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最近，江苏省南京市下关区进修学校组织获得“优秀青年教师”称号的几位教师开汇报课，课题是苏教版《数学》九年级上册“图形与证明（二）”的复习课。具体要求是对本章重点知识进行整理，帮助学生对证明的必要性、证明的方法与思路、证明表述的规范等有进一步的理解和领悟。笔者听过后，感受颇多。现就本节课的部分教学片段加以赏析，并谈谈笔者的一些思考。
片段一 活动与思考
用一张长方形纸片折一个正方形，你能证明四边形ADEF是正方形吗？
（2分钟后，学生就完成了操作，并积极思考证明方法）
生1：将长方形纸片按图1的方式折叠，裁去右边部分可得正方形ADEF。
师：生1折叠出的四边形ADEF一定是正方形吗？
生2：是的。由长方形ABCD可得：∠A＝∠ADC＝90°，由折叠知：△ADF≌△EDF，因此∠A＝∠DEF＝90°，AD＝ED。所以四边形ADEF是正方形。
师：生2的证明思路很清晰。通过这个活动大家有什么想法吗？
生3：仅靠操作得出的结论不一定是正确的，其正确性还须通过推理论证。
师：很好！今天我们在上节课的基础上继续复习“图形与证明（二）”。
【赏析】本教学片段旨在通过操作活动调动学生参与课堂的积极性，学生在操作活动中表现积极，学习兴趣浓，在思考如何证明时，思维活跃，表述清晰。教学中也有个别同学思路受阻，但通过与同桌的交流后也能完成。在新授课、习题课或复习课的教学中，教师可采用猜想、操作、说理、验证等手段，以突破教学难点，培养学生良好的思维习惯。
片段二 常规问题
例1 如图2，在△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F。求证：DE=DF。
师：请大家独立思考，并在学案上书写证明过程。
（大多数学生3分钟左右就完成了，教师选取一学生的作业展示，并请该生谈思考方法。）
生4：我是通过证明三角形全等解决的。因为要证明两条线段相等，而且这两条线段分别是△BDE、△CDF的边，分析条件可得到∠B=∠C，BD=CD，所以△BDE≌△CDF。
师：生4分析得很完整。还有不同的思考方法吗？
生5：（展示作业）我是利用角平分线的性质解决的。因为DE、DF分别表示点D到边AB、AC的距离，要证明DE=DF，我就试着思考能否证明出AD是∠BAC的平分线，分析条件AB=AC，D为底边BC的中点，利用等腰三角形底边的中线平分顶角的性质就可以知道AD是∠BAC的平分线，从而解决问题。
师：大家明白生5的思考方法吗？（学生集体回答：明白）显然生5是从另一个角度来思考问题的。从这个问题的解决中，我们得到哪些启示呢？大家可以分别交流，然后面向全班同学汇报小组交流内容。
（3分钟后，大部分小组有想法了）
生6：我们小组认为，要证明两条线段相等，最常用的方法是证明这两条线段所在的两个三角形全等，不过，有时也可能与等腰三角形、特殊平行四边形等知识相联系。因此，在分析问题时，要结合已知条件、图形加以辨析，寻找适合的解决方法。
生7：我们小组认为，做证明题时，一般有两种方法，一种就是从已知条件入手，通过分析已知条件得到一些新的结论，然后对照结论，思考可运用哪些条件来解决问题；还有一种是可以由结论逆推，即倒过来思考。更好的做法是，从条件与结论两个方面共同思考，生4、生5就是这样做的，我们认为效果很好！
生8：我们小组认为，分析很重要，但证明过程的表述也很重要，每一个步骤都要完整，而且能运用我们所学过的定理、性质。
师：三个小组的代表汇报得很好！大家在讨论时特别好，既归纳了一般方法，还提出了注意点。希望同学们继续保持这种严谨的思维习惯。
