图论是组合的一个重要分支,起源于古老的民间数学游戏,其中最具代表性的有欧拉的哥尼斯堡七桥问题和哈密顿的环游世界游戏.著名的四色问题为图论的形成和发展注入活力.因此,圈问题和染色问题是图论中两个重要而经典的问题.本论文主要研究图与有向图中存在kk个点不交的圈的度条件,其中k是任意正整数,以及稀疏多重图中的非正常DP-染色.我们用G和D分别表示图和有向图.给定图G,用δ（G）、Δ（G）以及dG（x）分别表示图G的最小度、最大度以及点x∈V（G）在G中的度.令σt（G）表示图G中所有t-独立集中点的最小度和,即█为大小为t的独立集},其中t≥2是一个整数.在图和有向图中,把长度为q的圈称为q-圈;当q=|V（G）|时称为哈密顿圈;当q=3时称为三角形.关于圈问题,最经典的结果是Dirac定理:设G是一个n-阶图,其中n≥3.若δ（G）≥n/2,则图G包含一条哈密顿圈.此后,关于圈问题人们展开广泛的研究.我们主要研究存在kk个点不交的圈的度条件.在1963年,Corradi和Hajnal证明了存在k个点不交的圈的最小度条件.Justesen将Corradi-Hajnal定理中的最小度条件推广到σ2（G）条件,随后Enomoto和Wang各自独立的给出σ2（G）的紧下界4k-1.Matsumura,Tsugaki和Yamashita 考虑了 σ3（G）.Gould,Hirohata 和 Keller 提出 了关于σt（G）的一个一般猜想:若n-阶图G满足n充分大和σt（G）≥（2k-1）t+1,则图G包含k个点不交的圈.此外他们还证明当t=4时猜想成立.在第二章我们证明当t≥5时该猜想成立并得到如下结论:令k,t和n分别表示整数,其中k≥ 2,t≥ 5 和 n ≥（2t-1）k.若 n-阶图 G 满足σt（G）≥（2k-1）t+1,则图G包含k个点不交的圈.给定有向图D,我们用δ+（D）和δ-（D）分别表示D的最小出度和最小入度,用δo（D）表示D的最小半度,等于min{δ+（D）,δ-（D）}.用T表示竞赛图.有向图中的圈和路指的都是有向圈和有向路.在有向图中与Corradi-Hajnal定理相对应的是著名的Bermond-Thomassen猜想:若有向图D满足δ+（D）≥2k-1,则D包含k个点不交的圈.当k=1时Bermond-Thomassen猜想是平凡的;Thomassen证明该猜想在k=2时成立;k=3 的证明由 Lichiardopol,Por和 Sereni 给出.Bang-Jensen,Bessy和Thomasse证明Bermond-Thomassen猜想对竞赛图成立.三十多年已经过去,Bermond-Thomassen猜想仍未被解决,充分展示了有向图中点不交的圈问题的困难程度.竞赛图是有向图中的一个特殊图类.关于竞赛图也有许多有趣的问题.在2010年,Lichiardopol提出了下列猜想:任给整数q≥3和k≥1,若竞赛图T满足δ+（T）≥（q-1）k-1,则T包含k个点不交的q-圈.Lichiardopol证明在相同半度条件下该猜想成立,得到了关于该猜想的一个弱化版本.Zhu证明当q=4时Lichiardopol猜想成立.在第三章我们证明当q ≥ 5时Lichiardopol猜想成立.此外我们还改进了 Lichiardopol的定理,证明:若竞赛图 T 满足δo（T）≥（q-1）k-1,则 T 包含（2-10q-18/3q2-3q-4）k-2q-1 个点不交的q-圈,其中q≥4和k≥ 1是两个整数.特别的当q=3时我们证明:任何一个满足δo（T）≥ 2k-1竞赛图T包含16/15k一7个点不交的三角形,其中k≥1是任意整数.点不交的圈问题与染色问题有密切联系.我们知道图G的一个2-因子将图G划分为点不交的圈.而图G的一个的（d1,..,dk）-非正常染色是顶点集V（G）的一个 k-划分V1,V2,,Vk,使得当 1≥i≥k 时,Δ（G[Vi]）≥di.特别的,若di≥2,则每个G[Vi]又是由一些点不交的圈或路构成的.因此非正常染色和点不交的圈在本质上都是划分问题或子图问题.本论文只考虑两种颜色的非正常DP-染色.DP-染色由Dvorak和Postle提出,是列表染色的推广.Bernshteyn,Kostochka和Pron将DP-染色这一概念推广到多重图.在第四章,我们研究稀疏多重图中的（i,j）-非正常DP-染色,其中j≥i是整数.若多重图G本身不是（i,j）-非正常DP-可染的,但任何真子图都是可染的,则称多重图G是（i,j）-DP-临界的.令fDP（i,j,n）表示n-阶（i,j）-DP-临界多重图所含的最少边数.对任意i,j,我们都找到了fDP（i,j,n）的精确下界,证明了如下结论:以上关于fDP（i,j,n）的下界都是紧的。