【摘 要】
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在过去的20多年里,非标准增长条件的偏微分方程和变分问题,以及相应的变指数空间理论是非常有吸引力的研究课题。这些研究都涉及了非弹性力学、电流变流学、图像处理等实际问题。本文的研究也密切此领域,具体地,本文研究了p（x）-Laplace方程Robin边界条件下的特征值问题,包括特征值的存在性问题和稳定性问题。另外,为了研究p（x）-Laplace方程Dirichlet边界条件下第一特征值的性质,证明
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在过去的20多年里,非标准增长条件的偏微分方程和变分问题,以及相应的变指数空间理论是非常有吸引力的研究课题。这些研究都涉及了非弹性力学、电流变流学、图像处理等实际问题。本文的研究也密切此领域,具体地,本文研究了p（x）-Laplace方程Robin边界条件下的特征值问题,包括特征值的存在性问题和稳定性问题。另外,为了研究p（x）-Laplace方程Dirichlet边界条件下第一特征值的性质,证明了p（x）-Laplace方程对应下的Picone等式,并应用该等式证明p（x）-Laplace方程研究中的一些应用。论文结构如下:第一章简要介绍问题的研究背景、研究现状以及本文主要工作。第二章简要介绍预备知识。第三章考虑了 Robin边界条件下p（x）-Laplace方程特征值的存在性问题。首先应用Luxemburg范数定义Rayleigh商,使之具有齐次性,接着应用变指数Sobolev空间知识推导出与此Rayleigh商最小值点相应的Euler-Lagrange方程。最后应用Ljusternik-Schnirelman原理得到Robin边值问题存在无穷多个特征值,其中最小特征值是严格大于零的,且与最小特征值相应的特征函数不变号。第四章在r-收敛的框架内考虑Robin边界条件下p（x）-Laplace方程特征值的稳定性问题。主要证明Robin边值问题第m个特征值关于指数变量p（x）的收敛性,其中特征值可由Rayleigh商上下确界来定义,且此Rayleigh商是应用Luxemburg范数定义的。第五章建立了p（x）-Laplace方程对应下的Picone等式,并应用该等式证明p（x）-Laplace方程研究中的一系列问题,如Caccioppoli不等式,正弱上解的不存在性,第一特征值的唯一性、单重性、关于区域的单调性,Hardy型不等式,Barta型不等式,以及具有奇异非线性椭圆方程组解的线性关系和Sturm比较原理。
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