【摘 要】
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本文利用几何奇异摄动理论研究了一类抽象的且临界流形是高阶退化的平面快-慢系统的延迟失稳和一类平面快-慢捕食-被捕食系统的动力学.全文共分为四章,主要内容如下:第一章首先简要介绍了几何奇异摄动理论的发展情况,然后叙述了本文研究的问题及其背景.第二章列出了本文所需的预备知识.主要为:快-慢系统的常见概念、Fenichel理论、鸭现象、吹胀技术、折点理论与慢散度积分理论.第三章研究了一类抽象的平面快-慢
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本文利用几何奇异摄动理论研究了一类抽象的且临界流形是高阶退化的平面快-慢系统的延迟失稳和一类平面快-慢捕食-被捕食系统的动力学.全文共分为四章,主要内容如下:第一章首先简要介绍了几何奇异摄动理论的发展情况,然后叙述了本文研究的问题及其背景.第二章列出了本文所需的预备知识.主要为:快-慢系统的常见概念、Fenichel理论、鸭现象、吹胀技术、折点理论与慢散度积分理论.第三章研究了一类抽象的平面快-慢系统的转向点附近的动力学,特别是延迟失稳.Dumortier和Roussarie在[Mem.Amer.Math.Soc.,121（577）:x+100,1996]中首次利用吹胀技术研究了快-慢Van der Pol方程转向点附近的动力学.在[J.Differential Equations,260（8）:6697-6715,2016]中,De Maesschalck和Schecter利用吹胀技术讨论了一类经典的抽象化的快-慢系统的转向点附近的延迟失稳.本文进一步深入研究了该系统在临界流形是高阶退化时的延迟失稳等局部动力学.主要利用Fenichel理论、拟齐次极坐标与欧氏坐标下的吹胀技术和快-慢正规型,研究了该系统转向点附近的进-出函数,庞加莱映射的渐近表达形式与光滑性以及解的渐近展开式等.本章末尾建立了一个生物经济学模型,并利用上述理论知识证明了该模型张弛震荡的存在唯一性,该结果有效地揭示了生物经济学里一类周期循环的现象.本章的结果发展了De Maesschal-ck和Schecter的理论,处理技巧有创新且进一步讨论了庞加莱映射的表达形式与光滑性.第四章考虑了一类经典的Holling-Leslie型捕食-被捕食系统的动力学.Hsu和Huang在[SIAM J.Appl.Math.,55（3）:763-783,1995]中考虑了该系统的正平衡点的全局稳定性.Huang,Ruan和Song在[J.Differential Equations,257（6）:1721-1752,2014]中研究了该系统的亚临界Hopf分支与B-T分支现象.这些是目前关于所述系统的仅有的已知结果.本章利用几何奇异摄动理论发掘了该系统的一些新的丰富的动力学.首先讨论了系统的奇异Hopf分支、鸭环的存在性、鸭爆炸现象、张弛震荡与同宿、异宿轨的存在性等,并数值仿真了这些现象,然后借助于慢散度积分理论研究了系统所有可能的快-慢环的环性,得到在小扰动下快-慢环至多分支出两族双曲极限环或者一族二重极限环,进一步地研究了该系统的极限环的最大个数.
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