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摘 要：矩阵特征值理论在许多实际问题的解决中起着重要作用.本文主要研讨了矩阵的特征值及其性质以及矩阵的特征值的求法，为读者能够更加全面深入，清晰的理解和掌握矩阵的特征值及其性质和如何求矩阵的特征值，提供一些基本思路，常见的方法和参考。如有不妥之处，请读者给予批评指正。
关键词：特征值;矩阵;行列式;逆矩阵
在18世纪，达朗贝尔在对常系数线性微分方程组解的研究中，最早对矩阵的特征值的进行了探讨，同时，柯西通过对二次曲面及二次型的探讨，证明了实对称矩阵的特征值皆为实数，随着现在科学的发展，经常在的特征值理论现已广泛应用于现代科学技术的各个领域。
一. 特征值的定义
定义：设 为 阶方阵，如果 ，则称 为 的特征值。
二.特征值的性质
性质1：设 为 阶方阵，则 必有 个特征值 。
性质2：设 为 阶方阵 的特征值，则有
（1） ;（2）
性质3：设 为方阵 的特征值，则有
（1） 为 的特征值;（2） 的特征值;（3）如果 为非奇
异矩阵，则 分别为 的特征值;（4）如果 为 的多项式，则 为 的特征值。
性质4：实对称矩阵的特征值，都是实数。
性质5：实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交。
性质6：实对称矩阵的 重特征值，恰好有 个对应于此特征值的线性无关的特征向量
三.求矩阵特征值的常用方法
1. 为具体的矩阵（即 的各个元素具体给出），则求 的特征值的方法，就是求特征方程 的全部根 ，即为 的全部特征值。
解：（1）由 ，可得 的特征值为 。
（2）方法1：首先求 ，然后再求特征方程 的根，即可求得 的特征值。（略）
方法2：设 ，如果 为 的特征值，则 为 的特征值。由于 有特征值为 ，所以 的特征值为 ， 。
一般情况下，用求特征方程的根的方法求矩阵的特征值，比较麻烦，我们可以考虑应用特征值的性质求矩阵的特征值，往往会有收到较好的效果。
另外，在计算行列式 的过程中，往往要特别注意利用行列式的性质，进行“小零降阶”，以便求得 的一次因式。特别是对于3阶及3阶以上的矩阵，一般不宜用对角线法则计算 ，因为 式关于 的3次或3次以上的多项式，因式分解有一定（或十分）困难。
2. 是抽象矩阵时，计算矩阵 的特征值的常用方法为：（1）利用矩阵特征值的定义;（2）利用矩阵特征值的性质;（3）利用 等相关联矩阵特征值的关系.
例2：设 阶方阵 满足 ，证明 的特征值是1，或 -1.
证明：设 的特征值为 ， 是 的对应于 的特征向量，则有 ，将其两边
左乘矩阵 ，得到 ，因为 ，所以 ，又由于
故 ，因此，矩阵 的特征值是1.或 -1.
例3：设 阶方阵 满足 ，而且 ，证明-1是矩阵 的特征值。
证明：因为 ，所以 ，从而 ，又由于 ，
所以， 。又因为 ，所以，-1是矩阵 的特征值。
例4：设三阶矩阵 的特征值为1，2 -3，（1）求 的特征值;（2）求
的特征值。
解：（1）因为矩阵 的特征值为1，2，-3，所以， 。又如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为 -6，-3，2;从而 的特征
值为-12，-6，4;因此 的特征值为 。
（2）由于 的特征值为1，2，-3，又由特征值的性质可知，如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为2，16，-54;从而 的特征值为
;因此， 的特征值为 。
例5：设3阶方阵 满足 ，求 的特征值。
解：设 ，则由
，且
，可得 ，即 ，从而可得矩阵 的特征值为 。
例6：设4阶方阵 满足 ，求 的伴随矩阵 的一个特征值。
解：因为 为4阶方阵，所以有， ，从而，可知 有一个特征值为 。又因为 ，所以， 又由 ，可得
，根据特征值的性质，可知 由一个特征值为 。
例7：证明：（1）如果正交矩阵 的行列式 ，则 是 的特征值;
（2）如果奇数 阶正交矩阵 的行列式 ，则 是的特征值。
证明：（1）因为 为正交矩阵，所以 ，又 ，从而有
，
因此 ，也即 是 的一个特征值。
（2）因为 為奇数 阶正交矩阵，所以有
从而 ，也即 是 的一个特征值。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003
[5] 高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003
[6] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。
