在日常的生活中,我们经常接触到各种各样的金融产品,如股票,外汇,基金等。在本文的开端,我们先介绍一下什么是金融衍生品。简单来说,金融衍生品就是一类价值依赖于原生资产的金融产品。在金融市场中有很多形式的金融衍生品,常见的金融衍生品有远期合约,期货,期权等。如果我们设原生资产为股票,债券,外汇或商品等,则为了对这些原生资产进行风险控制,相应的金融衍生品有:股票期货(期权),债券期货(期权),货币期货(期权)以及商品期货(期权)等。在过去的几十年中,金融衍生品在金融市场中的地位变得越来越重要。现在期货与期权交易在全世界的很多交易所中都十分活跃。金融机构、基金经理和企业的资金部之间经常在场外市场进行远期合约、互换、期权和其他形式的衍生品交易。我们经常可以看到金融衍生品被嵌入到债券之中、被用于公司高管的报酬之中、被用于资本投资项目中、被用作将按揭风险从发起人转移到投资人的工具等等。下面,我们分别介绍一下常见的几类金融衍生品。远期合约是一种在将来的某一时刻以约定价格买入或卖出某一产品的合约。远期合约可以与即期合约对照,即期合约是一种立刻买入或者卖出资产的合约。远期合约通常是金融机构与其客户之间在场外市场进行的交易,交易双方都存在风险。如果即期价格低于远期价格,那么市场被称为正向市场或溢价。如果即期价格高于远期价格,那么市场被称为反向市场或差价。在远期合约中,同意在将来某一时刻以约定价格买入原生资产的一方被称为多头。相应的,同意以相同条件卖出该原生资产的另外一方为空头。与远期合约相似,期货合约也是一种在将来某一时刻以约定价格买入或者卖出某一产品的合约。但是,与远期合约不同,期货合约交易必须在交易所进行,不能在场外市场进行交易。期货合约的交易双方不一定知道交易对手,只需要按照合约进行交易。而且为了使得交易能够正常的进行,交易所对期货合约制定了一些标准化的要求和一系列的交易机制来保证交易双方会履行合约的承诺。一般来讲,对于远期合约与期货合约的多头来说,每一单位合约的收益为ST-K,其中K为合约的交割价格,T为合约的到期时间,ST为原生资产在合约到期时的市场价格。在到期日T,合约中的多头必须按照合约规定以价格K购买价值为ST的资产。同样,对于远期合约与期货合约的空头来说,每一单位合约的收益为K-ST。期权是一种持有人可以在一个确定的时间T,按照约定的价格K买入或者卖出一定数量的原生产品的权利。与远期合约不同的是,期权产品既可以在交易所交易,也可以在场外市场交易。期权可以分为两种基本类型:看涨期权与看跌期权。看涨期权是一种按照确定的价格K,在确定的时间T购入一定数量原生资产的合约。而看跌期权则是一种按照确定的价格K,在确定的时间T卖出一定数量原生资产的合约。常见的期权有欧式期权与美式期权。欧式期权只能在约定的执行日期T执行,而美式期权可以在执行日期前的任何时间执行。因此,美式期权给了期权的持有者更多的选择,相应的价格也就更高,在交易所中的交易的股票期权大多为美式期权。需要注意的是,期权赋予持有者去做某一项事情的权利,持有者可以放弃使用这种权利,即期权的持有者可以选择放弃执行期权。相反的,远期合约与期货合约中的双方必须要按照约定买入或者卖出原生资产。尽管获得远期合约或期货合约不需要支付任何费用,但必须付出一定的费用才能拥有期权。即为了获得这种权利,期权的持有者需要需要付出一定的期权金。在本文中,我们将期权金记为c。从上面的介绍我们可以知道,因为欧式期权只能在约定的时间执行,因此欧式期权比美式期权分析起来要容易一些。但是,美式期权常常与相应的欧式期权具有同样的性质。在本文中,我们只讨论欧式期权,尤其是与欧式看涨期权相关的定价问题。除了最初的欧式期权,市场中逐渐出现了美式期权,亚式期权,回望期权,彩虹期权等其他种类的期权。在期权交易的早期,如何对各种期权进行定价是大家所关心的重点问题。数学家和金融工作者提出了各种各样的模型来对期权进行定价,如二叉树模型,随机过程模型等。