【赏析】本题是一道常规的证明问题，难度小，解决方法单一。目的是帮助学生回顾等腰三角形的主要知识，并对证明问题的一般思路加以小结、归纳。在思考中，学生能从不同角度分析，互相补充、完善，表现出良好的思维品质。在几何证明问题的教学中，应以学生独立思考、小组合作交流等学习形式为主，摈弃教师的“一言堂”旧习，教师在归纳、总结中也应突出学生的主体作用。
片段三 变式问题
例2 如图3，将?荀ABCD的边DC延长到点E，使CE=CD，连接AE，交BC于点F。
（1）你能得出什么结论？请加以证明。
（2）连接AC、BE ，如图4，请添加一个适当的条件，使四边形ABEC是矩形。
（3）小明添加了∠AFC=2∠D，你能证明四边形ABEC是矩形吗？试一试。
（4）你能不能试着提出一个问题，请同学添加适当的条件使问题成立？
师：请大家思考问题1，并交流你的想法。
生9：我的结论是AB=CE，由?荀ABCD 可得AB=CD，又CE=CD，所以结论成立。
生10：生9的结论太简单了些，我的结论是△ABF≌△ECF。由AB∥CD可得：∠BAF=∠E，∠B=∠ECF，再由生9得到的结论，就可以证明了。
生11：在生10的基础上还可以得到BF=CF，AF=EF。
师：大家讨论得很好。哪位同学归纳一下，解决这类问题需要注意些什么？
生12：我认为解决几何问题寻找结论，可以从线段、角、基本图形等方面思考。
生13：我认为寻找新的结论时，要尽可能多地使用已知条件，比如生9的结论就太简单了。
师：大家总结得很有条理，这些都是我们在学习中需要引起重视的地方。我们来看问题2，大家思考一会，然后交流。
生14：由生11得出的结论，可以知道四边形ABEC是平行四边形了，因此只要添加条件∠BAC=90°，或者AE=BC就可以了。
生15：也可以添加条件AE=AD，方法与生14的差不多。
师：大家思路很开阔，想法也很好。解决了问题（1）、（2）之后，有什么想法吗？
生16：问题（1）是根据已知条件寻找新的结论，问题（2）是给出部分条件和结论，让我们添加新的条件来解决。两个问题有很多的不同。
师：生16归纳得很好。这种问题我们称之为开放型问题，解决的途径常常有多种，大家可以结合自身的情况选择最适合自己的方法去解决，同时要吸收其他同学的一些精彩想法。大家共同来看问题3。
生17：由问题2的解决知道，四边形ABEC已经是平行四边形了，因此只要能结合条件∠AFC=2∠D，证明出四边形ABEC的一个内角是直角或者对角线相等就可以了。只是我还没有想出具体的解决办法。
师：生17的思路很好！大家可以继续思考，也可以小组讨论。
生18：我想出来了！由平行四边形ABEC可以得出∠ABC=∠D，所以∠AFC=2∠ABF，又∠AFC=∠B+∠BAF，所以，∠BAF=∠ABF，所以FA=FB，因此AE=BC，就可以证得四边形ABEC为矩形。
生19：在生18的基础上可以证明出AE=AD，又CE=CD，所以AC⊥DE，即∠ACE=90°，则问题就解决了。
师：由于时间关系，还有不同的思路我们留到课后交流了。刚才交流自己想法的三位同学中，哪一位同学的思路显得尤为重要？
学生齐答：生17！
师：是的。我们在分析问题时，要有全局的意识，只有把解决问题的大方向把握了，那么问题就不难解决了。大家来思考最后一个小问题。
生20：我的问题是，添加一个条件，使四边形ABEC是菱形。可以从边、对角线的角度思考，具体是添加AB=AC，或者AE⊥BC。
生21：我的问题是，添加适当的条件，使四边形ABEC是正方形。至少需要添加两个条件，在生20的基础上，再添加∠BAC=90°或者AE=BC就可以了。
师：很好！请大家课后继续交流。刚才我们花了不少时间探究了四个问题，其实四个问题是环环相扣的，第（1）、（2）、（4）都是开放型问题，大家交流得很好！问题3是在问题2的基础上给出的一种特殊情况，生17的想法值得大家借鉴。下面我们来做练习……
