【摘 要】
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不变流形是动力系统理论中的基本问题,在分岔、混沌和天体力学等领域的研究中有重要应用.同时,不变流形的证明方法也是动力系统理论中的重要思想.具体地说,不变流形是具有如下性质的特殊流形:从该流形自身出发的轨道会一直存在于该流形上.早在二十世纪初,Hardamard与Perron分别通过图像变换法和Lyapunov-Perron方法证明了双曲不动点附近的（不）稳定流形定理.这两类经典的方法后来被广泛用于
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不变流形是动力系统理论中的基本问题,在分岔、混沌和天体力学等领域的研究中有重要应用.同时,不变流形的证明方法也是动力系统理论中的重要思想.具体地说,不变流形是具有如下性质的特殊流形:从该流形自身出发的轨道会一直存在于该流形上.早在二十世纪初,Hardamard与Perron分别通过图像变换法和Lyapunov-Perron方法证明了双曲不动点附近的（不）稳定流形定理.这两类经典的方法后来被广泛用于研究中心流形和伪（不）稳定流形等与谱间隙相对应的不变流形.此外,其它不与谱间隙对应的不变流形人们可以使用线性化的方法得到.如通过Hartman-Grobman和Sternberg等人的线性化定理,能知道更多C0和Cr.然而通过线性化理论来保证Cr不变流形的存在性都需要一些非共振条件.若非共振条件不成立,此时Cr不变流形是否存在的问题值得研究.此外,在研究不变流形的光滑性问题时会涉及到一些函数方程,它实际上是关于不变流形切向量的方程,这类函数方程的光滑解非常的重要.基于此,本文的研究内容主要分为两个部分:第一部分:特殊四维以及n维映射,在共振情形下双曲不动点附近C1不变流形的不存在性.前人已经研究了三维共振情形下C1不变流形的不存在性,然而对于高维情形却没有讨论.本章的难点在于高维情形下的共振关系更加复杂,以及若当标准型的复杂性导致非线性共振项的多样化,这些都使得反例的构造更加困难.本章将选择合适的非线性项,通过反证法假设相应的共振C1不变流形存在,利用Lipschitz条件推出矛盾.进而证明共振C1不变流形的不存在性.第二部分:相关函数方程的光滑解.第一部分在研究不变流形的过程中发现有一类函数方程的光滑解特别的重要,因此本章主要讨论这类特殊函数方程的光滑解,前人已经研究了它的C1和C2解.本章在k≥ 3的情形下研究此类函数方程的Ck解.此情形下的主要难点在于当导数的阶数高时,方程的表达式会非常复杂.这就需要用归纳法来简化表达式,然后合理运用压缩映射定理证明相关函数方程Ck解的存在性.
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