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Lyapunov矩阵方程在控制理论、通讯和动力系统中起着非常重要的作用，我们通常根据它的解来检测系统的稳定性、可控性和可观性。在很多情况下需要大型Lyapunov矩阵方程的解，但一般情况下很难来求得其准确解，因此只能用数值方法来求得其近似解。通过象Krylov子空间法那样找到一个投影矩阵进行模型降阶，从而得到一个规模比较小的控制系统。本文主要是在Lyapunov方程求解中引入了几种新的数值计算方法来求解两类Lyapunov矩阵方程。
1．引入一种求解离散Lyapuncv方程的新的迭代方法，通常之为Kronecker积迭代法。首先我们对所要求解的离散Lyapunov方程：AXA-X=Q除了已有的Schur分解方法，再利用squared Smith方法，并且对此方法进行了一定的改进squaredsmith方法，它们相比减少了计算量和存储量。而且此方法与其它迭代方法相比具有比较快的收敛率。
2．求解扩展的连续的Lyaptmov矩阵方程：AP+PA-2<,σ>P+Q=0，对比通常使用的若当标准型方法，利用三种不同的方法进行求解(1)Schur分解方法(2)当A存在特征分解因式时，特征值分解方法(3)Squared smith方法．这里引入了一种求解连续的Lyapunov矩阵方程的新方法，一般称之为特征值方法。首先我们假设矩阵A是可以被对角化，接着就可以用A的特征值分解式来代替A和A，由此变换的Lyapunov方程就可以很容易的求解了，最后就可以利用一个简单的线性变换来求得原来方程的解。并进行了数值实验，显示了新处理方法的优点。