【赏析】本教学片段以平行四边形为基础，设计了三个不同层次的开放型问题和一个确定型问题，关注学生思维方法的训练与提高，同时对学生提出问题的水平也有所关注。通过学生独立思考、小组讨论、班级汇报等方式组织活动，效果很好！学生的学习积极性很高，思维非常活跃。在探究思维层次较高的问题时，可适当铺设台阶，增加变式练习，以更好地关注不同层次学生的思维水平发展。
波利亚说过，掌握数学，就是意味着善于解题。在笔者平时所听的习题课中，大多数教师都不放心学生，只是一味地自己讲，不愿意留出时间让学生思考、交流。结果，题目讲解得很多，但收效甚微。
在教学过程中，教师在把握预设与生成方面表现得相当出色。如在生2回答问题后，教师问：“生2的证明思路很清晰。通过这个活动大家有什么想法吗？”因此就出现生3的精彩小结。这样避免了传统教学中常常出现的教师“一言堂”现象。再如，生5回答结束后，教师问：“大家明白生5的思考方法吗？（学生集体回答：明白）显然生5是从另一个角度来思考问题的。从这个问题的解决中，我们得到哪些启示呢？大家可以分别交流，然后面向全班汇报小组的交流内容。”学生交流出了一系列精彩的想法，帮助大家归纳出了一般性的证明两条线段相等的思路与方法。当然，如果教师接着问：“我们证明两个角相等可以有什么办法呢？”或许效果会更好。分析例2时，教师放手让学生思考，只说了简短的几句话，而且学生在交流中显得意犹未尽。其实，在后面的课堂练习中，教师也是这样做的。
在数学教学中，除了复习课、习题课，我们在上新授课时也会遇到大量的习题教学。在习题教学中，教师应更多关注如何分析问题，而不能一味地教学生做习题。只要给学生足够的思考时间，预设能激发学生思维的问题，我们的教学就一定有效果。长期这样，学生的思维水平也必将得到很大提升！（作者单位：江苏省南京市第39中学）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail:[email protected]
片段一 活动与思考
用一张长方形纸片折一个正方形，你能证明四边形ADEF是正方形吗？
（2分钟后，学生就完成了操作，并积极思考证明方法）
生1：将长方形纸片按图1的方式折叠，裁去右边部分可得正方形ADEF。
师：生1折叠出的四边形ADEF一定是正方形吗？
生2：是的。由长方形ABCD可得：∠A＝∠ADC＝90°，由折叠知：△ADF≌△EDF，因此∠A＝∠DEF＝90°，AD＝ED。所以四边形ADEF是正方形。
师：生2的证明思路很清晰。通过这个活动大家有什么想法吗？
生3：仅靠操作得出的结论不一定是正确的，其正确性还须通过推理论证。
师：很好！今天我们在上节课的基础上继续复习“图形与证明（二）”。
【赏析】本教学片段旨在通过操作活动调动学生参与课堂的积极性，学生在操作活动中表现积极，学习兴趣浓，在思考如何证明时，思维活跃，表述清晰。教学中也有个别同学思路受阻，但通过与同桌的交流后也能完成。在新授课、习题课或复习课的教学中，教师可采用猜想、操作、说理、验证等手段，以突破教学难点，培养学生良好的思维习惯。
片段二 常规问题
例1 如图2，在△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F。求证：DE=DF。
师：请大家独立思考，并在学案上书写证明过程。
（大多数学生3分钟左右就完成了，教师选取一学生的作业展示，并请该生谈思考方法。）
生4：我是通过证明三角形全等解决的。因为要证明两条线段相等，而且这两条线段分别是△BDE、△CDF的边，分析条件可得到∠B=∠C，BD=CD，所以△BDE≌△CDF。
