基于偏微分方程的数字图像处理是一个新颖的课题。其在实际操作中的有效性使得越来越多的数学家们关注它。如今,偏微分方程已应用于图像处理和计算机视觉中的许多方面,包括图像分割、运动物体的追踪、物体边缘的探测、图像恢复、图像量化等且都取得了很好的结果。 用偏微分方程及几何变分原理进行图像处理的基本思想是将图像信息加入建立的模型中,通过求解该模型的最优解得到期望的结果。 本文就是针对其在图像修复和填充方面中的应用模型进行介绍并分析不同模型其适用性以及对于特定的问题应该采用何种模型。事实上,若采用单一模型处理问题其效果就不能达到理想状态。因为许多图像都是纹理和结构的融合,所以不能用单一的纹理合成法或偏微分模型进行处理。 在本文中,详细介绍基于偏微分方程的inpainting模型,包括:TV-inpainting模型和Elastica-inpainting模型,并且简要介绍了在Mumford-Shah边缘探测模型基础上改进而来的Mumford-Shah-inpainting模型和Mumford-Shah-Euler inpainting模型的能量泛函的定义方式。由于此类模型不适用于具有强纹理特性的图像,从而介绍了一种结合上述两类方法并能有效处理自然风景图像的修复问题的基于样本合成的图像修复方法。但是,值得注意的是,inpainting模型对于图像的修复基本上都是由已知信息通过扩散等方式得来的,因此,如果填补的关键信息未知,则就无法都得理想的效果了。