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随着课程改革的不断深入，动手操作成了数学课堂上常见的学习方式。作为一种形象、直观和生动的学习方式，动手操作深得学生和教师的喜爱，教学中如果应用得当，能促进学生对知识的理解，激起学生的数学思考，有利于数学问题的解决。当前，很多教师已认识到操作的重要性，课堂中也进行了一系列操作活动，但笔者发现许多操作流于热闹的形式，教师关注的仅仅是学习方式的外显，忽视操作活动对学生学习的内在影响，学生常常没有进行深刻的体验和深入的思考，试想这样的操作有何价值？那么，在教学中怎样使操作活动更为有效呢？
一、引发冲突，让操作成为需求
学生动手操作的真正动因不是教师的强加，而是源于学生自身成功解决问题的需要。因此，只有在学生有心理需求时，进行的操作才能有价值，才能起到事半功倍的效果。因此，在教学中，教师要注意引发冲突，让学生想操作。如在教学《 平移和旋转 》时，直接出示平移房子的方格图，让学生观察，猜想小房子向右平移了几格，学生出现了各种猜想，错误的、正确的都有。这时候，学生急于想知道谁对谁错，急于验证自己的猜想，此时教师提出：“怎样才能知道究竟移动了几个格子呢？”有的学生说如果能移一移就好了。这时教师让学生在材料袋中取出方格纸和小房子的图片，学生动手操作验证结论。
显然，操作顺应了学生的心理需求，这样的操作为学生积累了移动的直观经验，必将为下一步脱离操作数格子、怎样数才能数得对和数得准等学习活动做好了铺垫和准备，更重要的是，操作是在学生怀疑自己猜想是否正确时而进行的实践验证，在学生迫切想知道答案但又存在客观困难之时安排的操作尊重了学生的心理需求，是对学生“善解人意”的关怀和帮助。学生思维指向集中，体验真实深刻，因此较好地发挥了操作应有的作用。
二、语言内化，让表达成为纽带
动手操作是在多种感官协同下进行的，以内部语言的形式悄悄展开着的思维，此时，外在的语言表达会促进内隐的思维活动的条理化、清晰化和抽象化。因此在指导学生动手操作时，要注意多让学生用数学语言有条理地表述操作过程，叙述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑思考、动口表达有机地结合起来，这样才能促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深化理解知识的目的。
例如在教学“长方形面积”时，教师要求学生用多个1平方厘米的小正方形摆出不同的长方形，然后汇报自己摆的情况。（表1）
由于表格数有限，第四个学生汇报的就不能写出。于是教师提问：你猜猜他是怎么摆出这个长方形的？一共需要多少个小正方形呢？你能和你的同桌说说吗？这样，学生们根据自己刚才的操作经验很容易“猜”到：“长边用了6个1平方厘米的正方形，宽边摆了3排，一共用了18个小正方形，面积是18平方厘米。”接着教师话锋一转：“操场上一个长方形长6米宽5米，你能说说这样的一个长方形该怎样摆吗？你觉得老师一定会用1平方米的正方形去摆吗？”
学生在动手操作的基础之上，通过语言表达的形式叙述别人摆放小正方形的过程，先怎样，再怎样……这样的表达使得学生脱离具体的直观，“操作”在学生的头脑中更有条理、更加清晰、更为简化，“‘素朴的’直观和经验转变成了‘精致的’直观和经验”[1]，这些“精致的”直观和经验，随着学生认识的深化会有效地促进学生思维的提升。语言表达在手脑之间架起了动作和思维的桥梁，成为了联系的纽带和工具。
三、表象提升，让抽象成为目标