师：生4分析得很完整。还有不同的思考方法吗？
生5：（展示作业）我是利用角平分线的性质解决的。因为DE、DF分别表示点D到边AB、AC的距离，要证明DE=DF，我就试着思考能否证明出AD是∠BAC的平分线，分析条件AB=AC，D为底边BC的中点，利用等腰三角形底边的中线平分顶角的性质就可以知道AD是∠BAC的平分线，从而解决问题。
师：大家明白生5的思考方法吗？（学生集体回答：明白）显然生5是从另一个角度来思考问题的。从这个问题的解决中，我们得到哪些启示呢？大家可以分别交流，然后面向全班同学汇报小组交流内容。
（3分钟后，大部分小组有想法了）
生6：我们小组认为，要证明两条线段相等，最常用的方法是证明这两条线段所在的两个三角形全等，不过，有时也可能与等腰三角形、特殊平行四边形等知识相联系。因此，在分析问题时，要结合已知条件、图形加以辨析，寻找适合的解决方法。
生7：我们小组认为，做证明题时，一般有两种方法，一种就是从已知条件入手，通过分析已知条件得到一些新的结论，然后对照结论，思考可运用哪些条件来解决问题；还有一种是可以由结论逆推，即倒过来思考。更好的做法是，从条件与结论两个方面共同思考，生4、生5就是这样做的，我们认为效果很好！
生8：我们小组认为，分析很重要，但证明过程的表述也很重要，每一个步骤都要完整，而且能运用我们所学过的定理、性质。
师：三个小组的代表汇报得很好！大家在讨论时特别好，既归纳了一般方法，还提出了注意点。希望同学们继续保持这种严谨的思维习惯。
【赏析】本题是一道常规的证明问题，难度小，解决方法单一。目的是帮助学生回顾等腰三角形的主要知识，并对证明问题的一般思路加以小结、归纳。在思考中，学生能从不同角度分析，互相补充、完善，表现出良好的思维品质。在几何证明问题的教学中，应以学生独立思考、小组合作交流等学习形式为主，摈弃教师的“一言堂”旧习，教师在归纳、总结中也应突出学生的主体作用。
片段三 变式问题
例2 如图3，将?荀ABCD的边DC延长到点E，使CE=CD，连接AE，交BC于点F。
（1）你能得出什么结论？请加以证明。
（2）连接AC、BE ，如图4，请添加一个适当的条件，使四边形ABEC是矩形。
（3）小明添加了∠AFC=2∠D，你能证明四边形ABEC是矩形吗？试一试。
（4）你能不能试着提出一个问题，请同学添加适当的条件使问题成立？
师：请大家思考问题1，并交流你的想法。
生9：我的结论是AB=CE，由?荀ABCD 可得AB=CD，又CE=CD，所以结论成立。
生10：生9的结论太简单了些，我的结论是△ABF≌△ECF。由AB∥CD可得：∠BAF=∠E，∠B=∠ECF，再由生9得到的结论，就可以证明了。
生11：在生10的基础上还可以得到BF=CF，AF=EF。
师：大家讨论得很好。哪位同学归纳一下，解决这类问题需要注意些什么？
生12：我认为解决几何问题寻找结论，可以从线段、角、基本图形等方面思考。
生13：我认为寻找新的结论时，要尽可能多地使用已知条件，比如生9的结论就太简单了。
师：大家总结得很有条理，这些都是我们在学习中需要引起重视的地方。我们来看问题2，大家思考一会，然后交流。
生14：由生11得出的结论，可以知道四边形ABEC是平行四边形了，因此只要添加条件∠BAC=90°，或者AE=BC就可以了。
生15：也可以添加条件AE=AD，方法与生14的差不多。
师：大家思路很开阔，想法也很好。解决了问题（1）、（2）之后，有什么想法吗？
生16：问题（1）是根据已知条件寻找新的结论，问题（2）是给出部分条件和结论，让我们添加新的条件来解决。两个问题有很多的不同。
