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用G=(V，E)表示一个图，A代表一个非平凡的阿贝尔群，用F(G，A)表示所有函数f：E(G)→A组成的集合，用D表示E(G)的定向。我们说G是A-可着色的当且仅当对于每一个f∈F(G，A)都存在着一个A-着色c：V(G)→A，使得对每条边e=xy∈E(G)（假设边的定向是由x发向y的），c(x）-c(y)≠f(e）．如果G代表一个图，我们定义它的群着色数χg(G)是在定向D下，使得G是A-可着色的，|A|≥m的最小的m值。我们这篇论文主要涉及到的是群着色数和一些给出的结果。
令k=maxHδ(H)，其中H是图G的任一支撑子图，我们可以得出：Xg(G)≤k+1.简单图G和H的笛卡尔乘积记作图G□H，这个图的顶点集合是 V(G)×V(H)，它的边集是有所有的这些序列对(u1，v1)(u2，v2)组成的，如果满足以下两种情况：(1)u1u2∈E(G)，同时v1=v2；(2)v1v2∈E(H)，同时u1=u2．所以，我们可以验证χg（Pn□Pm）=3，χg（Pn□Cm）=4，χg（Cn□Cm）≤4，χg(Qn)≤n-1.
本文主要证明的结论是：(1)令数△≥3，图G满足：△(G)≤△，并且K△+1￠G，那么有Xg(G)≤△；(2)对任意简单图G1和G2有：
Xg(G1□G2)≤max{xg(G1)+1，xg(G2)+1}.