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在微分方程的诸多的数值方法中，微分求积法(DQM)具有原理简单、计算精度高、程序实施方便等优点，这使得DQ法在许多领域得到了广泛应用。但是DQ法的应用具有局限性，当节点取的较多时，系数矩阵会出现病态以及数值不稳定等缺陷。为了改善传统DQ法的缺陷，本文提出了一种基于重心有理插值函数的微分求积法。该方法采用高阶重心有理插值函数作为基函数，通过数值算例表明该方法比传统微分求积法计算精度高，收敛性好，同时具有实际的应用价值。下面将本文的主要工作介绍如下： 1、根据DQ法的基本思想，选择重心有理插值函数作为DQ法的插值基函数，形成了求解一维边值问题的重心有理插值微分求积法。该方法具有适用性强，计算精度高，数值稳定性好的优点。以二阶变系数常微分方程两点边值问题为例，运用直接法处理边界条件，验证了该方法的有效性。并将该方法用于求解高阶(四阶)常微分方程，配合δ法处理边界条件，仍然取得了令人满意的效果。 2、将所形成的重心有理插值DQ法推广到二维，在二维函数中，对x方向和y方向分别用重心有理插值DQ法离散并与有限差分法结合，形成了求解二维抛物型问题的重心有理插值DQ法。将该方法应用到求解变系数抛物型初边值问题和Burgers方程组的初边值问题，通过数值实验与现有文献的数值结果比较，验证了该方法的优越性。 3、将本文方法应用到轴向运动梁的稳定性分析中。由D’Alembert原理，建立了轴向运动黏弹性变截面梁的运动微分方程，采用重心有理插值DQ法求解。对于简支黏弹性变截面梁，用该方法得到了特征方程，获得了变截面梁前两阶无量纲复频率与无量纲轴向运动速度的变化关系。分析了梯形截面梁和抛物形截面梁随轴向运动速度变化的失稳形式，并与等截面梁进行了比较，同时分析了变截面梁的高度比和黏弹性系数对梁动力稳定性的影响。