学生通过操作应该能获得这样那样的一些经验，但它们是处于一种自发状态的，是不成体系、零散的，也是比较感性、浅显的，教师应及时对这些经验、表象进行提升、整理，帮助学生在适当的时候跳出具体、直观的操作，在相对抽象或是更为一般的层面上认识问题。例如学习《 圆的面积 》时，在让学生动手剪拼出近似的长方形之后，有的教师很快就引导学生观察图形，思考圆的各部分和长方形各部分之间的关系，很顺利地得出了圆的面积计算公式。从结果上看，学生也能结合操作推导出公式，似乎达到了教学的目标，但是试想，这样的教学，学生从中得到了什么？是不是每位学生都能在头脑中建构起相应的数学对象了呢？答案当然是否定的。很显然，上面的教学片段，人为地割裂了直观和抽象之间的联系，似乎学生的动手剪拼只是为学生提供观察思考的材料，脱离了表象，学生很难在头脑中建立起圆的面积计算的实际意义。可以说，操作没有发挥应有的作用，对圆的面积公式的理解也只能建立在单纯的模仿和机械记忆的水平上，教学效果可想而知了。如果教师在学生充分动手操作后，再增加一个教学环节：（1）同学们，你们已经动手把圆剪拼成了长方形，现在不看剪拼的纸片，你们能在头脑中回想剪拼的过程吗？（2）在头脑中回放半圆剪成小扇形展开拉伸以及又合拢成半圆的过程，你发现长方形的长、宽和圆有什么关系呢？学生的思索在黑暗中悄悄地进行，他们通过在头脑中回放展开和合拢的动态过程，很容易把握长方形的各部分和圆之间的内在联系。在学生充分感知和生动的表象回放的基础之上进行抽象，学生就能较好地理解圆的面积的实际意义，使得下一步的推导、抽象出计算公式水到渠成，自然贴切。
从上面的教学可以看出，引导学生在头脑中回想操作后形成的动态表象，能使学生“对知识经验的前因后果和来龙去脉进行深入思考，有利于学生在抽象思维中更好地把握过程和结论的关系”。[2]在实际教学中，教师要精心组织操作活动，展示清晰的操作过程，并且通过回想、提问等手段让学生在头脑中复现刚才感知的操作过程，促使学生对自己的操作所获得的经验与认识进行整理内化，以建立和获得清晰的表象。同时通过唤起、提取和提升等手段，能发挥表象的中介作用，有利于学生在更高的层面上对得到的经验进行重新建构，使学生能在“知其所以然”的基础上深刻地理解知识，从而获得数学知识的抽象意义。
四、想象创造，让表象催生火花
学生在动手操作过程中形成的感性经验或者表象是数学活动的认识基础。在组织动手操作时，一方面，要引导学生根据操作所获得的具体感知或表象，充分展开分析、比较、概括、综合等思维活动，及时地内化数学知识；另一方面，这些感性经验或表象，甚至也会为学生进行创造性思维活动提供帮助，催生创新的火花。
例如教师在教学环形的面积时，直接出示一个环形，提问：“你能想办法求出这个环形的面积吗？”挑战性的问题激起了学生们的思考，他们有的通过用减法算出环形的面积，但同时也有的同学提出：“老师，是不是环形的面积计算也能像圆那样通过剪拼推导出公式呢？”原来学生在推导圆的面积公式操作中形成的图形表象在遇到环形面积这个新问题时产生了作用，学生对已有表象进行加工改造而创造出新形象，也就是说学生进行了想象。对于学生这一创造性的想法我给予了充分的肯定，并组织他们动手剪拼，试着验证自己的想法。最后他们把环形转化成一个近似的平行四边形，从而得出了环形的面积的计算公式：S=π（R2－r2）。
可以看出，学生动手操作中形成的表象是进行成功想象的前提，教师组织的动手操作又是对想象的结果进行确认和验证，通过后续的操作又会形成新的表象，既强化了学生对知识本质的认识，也为学生的发明创造提供了原型基础。
综上所述，数学教学中学生的操作活动不是简单的动手，操作活动必须在教师的指导下展开，操作活动的安排必须尊重学生的主体需要。教学中，教师要通过语言内化、表象提升和想象创造等手段，帮助学生实现操作价值和意义的最大化，同时也只有当学生的观察、比较、抽象和想象等深层次思维活动介入到操作活动中时，操作才能有效。
（作者单位：新沂市新安小学，江苏 新沂，221400）
参考文献：
［1］郑毓信．国际视角下的小学数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2003.
