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本论文由彼此相关而又独立的三章所组成.第一章为预备知识,简要介绍了本文所需要的数学工具.在§1.1节中,简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展.给出了Riemann-Liouville型分数阶微积分算予和Caputo型微积分算子的定义及主要性质.在§1.2节中,给出了几类特殊函数,包括Besscl函数、Mittag-Le(ffl)er函数、H-Fox函数和广义H-Fox函数的定义及其某些重要公式.在§1.3节中,介绍了分数阶微积分的Fourier变换,Laplace变换,以及Hankcl变换.本章是以后各章的基础.
第二章,将分形介质中时间分数阶Fick定律J(r,t)=D▽-1λt(▽)P(r,t),(1)代入分形介质连续性方程1/rdf-1·a/ar(rdf-1J)=-aP(r,t)/at(2)并考虑到吸附项(或源项)的存在得如下无限分形介质中含有分数阶振子的分数阶反应扩散方程aλP(r,t)/atλ=D/rdf-1·a/ar(rdf-1-θaP(r,t)/ar)-α/(Γ(β)∫to(t-t)β-1(r,t)dt,(3)引入初边条件P(r,O)=δ(r-ro)),(4)P(O,t)=P(+∞,t)=0,(5)其中P(r,t)为浓度分布,1≤df≤3为分形维数,反映了复杂形体占有空间的有效性,它是复杂形体不规则性的量度,O＜λ≤1,O＜β≤1,aλ/atλ为Caputo分数阶微分算子.为了求解方程,我们引入了广义H-函数,利用Laplace变换,双H-函数的Hankel变换及广义H-函数理论,求解出了该类问题以广义H-函数表示的解的解析表达式()
第三章在第二章的基础上将初始条件做了扩展,考虑更加广泛的初始条件aiP(r,t)/ati|t=0=Pi(r),i=0,1,,m-1,t=0,(7)在此基础上对方程进行求解,并将得到的解的积分表达式P(r,t)=m-1∑i=0∞∑n=0∫∞0kyvJv(ky)~Fi(k)(-α)n/n!tλn+βn+iE(n)λ,βn+i+1(-k2Dtλ)dk,(8)在一定条件下将其化简和第二章的结果进行比较.