构建数学模型，不仅是《小学数学课程标准》的明确要求，更是学生发展的需要。北师大版小学《数学》教材在编写上也充分凸显了数学模型的重要性。它考虑到小学生的认知需要经历逐步深化、提高的过程，所以将四个领域的学习内容采用逐步拓展、渐进深化的结构，按照“问题情境——建立模型——解释与应用”的叙述方式进行编排。
　　比如，由于学生对小数认识的最直接经验来自价钱，因此在第一学段中，教材设计了“元、角、分与小数”的单元，使学生在熟悉的情境中学习小数及其简单加减运算的初步知识。这个单元的学习为以后小数的学习提供了一个直观、具体的模型，是后续学习的基础。在第二学段继续学习小数及其运算时，教材首先通过丰富的实例拓展了学生对小数的认识；在探索小数运算法则时，仍然可以先借助元、角、分的模型，再拓展到身高、体重等具体模型，并最终脱离具体模型掌握小数的运算法则。
　　那么，如何在相互关联的教学内容中，递进性地构建数学模型呢？下面就以“小数意义的认识”为例，谈一谈自己的思考。
　　一、拨去面纱，初见端倪——第一学段建模
　　北师大版小学《数学》三年级上册《文具店》，创设了学生文具店购买文具的具体情境，借助元角分帮助学生初步理解小数的意义。如何在初次认识小数时就借助建模的思想给学生帮助呢？笔者做了如下尝试：
　　师：同学们，你们在购买文具时用到的钱，单位有哪些？
　　生（齐）：元、角、分。
　　师：请在学具袋中拿出老师为大家准备的学具，按照从大到小的顺序摆一摆。
　　师：观察桌上的摆图，看看会发现什么规律？
　　生1：按照从大到小的顺序摆的。
　　生2：从左往右依次平均分成10份，取其中的一份。
　　生3：从左往右，后者是前者的十分之一。
　　师：很会观察，也很会思考。如果将它们进行分类，可以怎样分？分类的标准是什么？
　　生4：100元、10元、1元为一类，1角、1分为一类。
　　生5：把元作單位的分为一类，角和分作单位的为一类。
　　生6：把等于或者大于1元的分为一类，不够一元的分为一类。
　　师：如此，我们把这些钱分成了两类（PPT演示：在1元和1角之间出现一条竖线）。
　　左边的是1元以上的，右边是不足1元的。现在把这些钱请上计数器，谁愿意来试一试？
　　（一名学生在PPT上操作，完成如图：
　　师：在计数器上如何把1元以上的和不足1元的分开？
　　生1：打上一个点。
　　师：就按你们说的办（PPT演示如下图）。这个数是多少，请同学们在草稿本上写一写。
　　（学生写数：111.11，教师用PPT示范。）
　　师：我们把像这样的数称作“小数”，这个点称为“小数点”。你们在什么地方见过这样的小数呢？
　　生2：商品的价钱。
　　生3：赛跑成绩。
　　生4：体重。
　　生5：眼睛的视力。
　　生6：体温。
　　师：同学们的生活经验很丰富。（手指大屏幕）再看看这个小数，小数点将小数分成了几部分？每一部分可以怎样命名？
　　生1：两部分。左边的是整数，右边的……（学生遇到了困难）
　　生2：右边的不足1元，是不是就应该是小数？
　　师：是啊，小数点将小数分成了左右两部分，左边的是整数部分，右边的是小数部分（边说边用PPT出示下图）。
　　师：小数点右边第一位上的“1”表示什么？
　　生1：表示把1元平均分成10份，其中的1份是1角。
　　师：如果小数点右边第一位上的数是“5”，它又表示什么？
　　生2：表示把1元平均分成10份，一份是1角，5份就是5角。
　　师：小数点右边第二位上的“1”表示什么？
　　生3：表示把1角平均分成10份，其中的1份是1分。
　　生4：因为1元=100分，所以我认为也可以表示把1元平均分成100份，取其中的1份，也就是1分。
　　师：同学们，让我们把热烈的掌声送给他，他特别善于开动脑筋。现在计数器上表示的是多少钱？
　　生（齐）：一百一十一元一角一分。
　　师：同学们很能干。请你随意在草稿本上写出一个小数，考考你的同桌，让他说说小数部分每一个数位上的数表示什么，如果以“元”作单位，表示多少钱。
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　　数学模型的构建过程，实际上就是“数学化”的过程。在实际操作中，借助摆一摆、找一找、分一分，发现小数相邻两个计数单位的十进制关系。通过计数器模型，直观感受小数的组成，理解小数点右边数位上的数表示的意义，依靠模型的意义解决生活中的实际问题。在这个建模思想的渗透过程中，由生活中的具体实例开始，借助操作予以内化和强化，最后通过阐述和思维发散加以扩展和推广，赋予了小数深刻的模型意义。
　　二、曲径通幽，再探究竟——第二学段建模
