在控制系统工程,电子网络,生物学,物理及化学动力学过程中经常遇到刚性微分方程.刚性微分方程适用于隐式方法求解,这是与普通微分方程的一个明显不同.这样在求解刚性微分方程时就需要用具有较大稳定区域的隐式方法.近些年来,国内外许多作者都对刚性问题算法理论产生了浓厚的兴趣并对其做了深入的探究,其中高效数值算法的构造就是重要问题之一线性多步法和Runge-Kutta法是求解常微分方程组初值问题的典型的算法.线性多步法形式简单、便于计算,因此是使用较广泛的方法之一.Runge-Kutta方法是一类求解刚性微分方程的重要经典算法.本文就线性多步法的一般形式,研究绝对稳定区域更大的线性多步法.一种好的计算方法应该是计算量小,且获得满足指定精度要求的计算结果,因此误差是判别计算方法优劣的重要指标.这里只考虑理论误差即截断误差是不够的,还必须考虑计算误差.相容性决定着局部离散误差的大小,而零稳定性表示误差和舍入误差的传播方式.但当步长很小时,覆盖求解区间[a,b]的步数N很大,这样不仅意味着消耗大量的计算机时间,而且由于误差的积累会使精度很差,这说明仅考虑零稳定性是不够的.为了达到给定的精度,找到恰当的计算步长,引进绝对稳定性的概念,这种稳定性对实际计算更有指导意义.可以看出绝对稳定区域的大小和形状对于估价一种数值方法和进行方法之间的比较是重要的.当绝对稳定区域越大时,对特定的特征值,步长的限制就越小.特别对刚性微分方程,系统的特征值很大,当绝对稳定区域远远小于特征值时,步长就会限制的很小,产生上述所说的问题,所以我们希望绝对稳定区域尽量大,尽量减少对步长的限制.本文首先介绍了刚性问题的特点,回顾了求解刚性问题的一些重要算法,包括著名的Gear构造的一类k步k阶线性多步公式和Runge-Kutta方法,以及简单介绍了近些年来有关求解刚性问题的构造方法.在此基础上,研究了一些新的算法,它们均为线性多步方法.在一维区间内,通过对绝对稳定区间分析,即绝对稳定区域与实负半轴相交的情况来进行分析.提出了一族含有一个自由参数的二步三阶线性多步法方法、含有二个参数的三步四阶线性多步方法、及含有一个参数的三步三阶。Adams-Moulton方法.在方法满足零稳定性条件的情形下,通过对自由参数的选取,寻求具有尽可能大的绝对稳定区间的方法.通过边界轨迹法画出了其对应的绝对稳定区域,并与一些传统方法的绝对稳定区域进行了比较.结果表明所获方法比Adams-Moulton方法具有更大的绝对稳定区域,更适合刚性微分方程.与Gear方法比较,虽然没有其绝对稳定区域大,但比其精度高,对于解决一些刚性微分方程还是有意义的.最后,分别对一维和二维刚性微分方程(组)进行了数值试验,数据结果与理论结果一致.