【摘 要】
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偶极玻色-爱因斯坦凝聚态是具有电偶极矩或磁偶极矩的粒子组成的凝聚态,是由大量具有相同量子态的粒子组成的宏观物质波.本文研究了描述偶极量子气体的非线性薛定谔方程有限能量解的整体行为,主要包括解的散射和弱爆破.关于散射理论的研究,受到Dodson-Murphy的启发,本文采用了一个更为简便的方法,避免了使用集中紧性原理.但由于该方程具有偶极相互作用项,这导致相互作用的Morawetz不等式中含偶极核的
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偶极玻色-爱因斯坦凝聚态是具有电偶极矩或磁偶极矩的粒子组成的凝聚态,是由大量具有相同量子态的粒子组成的宏观物质波.本文研究了描述偶极量子气体的非线性薛定谔方程有限能量解的整体行为,主要包括解的散射和弱爆破.关于散射理论的研究,受到Dodson-Murphy的启发,本文采用了一个更为简便的方法,避免了使用集中紧性原理.但由于该方程具有偶极相互作用项,这导致相互作用的Morawetz不等式中含偶极核的项无法直接估计.同时,偶极核仅在L~2-范数意义下有界,这也给相应的时空模估计造成困难.本文将经典的Morawetz估计和相互作用的Morawetz估计相结合,并运用bootstrap argument,最终给出了偶极量子气体散射的新证明.通过二分法可知,在能量空间中,解要么在有限时间内爆破,要么整体存在但在无限时刻发散.首先,本文通过相应的Gagliardo-Nirenberg不等式得到整体解和爆破解的门槛条件.进一步,采用集中紧性原理构造了一个临界解uc.最后,通过分析该临界解的局部化性质,证明了方程的弱爆破结果.
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