【摘 要】
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正则半群是半群理论中最精彩的部分,其研究得到广泛关注。完全正则半群作为群并半群,是正则半群的重要子类;广义群（generalized group）作为一类完全正则半群,是与群最接近的一类半群;作为正则性的推广,Clifford和Preston提出了左（右）正则半群的概念,它们与正则半群密切相关。本文借鉴正则半群、左（右）正则半群的研究思想,提出了一些新的正则性条件（统称为换位正则性）,分析了各类换
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正则半群是半群理论中最精彩的部分,其研究得到广泛关注。完全正则半群作为群并半群,是正则半群的重要子类;广义群（generalized group）作为一类完全正则半群,是与群最接近的一类半群;作为正则性的推广,Clifford和Preston提出了左（右）正则半群的概念,它们与正则半群密切相关。本文借鉴正则半群、左（右）正则半群的研究思想,提出了一些新的正则性条件（统称为换位正则性）,分析了各类换位正则半群的性质和结构,更加清楚地刻画了完全正则半群、正则半群与广义群之间的内在联系。同时,AG-广群作为一类重要的非结合广群,可借鉴半群与正则半群的研究思路,刻画其性质和结构,本文也将讨论AG-广群的换位正则性。另外,半群与各类逻辑代数具有密切的联系。例如,群逆BZ-代数与群一一对应;任意BCI-代数上的平移映射关于映射的合成构成半群（称为伴随半群）,等等。因此,研究换位正则半群与相关逻辑代数及其超结构推广之间的关系就是自然而又重要的研究课题,本文也讨论了换位正则半群、AG-广群与BZ-代数、超BZ-代数之间的联系。本文的研究内容及研究结果如下:（1）引入了几类换位正则半群,研究了其性质与分解定理,证明了 L1/R1/LR-型换位正则半群与完全正则半群互相等价;L2/R2-型换位正则半群与群互相等价;L3-型换位正则半群为广义群,举例说明了存在非L3-型换位正则半群的广义群;R3-型换位正则半群为广义群,举例说明了存在非R3-型换位正则半群的广义群;证明了一个半群为群的充分必要条件是它既是L3-型又是R3-型换位正则半群。（2）将换位正则性引入AG-广群中,证明了 AG-广群若为L1/R1-型换位正则AG-广群的充分必要条件是它为满足某一条件的LR/强LR-型换位正则AG-广群;强L2-型与强R3-型换位正则AG-广群互相等价,可分解为Abel群的并;强R2-型与强L3-型换位正则AG-广群互相等价,可分解为子AG-群的并。（3）讨论了 AG-半群的换位正则性,证明了 L1/R1/LR-型换位正则AG-半群与可换Clifford半群互相等价;L2/R2/L3/R3-型换位正则AG-半群与Abel群互相等价;并且给出了 AG-半群的分解定理,即,每个AG-半群可分解为理想与反理想的并。（4）将伴随半群引入BZ-代数中,证明了BZ-代数的伴随半群为群的充分必要条件是它为群逆BZ-代数;广义拟左交错BZ/BCI-代数与QM-BCI代数互相等价,其伴随半群为可换Clifford半群;AG-BZ代数为Abel群。（5）将超结构引入BZ-代数中,得到了超BZ-代数和拟超BZ-代数,证明了群逆BZ/超BZ/拟超BZ-代数之间的互相等价关系;讨论了广义群逆超BZ-代数/拟超BZ-代数与半超群之间的密切联系;得出了广义拟左交错超BZ-代数为BCI-代数的结果。（6）讨论了拟超BCI-代数与Hv-群和超群之间的密切关系;证明了广义拟左交错超BCI-代数为BCI-代数,最后将拟极小元引入了超代数中,讨论了 QM-超BZ/超BCI/拟超BZ/拟超BCI-代数之间的内在联系。
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