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【设计理念】
数学学习的过程其实就是一个不断解决数学问题的过程。但是学生面对的问题有可能是一个简单的问题，也有可能是一个复杂的问题，表面积的变化就是一个复杂的问题——引起表面积变化的因素很多。遇到复杂的问题应该怎么办？我希望通过这节课的学习能给学生带来有益的启发。著名数学家波利亚曾经说过：“如果你不能解决所提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关问题，辅助问题可能提供方法论的帮助。它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作。”在这节实践活动中，学生开场即遇到一个困难的题目，通过自主互助，相互启发，感受到这样的复杂问题可以合理转化为一个简单的问题，由此开始了实践探究，之后得到了解决问题的规律或者方法，再运用到解决复杂的问题过程中，最后攻克难关，解决难题。这其中渗透了重要的数学思想方法——转化，也运用到科学研究的方法——不完全归纳，在学习过程中学生接受了一次数学思想的洗礼。如果知识的学习是一个载体，那么方法的习得则为其提供了无穷的动力，可以让小小的数学之舟航行得更远。
围绕着“表面积的变化”这一主题，学生通过三次主题操作（拼正方体——拼长方体——拼火柴盒），找出了影响表面积变化的因素，每次操作活动有明确的指向性，重在解决一个问题。在新课程标准的修订稿中，将“双基”变为了“四基”，增加了基本数学思想和基本活动经验，在本次实践活动中，特别关注到学生的科学研究方法的指导，让学生感受到遇到一个复杂问题，循着
这一基本方法来解决问题，让学生感受到科学研究方法的魅力，积累解决复杂问题的经验。
【教学目标】
【教学过程与意图】
一、明确概念，创设困境，激发问题意识
1.出示1个棱长是1的小正方体，思考：表面积和体积分别是多少？
2.出示10个这样的正方体排成一排，思考：这个长方体和原来的10个小正方体相比，什么没变？什么变了？
3.思考：如果20个、30个……小正方体排成一排，体积和原来相比是否改变？表面积是否改变？
4.揭示课题：表面积的变化。
【数学问题解决具有明确的目标指向性，目标是问题解决者主观经验的知觉，它既是问题解决的出发点，也是问题解决的归宿。在本次实践活动中，目标是研究表面积的变化，但是在学生初次接触正方体拼搭问题时，同样也会关注到体积的问题。上课伊始，就将表面积和体积同时提出，并明确研究的问题——表面积的变化，有利于学生开展有目标的学习活动，避免其他因素的干扰。】
二、化繁为简，找出规律，化解疑难问题
1.确定方法：研究10个小正方体拼成一排，表面积的变化情况，这个问题感觉怎么样？遇到这么复杂的问题怎么办呢？
小结：可以先研究几个小正方体排成一排的情况，之后找出其中的规律，然后用这个规律解决复杂的问题。
2.思考：减少的面积和什么有关呢？
3.出示合作学习要求：
（1）先将2个、3个、4个小正方体排成一排。
（2）观察表面积的减少情况，并把观察到的情况记录在表格中。
（3）仔细观察，把找到的规律写下来。
4.展示学生的发现。
发现规律：n个小正方体排成一排，减少（n-1）×2个面。
引导：
（1）减少的面在哪里？
（2）怎么知道重合处有多少个呢？
（3）重合处的个数和正方体的个数有什么关系？
（4）“×2”是什么意思？
（5）谁来举个不同的例子，验证一下？
5.思考：回到先前这个复杂的问题，10个小正方体排成一排，表面积怎么变化？20个呢？
6.小结：要想知道减少的面数，只要知道重合处有几个，之后用重合处的个数×2就可以了。
7.判断：现在同样的6个小正方体拼成两种长方体，表面积相同吗？哪个表面积大？为什么？
8.小结：同学们真是非常聪明，一起解决了这么多复杂的问题。那你以后遇到复杂的问题，知道怎么办了吗？
【学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”当学生遇到一个复杂的数学问题，由以往的学习经验他们知道，应当将其转化为一个简单的数学问题加以研究，得到规律再解决这个复杂的问题。教师充分发挥了学生的主体能动性，让学生主动研究，精心设计，并对得到的结果进行验证，让学生经历了完整、科学的探究过程。】
