【摘 要】
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大型稀疏线性方程组的求解和大型矩阵指数函数的计算一直是很多科学计算和人工智能领域的核心问题,构造这两类问题的高效算法也一直是数值代数领域的研究热点之一.本文一方面将贪婪的随机Kaczmarz（GRK）算法和随机Gauss-Seidel（GRGS）算法应用于岭回归和分解线性系统的求解当中,构造了这两类线性系统的松驰型随机迭代算法;另一方面,利用反位移技术和重正交化的Arnoldi过程,提出了一种新的
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大型稀疏线性方程组的求解和大型矩阵指数函数的计算一直是很多科学计算和人工智能领域的核心问题,构造这两类问题的高效算法也一直是数值代数领域的研究热点之一.本文一方面将贪婪的随机Kaczmarz（GRK）算法和随机Gauss-Seidel（GRGS）算法应用于岭回归和分解线性系统的求解当中,构造了这两类线性系统的松驰型随机迭代算法;另一方面,利用反位移技术和重正交化的Arnoldi过程,提出了一种新的逼近化学主方程精确解（矩阵指数函数与向量的乘积）的数值算法（SIRA）.主要创新工作包括:1.对岭回归问题,考虑到它的正规方程组的系数矩阵是对称正定的,本文首先利用对称正定矩阵的性质修改GRK算法的概率准则和迭代式,构造了求解岭回归问题的变式GRK算法并分析了其收敛性.其次,通过在变式GRK算法的迭代式中引入位于区间（0,2）内的松弛参数,得到了松驰型的变式GRK算法并证明了它的收敛性.最后,为了最大限度利用迭代过程中所计算出的正规方程组的残差信息,本文又提出了松弛型的变式GRK算法的加速迭代格式.数值实验表明,本文提出的三种算法的收敛速率明显比文献[51]中方法快,并且含参数的变式GRK算法及其加速格式所用CPU时间也要少得多.2.RK-RK算法和REK-RK算法是目前求分解线性系统的两种最新的随机迭代算法.考虑到GRK算法和GRGS算法的快速收敛性,本文分别构造了针对相容和不相容分解线性系统的松弛型的GRK-GRK算法和GRGS-GRK算法并给出了这两种算法的收敛性分析.数值实验表明,对于分解线性系统,本文所提出的算法在迭代步和CPU时间方面明显优于RK-RK算法和REK-RK算法.3.FSP算法和Krylov FSP算法是目前求解化学主方程（CME）的两种经典的降阶算法.本文利用反位移技术和重正交化的Arnoldi过程,构造了逼近化学主方程精确解的SIRA算法,该算法不需要确定初始有限状态投影集合及状态投影展开方法,计算过程简单.通过对具体的生化反应系统模型进行实验,结果表明对中等规模的化学主方程来说,SIRA算法比FSP算法和Krylov FSP算法的精度都高.
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