在图像处理、信号处理和工程计算中涉及到的许多问题最终都会归结为矩阵的计算或矩阵性质的判定,而不同的应用会导出一些具有特殊结构或特殊性质的矩阵,例如广义周期七对角(反七对角)矩阵、Toeplitz矩阵、幂等矩阵和三次幂等矩阵等。近年来,对七对角(反七对角)矩阵逆矩阵、行列式的计算以及幂等算子线性组合性质的判定问题都是研究者们关注的热点问题。　　 本论文主要研究了两类矩阵问题。首先,研究了一类在图像处理过程中出现的稀疏矩阵——广义周期七对角(反七对角)矩阵的求逆和对应线性系统的求解问题,给出了一些简单实用的算法;其次,讨论了在信号处理过程中涉及到的幂等算子及其线性组合幂等性(三幂等性)的判定问题,并给出了判定的充要条件及证明。　　 基于上述两个问题,本论文的研究内容主要分为以下三个方面:　　 一.广义周期七对角(反七对角)矩阵的求逆算法　　 利用七对角矩阵的特殊结构,通过矩阵的LU分解(或n维扭曲分解),给出了求解广义周期七对角(反七对角)矩阵逆矩阵的三种新型算法。基于求解过程的相对独立性,这些算法最终均可通过并行计算的方式来完成对广义周期七对角(反七对角)矩阵的求逆且不需要对矩阵的各阶顺序主子式做任何限制。算法的复杂度分析表明,基于n维扭曲分解的求逆算法在计算复杂度上大为降低,计算时间大约是一般LU算法的一半。三种算法都适用于多种计算机代数系统,例如Mathematics,Macsyma,Matlab和Maple等。最后通过一些算例来说明算法的可靠性。　　 二.求解周期七对角线性系统的改进“追赶法”　　 针对周期七对角线性系统,基于系数矩阵的LU分解,提出了一种改进的“追赶法”算法,该算法克服了普通“追赶法”只能求解由各阶顺序主子式非零的矩阵作为系数矩阵的五对角、七对角线性方程组的缺陷。数值实例表明改进的“追赶法”应用于周期七对角系统的求解比普通“追赶法”具有良好的优越性。　　 三.三个三幂等矩阵线性组合的三次幂等性判定　　 在OskarMariaBsasalary等人对三个可交换n×n阶非零幂等矩阵线性组合的幂等性判定研究的基础上,讨论了三个可交换n×n阶非零三幂等矩阵,在至少有一对矩阵正交的情况下,其线性组合仍是三次幂等矩阵的全部情形。给出了判定的所有充要条件并对条件的充分性和必要性做了详细证明,所得结果推广了三幂等矩阵线性组合的三次幂等性判定中已有的一些结论。