【摘 要】
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利用一般的数值方法离散非局部扩散模型,通常得到的是一个稠密的刚度矩阵.用直接法求解时需要O（n~2）的内存存储和O（n~3）的计算成本,这里n为矩阵的阶数.存储量和计算量大,成为阻碍其应用的主要障碍之一.本文通过处理奇异积分算子内的变系数和利用密集刚度矩阵的结构,采用了一种改进的快速配置方法对变系数非局部扩散模型进行数值离散.离散后得到一个系数矩阵是对称正定且具有类Toeplitz结构的线性方程组
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利用一般的数值方法离散非局部扩散模型,通常得到的是一个稠密的刚度矩阵.用直接法求解时需要O（n~2）的内存存储和O（n~3）的计算成本,这里n为矩阵的阶数.存储量和计算量大,成为阻碍其应用的主要障碍之一.本文通过处理奇异积分算子内的变系数和利用密集刚度矩阵的结构,采用了一种改进的快速配置方法对变系数非局部扩散模型进行数值离散.离散后得到一个系数矩阵是对称正定且具有类Toeplitz结构的线性方程组.由此将内存需求从常用的直接法求解所需的O（n~2）降低到O（n）,计算成本从O（n~3）降低到O（nlogn）.由于系数矩阵是对称的,因此该线性方程组可以用MINRES方法求解.为了加快MINRES方法的收敛速度,故而提出了预处理矩阵为Toeplitz矩阵的预处理MINRES方法.又由于矩阵还是正定的,所以本文还采用了CG方法求解该线性方程组.并构造了Toeplitz结构和循环结构的预处理矩阵,引入预处理CG方法求解该线性方程组.通过数值实验验证了这两种方法的有效性,预处理MINRES方法和预处理CG方法均能够高效的求解该线性方程组,且预处理矩阵为循环矩阵的预处理CG方法最有效.
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