作为数学在经济学中的成功应用的典范,现代期权定价理论在经济学研究上扮演着重要的角色,期权交易在世界经济中所占的比重也越来越大。还出现了专门的交易所,对期权进行标准设定,以确保期权交易的顺利进行。但是,人们始终无法得到期权定价的简单方法,即便是对基本的欧式期权。1973年,Fisher Black与Myron Scholes提出了著名的Black-Scholes方程。这个方程后来被Robert Merton进行了拓展与改进。Black-Scholes方程分析了期权价格与原生资产价格之间的关系,并给出了一个简单的定价公式来对期权进行定价。这一巨大发现立即在数学界与金融界引起了巨大的反响。1997年Myron Scholes与Robert Merton也因凭借着在经济学中的巨大成就共享了诺贝尔经济学奖。虽然Black-Scholes公式被广泛地应用到金融市场中,但是因为其假设条件过强,得到的结果并不十分地理想。我们需要提前知道时间,原生资产价格,执行价格,以及波动率才能得到期权的定价。但是,波动率是无法直接观测的,所以我们并不能得到精确的期权价格。但是,作为一种简单易用的工具,Black-Scholes方程至今仍被金融工作者广泛的使用。近些年,随着各种期权定价问题逐渐得到解决,越来越多的数学工作者和金融工作者将时间与精力放在了如何估计Black-Scholes公式中的隐含波动率。观察Black-Scholes方程的形式,我们知道,试图得到波动率的准确理论值是徒劳的。因此,我们只能设计不同的数值算法得到波动率的估计值。在近五十年中,许多数学工作者都提出了自己的估计公式,并发表了数以千计的关于求解波动率的文章。一般来说,隐含波动率的研究有两个大的方向。一个方向是通过设计不同的数值算法,从数值计算中得到近似估计,另外一个方向是从理论上对Black-Scholes方程进行分析,得到理论估计近似值。这两个方向各有优缺点,应用的场景也各有不同。在Black-Scholes公式中,Black与Scholes假设波动率是一个常数。但是,金融工作者发现在金融市场中,将波动率作为一个常数是不合适的。波动率应该是一个与时间相关的变量。一些数学工作者采用渐近展开的方法来估计波动率,但是该方法仅在原生资产价格与执行价格接近的时候能得到较好的结果,否则得到的结果误差将会很大。一些数学工作者试图使用历史波动率方法以及匹配期权价格方法得到波动率的估计值。但是历史波动率方法得到的结果很不准确,而匹配期权价格方法得到的结果稳定性很差。在90年代,Tikhonov正则化方法与最大熵方法被成功地应用到了求解波动率的问题中,这些方法能够得到较好的结果,但是也有自己的缺点。如Tikhnov正则化方法破坏了波动率问题的结构,使得在求解过程得到的矩阵是一个满矩阵而不是一个下三角矩阵。而且,这些方法的实现也不是很简单,需要较为深厚的数学功底。在本篇论文中,我们介绍了一种局部正则化方法和一种反解抛物方程的方法来求解波动率。并且通过数值算例证明了其有效性与稳定性。在本篇文章中,我们主要研究的是期权定价中波动率的求解问题。首先,我们对金融衍生品,尤其是不同种类的期权进行了简单的介绍。随后分析了欧式期权的两种定价模型,即二叉树模型与随机游动模型。然后我们给出期权定价中非常重要的一个方程——Black-Scholes方程的几种推导方法,即动态复制方法、△-对冲原理、风险中性定价方法。接着分别利用Black-Scholes定价公式、PDE数值解定价、二叉树模型定价对给定的欧式期权进行了定价,并比较各种方法的数值结果。最后,我们重点对如何求解期权定价中的波动率进行了分析。在本篇文章中,我们采用了历史波动率方法,匹配理论与观测期权价格方法,渐进展开估计方法,局部正则化方法,以及反解抛物方程参数等方法对波动率σ进行了求解,并从数值上分析了算法的准确性与稳定性。最后,我们分析了各个方法的优缺点,提出了上述方法的改进策略,并对文章进行了总结。