　　在三年级借助元、角、分现实背景初步认识小数的基础上，第二学段对于小数的认识，主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……教材中学习内容的编排是层层递进的：通过生活中的元、角、分素材，认识小数与十进分数的关系，再抽象到一般意义上的小数与十进分数的关系，最后让学生带着对小数意义的认识回归生活，进一步体会小数的意义。如何体现这次建模与第一学段建模的关联性，并在第一学段建模的基础上，递进性地帮助学生深入理解小数的意义呢？教学片段如下：
　　师：同学们，0.1元是多少钱？为什么？
　　生1：0.1元是1角。因为将1元钱平均分成10份，1份是1角。
　　师（出示图1）：如果用这样的一个长方形表示1元，你能把它分一分、涂一涂，将0.1元表示出来吗？ 　　师：谁来介绍一下自己的做法？
　　生1：我先把这个长方形平均分成10份，然后选取其中的一份涂色。
　　师：涂色的一份是不是0.1？
　　（学生点头。）
　　师：用分数如何表示？为什么？
　　生1：十分之一。因为选取的这一份是长方形的十分之一。
　　师：这个长方形除了可以表示1元，还可以表示什么？
　　生1：10元。
　　生2：4个苹果。
　　生3：一袋米。
　　生4：一包糖。
　　师：同学们很会思考。生活中的物品，不管它有多少，是一个，还是多个，都可以用这个长方形来表示。那0.1除了可以表示钱以外，还可以表示什么？
　　生2：可以表示长度，0.1米。
　　师：0.1米是多长？为什么？
　　生2：0.1米是1分米。因为把1米平均分成10份，每一份是1分米。
　　师：还可以表示什么？
　　生3：0.1摄氏度。
　　师：0.1摄氏度是怎样得到的？
　　生3：把1摄氏度平均分成10份，取其中的一份。
　　师：还可以表示什么？又是怎样得到的？
　　生4：0.1千克。是把1千克平均分成10份，取其中的一份。
　　生5：0.1平方米。把1平方米平均分成10份，取其中的一份。
　　师：如果我们把长方形表示的物品用“1”来表示，0.9是怎么得到的？用分数怎样表示？
　　生1：0.9表示把“1”平均分成10份，取其中的9份。用分数表示是十分之九。
　　师：下面请同桌两人一组，互相说一个像0.1、0.9这样的小数，让对方说说这个小数是怎么得到的，以及用分数表示是多少。
　　（学生两人一组开始活动。）
　　师：同学们说得这么热烈，我也来凑凑热闹（板书：1.3）。如果还是用一个长方形表示“1”，怎样才能表示出1.3呢？请同学们在学具纸上涂一涂、画一画。
　　（学生独立在学具纸上操作。）
　　师：谁来分享一下自己的做法？
　　生1：我画了两个长方形，第一个全部涂成黑色。第二个平均分成10份，只涂其中的3份。（教师将其展示如图3。）
　　师：为什么要这么做？
　　生1：因为1.3里面已经有了一个1，就要先选一个长方形，剩下的0.3就要把第二个长方形平均分成10份，选取其中的3份。
　　师：如果一个练习本2.6元，又该如何用图来表示呢？
　　生1：先画两个长方形，全部涂成颜色。再把第三个平均分成10份，涂出其中的6份。
　　师：好，就像这样，同桌两人一组，其中一人说一个小数，另一人说如何用图表示，开始。
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　　上述教学过程将抽象的数与生活实际相连，给予发散拓展，紧紧围绕知识间的联系（小数与十进分数的关系）展开。在学生大胆的尝试与摸索中，借助于直观图形的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”——将长方形平均分成10份，选取其中的几份。这种形象的“直观模型”架起了小数和分数之间的桥梁，很好地承担起了“种子知识点”的任务，为后面两位小数、三位小数的学习起到了引领作用。
　　这两个教学案例告诉我们，运用建模思想来指导小学数学教学，有利于学生从生活经验和客观事实出发，在研究具体问题的过程中学习、理解和应用数学。这为学生提供了大量观察、操作、实验、思考与交流的机会，有利于学生掌握数学知识的内涵，学会数学地思考，提高解决问题的能力，获得良好的情感体验。但是对学生“模型意识”的培养和“建模方法”的指导，不仅要根据具体内容和学习对象而有不同的要求，更要准确把握教材，充分考虑到学习内容之间的联系、延伸与拓展，有的放矢地做到有层次地、递进性地培养学生的建模能力，逐步渗透模型思想。
　　（作者单位：伍愈文，五峰土家族自治县实验小学；晏兴鼎，五峰土家族自治县中小学教研培訓中心）
　　责任编辑 孙爱蓉