图的谱理论作为代数图论中的一个重要分支,主要研究图的组合性质和矩阵的代数性质之间的关系.它在物理,化学,计算机和信息科学中有着重要的应用.近几年内,图的谱理论在量子信息和量子计算,特别是在固定耦合的自旋网络中的应用有了迅速的发展,引起了包括物理学家,计算机学家和数学家的广泛研究,成为量子计算中的一个热门领域.图的谱理论中一个重要的问题是确定哪些图是由其谱确定的.然而证明一个图是否由其谱确定并不容易.我们现在所知道的由谱确定的图并不多,所以找出更多由谱确定的图是很有必要和意义的.我们在第二章中给出了一类完全由其拉普拉斯谱确定的树图并对其邻接谱进行了刻画.称图X的一个特征值为主特征值,如果存着对应于此特征值的一个特征向量,其分量之和不为零.图的谱理论中另外一个重要问题是,怎样去刻画恰有k(k≥2)个主特征值的图.记Xo为由图X删除所有的悬挂点得到的图,δ(X)为图X的最小度.我们在第三章中确定了所有恰有两个主特征值且δ(Xo)≥2的三圈图.设Λ是图X的邻接矩阵,定义图的状态传递函数为U(t)=exp(iAt).在量子物理中,矩阵U(t)实际上确定了自旋网络x上的连续量子行走.连续量子行走是经典物理中随机行走的推广.我们从第四章开始研究图的谱理论在连续量子行走中的应用.称图X在时间t具有从顶点u到顶点v的完美状态传递如果存在复数γ,使得u(T)eu=γev.然而,具有完美状态传递的图并不多.所以我们研究一个弱化的性质,极好状态传递.称图X在时间t具有从顶点u到顶点v的极好状态传递,如果对于任意小的∈>0,都存在时间t,使得‖U(t)ev-γev‖<ε.实际上,在物理实验中,我们测量的是矩阵U(t)o U(-t)中元素的取值.称图x在时间t具有IUM.如果U(t)。U(-t)=1/|V(X)|J.其中J为所有元素都为1的矩阵.我们在第四章中研究图的状态传递.首先,我们给出了图的等度划分所产生的对称化商图的状态传递函数和原图的状态传递函数之间的关系.接着我们研究了图的同谱顶点和强同谱顶点.最后,我们刻画了图的完美状态传递和对偶度之间的关系.特别地,我们给出了对偶度为3的图的完美状态传递的刻画.在第五章中,我们研究了具体的几类图上的状态传递函数,包括双星树,广义双星树和一类凯莱图.我们证明了双星树不具有完美状态传递,但是在一定条件下具有极好状态传递.更进一步,我们给出了极好状态传递的误差关于时间的上界.其次,我们刻画了一类广义双星树和凯莱图上的状态传递函数.紧接着,我们以路图P4为例,研究了图的状态传递函数的震荡性.最后我们给出了图的完美状态传递以及极好状态传递的代数刻画.在第六章中,我们用图的拉普拉斯矩阵代替图的邻接矩阵研究图的状态传递函数.我们刻画了图的拉普拉斯状态传递函数.特别地,我们研究了路图上的拉普拉斯状态传递函数,给出了路图具有极好拉普拉斯状态传递的条件.在第七章中,我们研究了类立方体图的Mixing性质,给出了类立方体图具有IUM的条件.特别地,我们给出了16个顶点上所有具有IUM的类立方体图.最后,我们刻画了图和其补图之间完美状态传递和IUM的关系.