三、拓展思路，完善思考，解决不同类型的问题
1.思考：刚才我们重点研究了正方体的拼搭，表面积的变化，那么用长方体来拼搭，表面积怎样变化呢？请你自己动手摆一摆，看一看，注意，为了简便起见，拼搭的时候我们都是用相同的面重合。
2.学生展示，课件展示。
3.小结：表面积怎么变化的？减少的面积和什么有关？
4.计算：告诉你长宽高，计算减少的面积。
【著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”所以，教学中应当让学生多方体验，在变式中思维,更好地掌握事物的本质和规律。当学生了解了正方体拼搭后表面积的变化情况，趁热打铁，研究长方体拼搭表面积的变化，可以让学生更加明确引起表面积变化的因素，完善认识。】
四、联系生活，合理设计，感受数学对生活的指导意义
1.出示：把10个长方体形状的火柴盒拼成一个大长方体，并用包装纸包成一包，怎样包装最节省包装纸？
2.思考：你是怎么理解最节省包装纸的？怎样才能做到拼成的长方体表面积最小？
3.出示合作要求：
（1）先独立思考：怎样拼才能使拼成的长方体的表面积最小？并在小组内交流。
（2）选取小组中最好的方法拼一拼。
（3）想一想：为什么这种拼法最节约包装纸？
4.展示学生的不同拼法，说一说为什么这样的方法拼成的长方体表面积最小。
5.交流：在实际生活中，人们也经常将物体合理拼搭，进行整体包装，说一说。
6.小结：其实数学知识无处不在，只要我们多观察、多思考，就能用数学知识解释和解决生活中的更多问题。
【数学来源于生活，也服务于生活。学生能够认识到数学存在于现实生活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。生活中的问题与数学问题相比，有联系也有区别，摈弃过于繁琐的生活特征，凸显强烈的数学特征，有利于学生去伪存真，解决问题。在教学的最后环节，让学生把10个长方体形状的火柴盒拼成一个大长方体，并用包装纸包成一包，学生利用手中的材料进行拼搭和观察，找出最节省包装纸的方法，在这里并没有让学生实际动手包装，而是通过操作和有序的数学思考，利用所学习的知识，找出节约包装纸的方法，让生活中的数学问题充满了数学味儿。】
（作者单位：南京市游府西街小学）
数学学习的过程其实就是一个不断解决数学问题的过程。但是学生面对的问题有可能是一个简单的问题，也有可能是一个复杂的问题，表面积的变化就是一个复杂的问题——引起表面积变化的因素很多。遇到复杂的问题应该怎么办？我希望通过这节课的学习能给学生带来有益的启发。著名数学家波利亚曾经说过：“如果你不能解决所提出的问题，环视一下四周，找一个适宜的有关问题，辅助问题可能提供方法论的帮助。它可能提示解的方法、解的轮廓，或是提示我们应从哪一个方向着手工作。”在这节实践活动中，学生开场即遇到一个困难的题目，通过自主互助，相互启发，感受到这样的复杂问题可以合理转化为一个简单的问题，由此开始了实践探究，之后得到了解决问题的规律或者方法，再运用到解决复杂的问题过程中，最后攻克难关，解决难题。这其中渗透了重要的数学思想方法——转化，也运用到科学研究的方法——不完全归纳，在学习过程中学生接受了一次数学思想的洗礼。如果知识的学习是一个载体，那么方法的习得则为其提供了无穷的动力，可以让小小的数学之舟航行得更远。
围绕着“表面积的变化”这一主题，学生通过三次主题操作（拼正方体——拼长方体——拼火柴盒），找出了影响表面积变化的因素，每次操作活动有明确的指向性，重在解决一个问题。在新课程标准的修订稿中，将“双基”变为了“四基”，增加了基本数学思想和基本活动经验，在本次实践活动中，特别关注到学生的科学研究方法的指导，让学生感受到遇到一个复杂问题，循着
这一基本方法来解决问题，让学生感受到科学研究方法的魅力，积累解决复杂问题的经验。
【教学目标】
【教学过程与意图】
一、明确概念，创设困境，激发问题意识
1.出示1个棱长是1的小正方体，思考：表面积和体积分别是多少？
2.出示10个这样的正方体排成一排，思考：这个长方体和原来的10个小正方体相比，什么没变？什么变了？
3.思考：如果20个、30个……小正方体排成一排，体积和原来相比是否改变？表面积是否改变？
4.揭示课题：表面积的变化。
