【摘 要】
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近年来,连续数据同化算法已被应用于一大类耗散型偏微分方程.连续数据同化也用于数值研究.本文共分为两部分,第一部分研究了Allen-Cahn方程的全离散数据同化算法;第二部分在数据同化算法的基础上我们设计了参数恢复算法.首先,我们提出了一种连续降尺度数据同化算法,用于在缺乏初始数据的情况下求解带临界参数的Allen-Cahn方程.对于空间离散化,我们考虑了有限元方法,并采用隐式单支方法进行时间离散.
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近年来,连续数据同化算法已被应用于一大类耗散型偏微分方程.连续数据同化也用于数值研究.本文共分为两部分,第一部分研究了Allen-Cahn方程的全离散数据同化算法;第二部分在数据同化算法的基础上我们设计了参数恢复算法.首先,我们提出了一种连续降尺度数据同化算法,用于在缺乏初始数据的情况下求解带临界参数的Allen-Cahn方程.对于空间离散化,我们考虑了有限元方法,并采用隐式单支方法进行时间离散.利用基本反应扩散方程的耗散性,在松弛参数和临界参数的适当条件下,我们获得了近似解与参考解之间的一致时间误差估计.数值实验验证和补充了我们的理论结果.其次,我们利用最近提出的连续数据同化算法恢复了非线性Allen-Cahn方程的扩散临界参数.由于近似扩散界面宽度与真实物理界面宽度的差异,我们得到了Allen-Cahn方程的真解与隐显单支全离散有限元法得到的数据同化解之间的一致时间误差.单支方法的强A-稳定性是证明初始误差指数衰减的关键.基于后验误差估计,我们开发了几种算法,仅使用空间离散相场函数来恢复真解和真实临界参数.数值实验验证了理论结果,也展现了算法的有效性.
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