【摘 要】
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可计算建模与高性能算法是数学及交叉学科的重要研究方向.可计算建模需要综合运用数学及交叉学科的知识合理建立数学模型,使得模型可数值计算.本文主要针对两类可计算抛物型偏微分方程模型开展数值算法的研究,主要由以下四章组成:第一章中,简述了可计算建模的研究内容,介绍了两类可计算抛物型方程模型的研究现状,即具移动边界的半线性对流扩散方程问题和带有Stefan-Boltzmann交界面条件与Robin边界条件
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可计算建模与高性能算法是数学及交叉学科的重要研究方向.可计算建模需要综合运用数学及交叉学科的知识合理建立数学模型,使得模型可数值计算.本文主要针对两类可计算抛物型偏微分方程模型开展数值算法的研究,主要由以下四章组成:第一章中,简述了可计算建模的研究内容,介绍了两类可计算抛物型方程模型的研究现状,即具移动边界的半线性对流扩散方程问题和带有Stefan-Boltzmann交界面条件与Robin边界条件的七层抛物型方程及参数优化决定问题,简述了本文相关的预备知识和主要研究内容.第二章中,针对具移动边界的一维半线性对流扩散方程,引入伸缩变换和指数变换,将原方程转化为固定区域上的等价方程,设计了时间方向二阶、空间方向四阶高阶紧致差分算法.利用能量分析的方法证明了差分格式是唯一可解的,且数值解在L∞-范数意义下是收敛的.将算法推广至移动边界下的二维半线性对流扩散方程上,分别提出了时空方向均为二阶收敛的Crank-Nicolson格式和时间方向二阶、空间方向四阶收敛的高阶紧致差分算法.最后开展数值实验,并与已有只针对线性方程所建立数值算法的精度作比较,体现了本文算法的优势.第三章中,建立带有Stefan-Boltzmann交界面条件和Robin边界条件的七层抛物型方程刻画高温环境-三层热防护服装-空气层-人体系统中的热传导机制.根据热安全性要求,归结热防护服三层厚度同时决定反问题.通过建立稳定的有限差分方法预测人体皮肤表面的烧伤程度,利用粒子群算法搜索热防护服装三层织物的最优厚度,数值模拟结果可为热防护服装的设计提供科学依据.第四章中,总结了本文中针对两类可计算抛物型方程模型提出的高精度数值算法,未来将针对更一般的方程提出高精度数值算法并完善理论分析.
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