关键词：特征值;矩阵;行列式;逆矩阵
在18世纪，达朗贝尔在对常系数线性微分方程组解的研究中，最早对矩阵的特征值的进行了探讨，同时，柯西通过对二次曲面及二次型的探讨，证明了实对称矩阵的特征值皆为实数，随着现在科学的发展，经常在的特征值理论现已广泛应用于现代科学技术的各个领域。
一. 特征值的定义
定义：设 为 阶方阵，如果 ，则称 为 的特征值。
二.特征值的性质
性质1：设 为 阶方阵，则 必有 个特征值 。
性质2：设 为 阶方阵 的特征值，则有
（1） ;（2）
性质3：设 为方阵 的特征值，则有
（1） 为 的特征值;（2） 的特征值;（3）如果 为非奇
异矩阵，则 分别为 的特征值;（4）如果 为 的多项式，则 为 的特征值。
性质4：实对称矩阵的特征值，都是实数。
性质5：实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交。
性质6：实对称矩阵的 重特征值，恰好有 个对应于此特征值的线性无关的特征向量
三.求矩阵特征值的常用方法
1. 为具体的矩阵（即 的各个元素具体给出），则求 的特征值的方法，就是求特征方程 的全部根 ，即为 的全部特征值。
解：（1）由 ，可得 的特征值为 。
（2）方法1：首先求 ，然后再求特征方程 的根，即可求得 的特征值。（略）
方法2：设 ，如果 为 的特征值，则 为 的特征值。由于 有特征值为 ，所以 的特征值为 ， 。
一般情况下，用求特征方程的根的方法求矩阵的特征值，比较麻烦，我们可以考虑应用特征值的性质求矩阵的特征值，往往会有收到较好的效果。
另外，在计算行列式 的过程中，往往要特别注意利用行列式的性质，进行“小零降阶”，以便求得 的一次因式。特别是对于3阶及3阶以上的矩阵，一般不宜用对角线法则计算 ，因为 式关于 的3次或3次以上的多项式，因式分解有一定（或十分）困难。
2. 是抽象矩阵时，计算矩阵 的特征值的常用方法为：（1）利用矩阵特征值的定义;（2）利用矩阵特征值的性质;（3）利用 等相关联矩阵特征值的关系.
例2：设 阶方阵 满足 ，证明 的特征值是1，或 -1.
证明：设 的特征值为 ， 是 的对应于 的特征向量，则有 ，将其两边
左乘矩阵 ，得到 ，因为 ，所以 ，又由于
故 ，因此，矩阵 的特征值是1.或 -1.
例3：设 阶方阵 满足 ，而且 ，证明-1是矩阵 的特征值。
证明：因为 ，所以 ，从而 ，又由于 ，
所以， 。又因为 ，所以，-1是矩阵 的特征值。
例4：设三阶矩阵 的特征值为1，2 -3，（1）求 的特征值;（2）求
的特征值。
解：（1）因为矩阵 的特征值为1，2，-3，所以， 。又如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为 -6，-3，2;从而 的特征
值为-12，-6，4;因此 的特征值为 。
（2）由于 的特征值为1，2，-3，又由特征值的性质可知，如果 为 的特征值，则 的特征值为 ，所以， 的特征值为2，16，-54;从而 的特征值为
;因此， 的特征值为 。
例5：设3阶方阵 满足 ，求 的特征值。
解：设 ，则由
，且
，可得 ，即 ，从而可得矩阵 的特征值为 。
例6：设4阶方阵 满足 ，求 的伴随矩阵 的一个特征值。
解：因为 为4阶方阵，所以有， ，从而，可知 有一个特征值为 。又因为 ，所以， 又由 ，可得
，根据特征值的性质，可知 由一个特征值为 。
例7：证明：（1）如果正交矩阵 的行列式 ，则 是 的特征值;
（2）如果奇数 阶正交矩阵 的行列式 ，则 是的特征值。
证明：（1）因为 为正交矩阵，所以 ，又 ，从而有
，
因此 ，也即 是 的一个特征值。
（2）因为 為奇数 阶正交矩阵，所以有
从而 ，也即 是 的一个特征值。
参考文献
[1] 李乃华.赵芬霞.赵俊英.李景焕.线性代数及其应用导学[M].北京：高等教育出版社，2012.
[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3] 张禾瑞.郝鈵新.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1984.
[4] 高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003
[5] 高等代数与解析几何（下）[M].北京：高等教育出版社，2003
[6] 郭聿琦.岑嘉评.徐贵桐.线性代数导引[M].北京：科学出版社，2001.
作者简介：杨付贵（1957.5）男，天津人，副教授。从事最优化方法研究。