模的消去问题是多个学科（如几何学，拓扑学，K-理论，算子代数等）共同感兴趣的问题。自上世纪九十年代以来，模消去问题一直是一个热门研究课题。 本文的目的就是研究模的消去问题——满足何种条件时，R-模M可消：对任意的R-模B，C，如果M？B？M？C，则有B.C． 到目前为止，已知的可消模类还非常有限，我们仅知道如下的模有消去性（也参见本文序言）： （1）整数环z可消； （2）Dedekind整环对其上的有限生成投射模可消； （3）半局部环有稳定度1，因此可消； （4）Artin模的自同态环有稳定度1，因此可消； （5）如果R-模M有有限的uniform维数和co-uniform维数，则End（A）有稳定度1．因此线性紧模、Artin模，是可消去的； （6）强π-正则环有稳定度1，因此可消。 （3），（4），（5），（6）中的模（环）的共同特点是：其自同态环都有稳定度1．其中，称环R有稳定度1是指：如果ax＋b＝1∈R，就必有存在y∈R使得a＋by＝u为可逆元。记为R∈Sr1． 我们将用原创性方法给出新的可消模类：Dedekind整环可消，并进而得到：交换的遗传环可消。该结论显然是大幅度推进了上述经典结论（1）和（2）．我们还引入“弱稳定模”概念，统一了上述的六种模类。 具体而言，本文主要得到了以下结果： 一．在模消去问题的研究中，最重要的两个环类是exchange环和有稳定度1的环。我们将给出exchange环有稳定度l的一种新的判定方法（定理1．3．6）． 二．用交换图方式刻画exchange环． 交换图是同调代数中最常用的方法之一，Canfell在［19］（1995）中用交换图的方法刻画了有稳定度1的环．我们则用交换图的方法给出exchange环的如下刻画： 定理1．4．1设M是一个拟投射右R-模，记E=End（M）．下述条件等价： （1）　M有有限exchange性，（也即E是exchange环）； （2）　设T是M的任一同态象，那么每个如下的图形？　（0.1） 可由如图的同态g=g<`2>完成。 三．我们引进了一种新的稳定度——s-稳定度1，此稳定度对K<,1>群的计算可得到如下有意义的结果： 定理2．3．4 设SQ={eu|e-e2∈SJ（R）？J（R），u∈SU（R）？U（R）}，如果R是有SQ-稳定度１—的环，那么K<,1>（R）≌V（R）/SL（R），其中SL（R）=W（R）？（V（R）V（1+SJ（R）））。 四．对正则环上的可分、强可分消去性，给出目前为止最简单的刻画． Ara等人在［3］，［5］中分别引入了强可分消去环和可分消去环的概念：设R是一环，如果R上的有限生成模范畴FP（R）满足如下的条件： 对任意：的A，B∈FP（R），如果有A？A≌A（？）B≌B？B（或A？A≌A≌B），则A≌B，此时就称环R是可分的（或强可分的）． 可分性有很好的性质．一方面，在Ara等［5］的定理6.1中证明了：正则环R上的六个公开问题在环R是可分的情况下都成立．由此他们提出了至今尚未解决的可分性问题（Ara［5］，129页）：是否所有的正则环都是可分的？如果此问题成立，那么正则环的六个公开问题也就得到了解决． 另一方面，在K-理论上，可分性也有着很好的应用。Ara等人在Ara<7>中证明了，如果R是可分的exchange环，那么自然同态GL<,1>（R）→K<,1>（R）必为满态。 我们给出了正则环上可分性的如下刻画，该刻画是目前对正则环上可分性的最简单刻画。 定理3.2.2 设R是正则环。那么下述条件等价： （1）R是可分的； （2）若元素a∈R满足条件（A-a<2>R），t<,2>R使得r（（1-xa）t<,1>）=r（a-a<2>）=r（（1-ax）t<,2>），那么a是幺正则的； （4）如果元素0∈R满足条件 ？那么a是幺正则元。 类似地，我们也得到了正则环上强可分性的最简单刻画（见命题3.2.5）五．引进一种新概念：环的消去度（见定义4.2.1），从而统一解释了整数环（稳定度为2）和稳定度1的环都有消去性的内在原因 在对模消去问题的研究中，两个最著名的结果是：（1）如果模M的自同态环End（M）有稳定度1，则M直和可消；（2）整数环z的稳定度不是1，但直和可消。 一个自然的问题是：“有稳定度l的环”与“整数环”是否有某种共同的结构，以使这两者都有消去性？我们找出了这一结构：即对任一自然数n，两者都有消去度n。这是它们具有消去性的根本原因。我们并得到： 定理4.2.10 如果环R有消去度n，那么对任一n-生成模B，任一模C，由R ？ B？R？C可得B？C。 命题4.2.16 设R是Neother环。如果对任一整数n≥1，R都有消去度n，则R 有消去性． 六．给出投射模有消去性的等价刻画（见定理4.3.2）．这样我们就找到了何时投射模有消去性的本质原因． 由此可得： 推论4．3．5若R是交换环，则R对循环模可消． 七．由结论六得到新的可消环类： 定理4．3．7 Dedekind整环可消． 这一结果将“Dedekind整环R对有限生成投射模可消”以及“整数环？在Abel群中可消”这两个经典结果作了大步的推进. 我们也证明了Prüfer整环对有限生成模可消，即： 命题4．3．8设R是一个Prüfer整环．对任一有限生成模B和任一模G，若有R⊕B≌R⊕C，则B≌C． 该结果显然是从另一角度大步推进了经典结论“Dedekind整环R对有限生成投射模可消”． 八．引进了弱稳定模的概念，统一了目前所知的所有可消模类．以此为基础，得出新的可消模类：交换的遗传环可消．从而进一步推进了上述的定理4．3．7． 在模消去问题的研究中，稳定度1起着关键性作用．过去的几十年中，对模消去的研究主要是围绕稳定度1展开的．因此有许多作者都对稳定度1这一概念作了推广．这些推广后的稳定度在其它方面有很好的价值和应用，但都仅有“部分消去性”，而不再具有消去性，即：如果环R有这些推广后的稳定度，对任意的R-模A，B，由R⊕4≌R⊕B不能得到A≌B． 我们引入弱稳定模概念（见定义4．4．1），给出了稳定度1的一种推广．此概念统一了目前所知的仅有的两类可消模：自同态环有稳定度1的模和Dedekind整环R<,R>．且弱稳定模保持了很好的消去性： 定理4．4．7设R－模M是弱稳定的，那么对任一投射模P和任意的模C，如果M？P≌M？C，则必有P≌C。 命题4．4．13设M是一个τ－有限表现R－模。如果M是弱稳定的，则对任意的τ－平坦R－模B和任意的R－模C，由M？B≌M？C可得B≌C．定理4．4．10如果投射模P是弱稳定的，那么P有消去性。 利用弱稳定性概念，我们可进一步推进上述定理4．3．7和命题4．3．8，得到了如下的新的可消模类： 定理4．4．16如果R是交换的遗传环，那么RR是弱稳定的，因而有消去性。 命题4．4．17设R是交换的半遗传环，则对任意的有限生成R－模B和任意R－模C，由R？B≌R？C可得B≌C。