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本论文研究的主要内容是连续与相应离散线性哈密顿系统的指标及一类辛矩阵的线性稳定性。
本论文的第一部分研究二阶线性连续哈密顿系统对应的算子A=-d2/dr2-B(t)的Morse指标i(A)及核维数v(A)与相应二阶线性离散1/N常步长哈密顿系统对应的算子AN的Morse指标i(AN)及核维数v(AN)之间的关系.这里()(IRd)表示d×d实对称矩阵的集合.N，Z与R分别记自然数，整数与实数的集合，S1=R/Z。主要结果如下：
定理A.设B∈C1(S1，()(Rd)).则存在常数d≥0使得对于任意充分大的自然数N∈N总成立
i(A)≤i(AN)≤d0。
定理B.设B∈C1(S1，()S(Rd)).对任意k维子空间W()W1，2(S1，Rd)，记WN为W的1/N常步长的逼近空间.则当N充分大时总有
(ⅰ)i(A|w)≤i(AN|WN)≤i(A|w)+v(A|w)，v(AN|WN)≤v(A|W)。
(ⅱ)若W包含A的最大负定子空间和核空间，则有
i(A)≤i(AN|WN)≤i(A)+v(A)，v(AN|WN)≤v(A)。
本论文的第二部分研究了辛矩阵的基本标准型中的4×4辛矩阵的线性稳定性问题，给出了其线性稳定的充要条件，其中这里ω= eθ√-1，θ∈(0，π)∪(π，2π)，bi∈R对i=1，…，4成立。