【数学问题解决具有明确的目标指向性，目标是问题解决者主观经验的知觉，它既是问题解决的出发点，也是问题解决的归宿。在本次实践活动中，目标是研究表面积的变化，但是在学生初次接触正方体拼搭问题时，同样也会关注到体积的问题。上课伊始，就将表面积和体积同时提出，并明确研究的问题——表面积的变化，有利于学生开展有目标的学习活动，避免其他因素的干扰。】
二、化繁为简，找出规律，化解疑难问题
1.确定方法：研究10个小正方体拼成一排，表面积的变化情况，这个问题感觉怎么样？遇到这么复杂的问题怎么办呢？
小结：可以先研究几个小正方体排成一排的情况，之后找出其中的规律，然后用这个规律解决复杂的问题。
2.思考：减少的面积和什么有关呢？
3.出示合作学习要求：
（1）先将2个、3个、4个小正方体排成一排。
（2）观察表面积的减少情况，并把观察到的情况记录在表格中。
（3）仔细观察，把找到的规律写下来。
4.展示学生的发现。
发现规律：n个小正方体排成一排，减少（n-1）×2个面。
引导：
（1）减少的面在哪里？
（2）怎么知道重合处有多少个呢？
（3）重合处的个数和正方体的个数有什么关系？
（4）“×2”是什么意思？
（5）谁来举个不同的例子，验证一下？
5.思考：回到先前这个复杂的问题，10个小正方体排成一排，表面积怎么变化？20个呢？
6.小结：要想知道减少的面数，只要知道重合处有几个，之后用重合处的个数×2就可以了。
7.判断：现在同样的6个小正方体拼成两种长方体，表面积相同吗？哪个表面积大？为什么？
8.小结：同学们真是非常聪明，一起解决了这么多复杂的问题。那你以后遇到复杂的问题，知道怎么办了吗？
【学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”当学生遇到一个复杂的数学问题，由以往的学习经验他们知道，应当将其转化为一个简单的数学问题加以研究，得到规律再解决这个复杂的问题。教师充分发挥了学生的主体能动性，让学生主动研究，精心设计，并对得到的结果进行验证，让学生经历了完整、科学的探究过程。】
三、拓展思路，完善思考，解决不同类型的问题
1.思考：刚才我们重点研究了正方体的拼搭，表面积的变化，那么用长方体来拼搭，表面积怎样变化呢？请你自己动手摆一摆，看一看，注意，为了简便起见，拼搭的时候我们都是用相同的面重合。
2.学生展示，课件展示。
3.小结：表面积怎么变化的？减少的面积和什么有关？
4.计算：告诉你长宽高，计算减少的面积。
【著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”所以，教学中应当让学生多方体验，在变式中思维,更好地掌握事物的本质和规律。当学生了解了正方体拼搭后表面积的变化情况，趁热打铁，研究长方体拼搭表面积的变化，可以让学生更加明确引起表面积变化的因素，完善认识。】
四、联系生活，合理设计，感受数学对生活的指导意义
1.出示：把10个长方体形状的火柴盒拼成一个大长方体，并用包装纸包成一包，怎样包装最节省包装纸？
2.思考：你是怎么理解最节省包装纸的？怎样才能做到拼成的长方体表面积最小？
3.出示合作要求：
（1）先独立思考：怎样拼才能使拼成的长方体的表面积最小？并在小组内交流。
（2）选取小组中最好的方法拼一拼。
（3）想一想：为什么这种拼法最节约包装纸？
4.展示学生的不同拼法，说一说为什么这样的方法拼成的长方体表面积最小。
5.交流：在实际生活中，人们也经常将物体合理拼搭，进行整体包装，说一说。
6.小结：其实数学知识无处不在，只要我们多观察、多思考，就能用数学知识解释和解决生活中的更多问题。
【数学来源于生活，也服务于生活。学生能够认识到数学存在于现实生活中，并被广泛应用于现实世界，才能切实体会到数学的应用价值。生活中的问题与数学问题相比，有联系也有区别，摈弃过于繁琐的生活特征，凸显强烈的数学特征，有利于学生去伪存真，解决问题。在教学的最后环节，让学生把10个长方体形状的火柴盒拼成一个大长方体，并用包装纸包成一包，学生利用手中的材料进行拼搭和观察，找出最节省包装纸的方法，在这里并没有让学生实际动手包装，而是通过操作和有序的数学思考，利用所学习的知识，找出节约包装纸的方法，让生活中的数学问题充满了数学味儿。】
（作者单位：南京市游府西街小学）