师：生16归纳得很好。这种问题我们称之为开放型问题，解决的途径常常有多种，大家可以结合自身的情况选择最适合自己的方法去解决，同时要吸收其他同学的一些精彩想法。大家共同来看问题3。
生17：由问题2的解决知道，四边形ABEC已经是平行四边形了，因此只要能结合条件∠AFC=2∠D，证明出四边形ABEC的一个内角是直角或者对角线相等就可以了。只是我还没有想出具体的解决办法。
师：生17的思路很好！大家可以继续思考，也可以小组讨论。
生18：我想出来了！由平行四边形ABEC可以得出∠ABC=∠D，所以∠AFC=2∠ABF，又∠AFC=∠B+∠BAF，所以，∠BAF=∠ABF，所以FA=FB，因此AE=BC，就可以证得四边形ABEC为矩形。
生19：在生18的基础上可以证明出AE=AD，又CE=CD，所以AC⊥DE，即∠ACE=90°，则问题就解决了。
师：由于时间关系，还有不同的思路我们留到课后交流了。刚才交流自己想法的三位同学中，哪一位同学的思路显得尤为重要？
学生齐答：生17！
师：是的。我们在分析问题时，要有全局的意识，只有把解决问题的大方向把握了，那么问题就不难解决了。大家来思考最后一个小问题。
生20：我的问题是，添加一个条件，使四边形ABEC是菱形。可以从边、对角线的角度思考，具体是添加AB=AC，或者AE⊥BC。
生21：我的问题是，添加适当的条件，使四边形ABEC是正方形。至少需要添加两个条件，在生20的基础上，再添加∠BAC=90°或者AE=BC就可以了。
师：很好！请大家课后继续交流。刚才我们花了不少时间探究了四个问题，其实四个问题是环环相扣的，第（1）、（2）、（4）都是开放型问题，大家交流得很好！问题3是在问题2的基础上给出的一种特殊情况，生17的想法值得大家借鉴。下面我们来做练习……
【赏析】本教学片段以平行四边形为基础，设计了三个不同层次的开放型问题和一个确定型问题，关注学生思维方法的训练与提高，同时对学生提出问题的水平也有所关注。通过学生独立思考、小组讨论、班级汇报等方式组织活动，效果很好！学生的学习积极性很高，思维非常活跃。在探究思维层次较高的问题时，可适当铺设台阶，增加变式练习，以更好地关注不同层次学生的思维水平发展。
波利亚说过，掌握数学，就是意味着善于解题。在笔者平时所听的习题课中，大多数教师都不放心学生，只是一味地自己讲，不愿意留出时间让学生思考、交流。结果，题目讲解得很多，但收效甚微。
在教学过程中，教师在把握预设与生成方面表现得相当出色。如在生2回答问题后，教师问：“生2的证明思路很清晰。通过这个活动大家有什么想法吗？”因此就出现生3的精彩小结。这样避免了传统教学中常常出现的教师“一言堂”现象。再如，生5回答结束后，教师问：“大家明白生5的思考方法吗？（学生集体回答：明白）显然生5是从另一个角度来思考问题的。从这个问题的解决中，我们得到哪些启示呢？大家可以分别交流，然后面向全班汇报小组的交流内容。”学生交流出了一系列精彩的想法，帮助大家归纳出了一般性的证明两条线段相等的思路与方法。当然，如果教师接着问：“我们证明两个角相等可以有什么办法呢？”或许效果会更好。分析例2时，教师放手让学生思考，只说了简短的几句话，而且学生在交流中显得意犹未尽。其实，在后面的课堂练习中，教师也是这样做的。
在数学教学中，除了复习课、习题课，我们在上新授课时也会遇到大量的习题教学。在习题教学中，教师应更多关注如何分析问题，而不能一味地教学生做习题。只要给学生足够的思考时间，预设能激发学生思维的问题，我们的教学就一定有效果。长期这样，学生的思维水平也必将得到很大提升！（作者单位：江苏省南京市第39中学）
□责任编辑 周瑜芽
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