auslander-Reiten公式从形式上看与K(∧oP-Inj)中的Auslander-Reiten公式是完美的对偶，但推导过程却无法由K(∧op-Inj)中的情形通过对偶直接得到.这是因为函子D把内射∧op-模映射为平坦∧-模，而非投射∧-模.Neeman在[34]中还考察了同伦范畴K(∧-Flat)，证明了K(∧-Proj)是K(∧-Flat)的Bousfield子范畴，即嵌入函子K(∧-Proj)→K(∧-Flat)存在右伴随J﹡.这个伴随函子在Auslander-Reiten公式的推导中起到了很关键的作用. 进一步考察，我们发现了函子J﹡与我们所熟悉的投射分解函子P有紧密的联系.Neeman在[34]中没有直接给出J﹡的具体描述，而是具体刻划了K(∧-Proj)在K(∧-Flat)中的右垂直子范畴.利用这一刻划，我们构造了三角函子之间的自然态射：设r为两个三角函子的复合映射则存在三角函子之间的自然态射ζ：r-j﹡.注意到r(X)=pX. 我们的一个重要观察是，ζ限制在K(∧-Flat)的某个子范畴上时为自然同构.命题4.2.3设X为右有界的平坦模复形.则ζX为同构. 这一命题使得我们在定理5.1.1的公式中最终用pDZ﹡取代了j﹡(DZ﹡)的形式. 设丁是一个紧生成的κ-线性三角范畴.则对任意的紧对象X，函子DHomT(X，-)把T中上积映射为Abel群范畴中的积，则由Brown表示定理可知，在K(Inj∧)中存在对象tX使得DHomT(X，-)≌HomT(-，tX).Krause在2000年已经用此同构证明了紧生成三角范畴上Auslander-Reiten三角的存在性.定理(Krause，2000)设T为紧生成的三角范畴.Z为丁中的紧对象，其自同态环T=EndT(Z)为局部环.记μ：Г/radГ→I为Г-模范畴中的内射包.则存在T中的Auslander-Reiten三角tZ[-1]→αY→βZ→γtz，其中tZ为T中对象，满足同构γ是典范映射在上述同构下的像.Homr(HomT(Z，-)，I)≌UomT(-，tZ)，HomT(Z，Z)→πГ/radГ→μI结合定理5.1.1中的同构与Krause的存在性定理，又注意到Db(mod-A)的Krull-Schmidt性质保证了K(∧-Proj)中的紧对象不可分解当且仅当其自同态环为局部环，立刻可知命题5.2.2设Z为K(∧-Proj)中的不可分解的紧对象，则存在Auslander-Reiten三角pDZ﹡[-1]→Y→Z→pDZ﹡. 最后，我们指出模范畴中的所有已知的几乎可裂序列都可由K(∧-Proj)中的某个Auslander-Reiten三角在函子Cok1作用下得到.定理5.2.3设M为不可分解非内射artin∧-模，则存在K(∧-Proj)中的Auslander-Reiten三角pM[-1]→αY→β(pDM)﹡→γpM，使得函子Cok1作用此三角上可得模范畴中几乎可裂序列0→M→α1Cok1(Y)→β1TrDM→0. 在这两部分看似独立的结论的证明过程中都使用了torsionpair的研究手段.在第一部分中，它等同于t一结构；在第二部分中，Bousfield子范畴是torsionpair的特殊情形.在本文第二章，我们详细论述了三角范畴中torsionpair的概念，并给出了其基本性质的证明.