［2］张兴华．建立表象，发挥中介作用［J］．小学数学教学，2008（6）.
一、引发冲突，让操作成为需求
学生动手操作的真正动因不是教师的强加，而是源于学生自身成功解决问题的需要。因此，只有在学生有心理需求时，进行的操作才能有价值，才能起到事半功倍的效果。因此，在教学中，教师要注意引发冲突，让学生想操作。如在教学《 平移和旋转 》时，直接出示平移房子的方格图，让学生观察，猜想小房子向右平移了几格，学生出现了各种猜想，错误的、正确的都有。这时候，学生急于想知道谁对谁错，急于验证自己的猜想，此时教师提出：“怎样才能知道究竟移动了几个格子呢？”有的学生说如果能移一移就好了。这时教师让学生在材料袋中取出方格纸和小房子的图片，学生动手操作验证结论。
显然，操作顺应了学生的心理需求，这样的操作为学生积累了移动的直观经验，必将为下一步脱离操作数格子、怎样数才能数得对和数得准等学习活动做好了铺垫和准备，更重要的是，操作是在学生怀疑自己猜想是否正确时而进行的实践验证，在学生迫切想知道答案但又存在客观困难之时安排的操作尊重了学生的心理需求，是对学生“善解人意”的关怀和帮助。学生思维指向集中，体验真实深刻，因此较好地发挥了操作应有的作用。
二、语言内化，让表达成为纽带
动手操作是在多种感官协同下进行的，以内部语言的形式悄悄展开着的思维，此时，外在的语言表达会促进内隐的思维活动的条理化、清晰化和抽象化。因此在指导学生动手操作时，要注意多让学生用数学语言有条理地表述操作过程，叙述获取知识的思维过程，把动手操作、动脑思考、动口表达有机地结合起来，这样才能促进感知有效地转化为内部的智力活动，达到深化理解知识的目的。
例如在教学“长方形面积”时，教师要求学生用多个1平方厘米的小正方形摆出不同的长方形，然后汇报自己摆的情况。（表1）
由于表格数有限，第四个学生汇报的就不能写出。于是教师提问：你猜猜他是怎么摆出这个长方形的？一共需要多少个小正方形呢？你能和你的同桌说说吗？这样，学生们根据自己刚才的操作经验很容易“猜”到：“长边用了6个1平方厘米的正方形，宽边摆了3排，一共用了18个小正方形，面积是18平方厘米。”接着教师话锋一转：“操场上一个长方形长6米宽5米，你能说说这样的一个长方形该怎样摆吗？你觉得老师一定会用1平方米的正方形去摆吗？”
学生在动手操作的基础之上，通过语言表达的形式叙述别人摆放小正方形的过程，先怎样，再怎样……这样的表达使得学生脱离具体的直观，“操作”在学生的头脑中更有条理、更加清晰、更为简化，“‘素朴的’直观和经验转变成了‘精致的’直观和经验”[1]，这些“精致的”直观和经验，随着学生认识的深化会有效地促进学生思维的提升。语言表达在手脑之间架起了动作和思维的桥梁，成为了联系的纽带和工具。
三、表象提升，让抽象成为目标
学生通过操作应该能获得这样那样的一些经验，但它们是处于一种自发状态的，是不成体系、零散的，也是比较感性、浅显的，教师应及时对这些经验、表象进行提升、整理，帮助学生在适当的时候跳出具体、直观的操作，在相对抽象或是更为一般的层面上认识问题。例如学习《 圆的面积 》时，在让学生动手剪拼出近似的长方形之后，有的教师很快就引导学生观察图形，思考圆的各部分和长方形各部分之间的关系，很顺利地得出了圆的面积计算公式。从结果上看，学生也能结合操作推导出公式，似乎达到了教学的目标，但是试想，这样的教学，学生从中得到了什么？是不是每位学生都能在头脑中建构起相应的数学对象了呢？答案当然是否定的。