矩阵积和式是一种与行列式定义相似的矩阵不变量,在组合计数,统计物理,分子化学,无线通讯等领域有重要的应用.但是其计算难度远远超过行列式,是计数问题中的#P完全问题,其困难程度与判定问题中的NP完全问题类似.考察和利用积和式与行列式的联系是积和式研究的重要切入点.目前为止,人们认识到积和式与行列式有三个基本的相似关系,一是Laplace展开,二是随机行列式规约,三是通过元素符号的变化实现二者的相互转换.前两个方面研究较多,第三个方面的关联Pólya在上个世纪初提出,被称为Pólya的积和式问题.即对一个方阵,是否可将一些元素进行变号,使得变号后的行列式等于原方阵的积和式.这个著名难题经过近一个世纪的努力,到1999年有了重要突破,研究人员给出了Pólya积和式问题的多项式时间算法[1–3],结果长文发表在《数学年刊》.本文系统地描述和实现了Pólya问题的算法,并在此基础上基于大量计算实验对稀疏结构矩阵的Pólya可转换性进行了研究.我们首先回顾了积和式的一些性质特别是与图论中的结构:圈覆盖,完美匹配,完全Sachs子图的关系.我们介绍了图的Pfaffian定向,分析了二部图Pfaffian可定向性判定与Pólya积和式问题的等价性.接下来基于[1–3]中的结果,我们描述了Pólya积和式问题算法的完整过程,同时补充和修正了一些细节,最后给出了该算法的实现.针对化学图论中富勒烯结构的3-regular矩阵,我们考察了从2-regular矩阵到3-regular矩阵,随着稀疏度的改变矩阵可Pólya转换的比例的变化.对于由两个m n平面网格拼接起来的m n2网格,我们考察了Pfaffian可定向性与连接两个网格的边的数目的关系.通过这些实验,我们得到了矩阵Pólya可转换性与稀疏度的一些经验规律.最后,我们基于Laplace展开给出一个非负矩阵积和式的上界估计,这个估计是对Minc的专著《Permanent》中一个结果的改进.