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在动力系统中，时滞是不可避免的．在物理学，生态学，流行病学，社会经济学等许多学科中提出了大量的具有时滞的微分方程模型．理解这类模型的动力学性质具有非常重要的意义．分支理论是时滞微分系统的一个重要问题，本文研究分支理论在时滞微分系统中的应用，主要讨论时滞微分系统的分支周期解在局部和大范围内的存在性，亦即讨论局部日Hopf分支和全局Hopf的存在性．
首先，介绍了时滞微分方程的发展和应用，分支及分支周期解的研究和发展．介绍了关于局部Hopf分支和全局Hopf的预备定理，这些是本文的理论基础．
其次，本文研究了一个二阶具时滞捕食-食饵系统，给出了该系统正平衡点的稳定性和局部Hopf分支，并结合一般泛函微分方程的全局Hopf分支理论，研究了该系统的全局Hopf的存在性．
最后，本文研究了一个三阶乳糖正负调控网络模型，讨论了系统的正平衡点的稳定性和局部Hopf分支，并结合一般泛函微分方程的全局Hopf定理，给出了该模型的全局Hopf分支的存在性条件。