很显然，上面的教学片段，人为地割裂了直观和抽象之间的联系，似乎学生的动手剪拼只是为学生提供观察思考的材料，脱离了表象，学生很难在头脑中建立起圆的面积计算的实际意义。可以说，操作没有发挥应有的作用，对圆的面积公式的理解也只能建立在单纯的模仿和机械记忆的水平上，教学效果可想而知了。如果教师在学生充分动手操作后，再增加一个教学环节：（1）同学们，你们已经动手把圆剪拼成了长方形，现在不看剪拼的纸片，你们能在头脑中回想剪拼的过程吗？（2）在头脑中回放半圆剪成小扇形展开拉伸以及又合拢成半圆的过程，你发现长方形的长、宽和圆有什么关系呢？学生的思索在黑暗中悄悄地进行，他们通过在头脑中回放展开和合拢的动态过程，很容易把握长方形的各部分和圆之间的内在联系。在学生充分感知和生动的表象回放的基础之上进行抽象，学生就能较好地理解圆的面积的实际意义，使得下一步的推导、抽象出计算公式水到渠成，自然贴切。
从上面的教学可以看出，引导学生在头脑中回想操作后形成的动态表象，能使学生“对知识经验的前因后果和来龙去脉进行深入思考，有利于学生在抽象思维中更好地把握过程和结论的关系”。[2]在实际教学中，教师要精心组织操作活动，展示清晰的操作过程，并且通过回想、提问等手段让学生在头脑中复现刚才感知的操作过程，促使学生对自己的操作所获得的经验与认识进行整理内化，以建立和获得清晰的表象。同时通过唤起、提取和提升等手段，能发挥表象的中介作用，有利于学生在更高的层面上对得到的经验进行重新建构，使学生能在“知其所以然”的基础上深刻地理解知识，从而获得数学知识的抽象意义。
四、想象创造，让表象催生火花
学生在动手操作过程中形成的感性经验或者表象是数学活动的认识基础。在组织动手操作时，一方面，要引导学生根据操作所获得的具体感知或表象，充分展开分析、比较、概括、综合等思维活动，及时地内化数学知识；另一方面，这些感性经验或表象，甚至也会为学生进行创造性思维活动提供帮助，催生创新的火花。
例如教师在教学环形的面积时，直接出示一个环形，提问：“你能想办法求出这个环形的面积吗？”挑战性的问题激起了学生们的思考，他们有的通过用减法算出环形的面积，但同时也有的同学提出：“老师，是不是环形的面积计算也能像圆那样通过剪拼推导出公式呢？”原来学生在推导圆的面积公式操作中形成的图形表象在遇到环形面积这个新问题时产生了作用，学生对已有表象进行加工改造而创造出新形象，也就是说学生进行了想象。对于学生这一创造性的想法我给予了充分的肯定，并组织他们动手剪拼，试着验证自己的想法。最后他们把环形转化成一个近似的平行四边形，从而得出了环形的面积的计算公式：S=π（R2－r2）。
可以看出，学生动手操作中形成的表象是进行成功想象的前提，教师组织的动手操作又是对想象的结果进行确认和验证，通过后续的操作又会形成新的表象，既强化了学生对知识本质的认识，也为学生的发明创造提供了原型基础。
综上所述，数学教学中学生的操作活动不是简单的动手，操作活动必须在教师的指导下展开，操作活动的安排必须尊重学生的主体需要。教学中，教师要通过语言内化、表象提升和想象创造等手段，帮助学生实现操作价值和意义的最大化，同时也只有当学生的观察、比较、抽象和想象等深层次思维活动介入到操作活动中时，操作才能有效。
（作者单位：新沂市新安小学，江苏 新沂，221400）
参考文献：
［1］郑毓信．国际视角下的小学数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2003.
［2］张兴华．建立表象，发挥中介作用［J］．小学数学教学，2008（6）.