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形如f （x）=ax+bx（a，b∈R+，x≠0）的函数，在此不妨把它叫做“对钩”函数；在近几年高考试题中时常涉及，特别是它的单调性及其应用尤为广泛.
一、“对钩”函数 的性质.
1.单调性
因为f ′（x）=a-bx2由f ′（x）=a-bx2>0得x<-ba或x>ba.
从而f ′（x）=a-bx2<0有-ba 2.极值（最值）
由（1）中导函数性质可知x=±ba是f （x）=ax+bx的两个极值点，极值分别为2ab，-2ab.
3.奇偶性和图象
图1易知 f （x）=ax+bx在定义域上为奇函数，其图象如图1，它关于原点成中心对称图形，其每一支图线它不具有对称性，而象老师批改作业时打的“钩”这也是我把它叫“对钩”函数的原因.
其实，该“对钩”函数的应用关键在于极值点（单调区间的分界点）的选取.在此也可以由均值不等式辅助快速求取.具体这样做，当x>0时ax+bx≥2ab，当且仅当ax=bx.
即x=ba时取等号，此时x=ba，就是一个极值点，由对称性，可得另一个极值点为x=-ba，从而也就可以确定它的单调区间.
二、求函数的值域或最值
例1 求函数y=cos2x+5sinx-6sinx-32的值域.
解： y=1-2sin2x+5·sinx-6sinx-32=4sin2x-10sinx+103-2sinx=（3-2sinx）+43-2sinx-1.
令t=3-2sinx， t∈[1，5]
则y=f （t）=t+4t-1 t∈[1，5]
由t+4t≥4，此时t=4t即t=2，可知f（t）在（0，2]是单调递减在[1，5]上单调递增，且f （1）=4，f （2）=3，f （5）=245，所以y=f （t）的值域为[3，245].
注：由于每支图象在极值点处不具有对称性因而最大值的求取要比较左、右端点值.
例2 求函数y=7x-5x，x∈[2，3]的最大值.
解：，令t=7x-5则x=17（t2+5），
所以y=f（t）=7tt2+5=7t+5t，又因为2≤x≤3，所以3≤t≤4.
由上述性质1、易知g（t）=t+5t在区间[3，4]上是增函数.
所以当t=3，即x=2时，g（t）min=143，从而函数ymax=32.
此题用判别式法和基本不等式法都容易出错.
三、确定参数的取值范围
例3 已知关于x的方程cos2x+2msinx-9=0有解，求实数m的取值范围.
解：原方程可化为 -2sin2x+2m·sinx-9=0.
即 sin2x-m·sinx+4=0.
令t=sinx则原题意等价于关于t的方程， t2-mt+4=0 （*）在[-1，1]上有实数解，求实数m的范围.
解：依题意t ， 从而方程（*）化为m=t+4t =f（t）.
由“对钩”函数性质易知f （t）在区间[-2，0）和（0，2]上均为单调递减，而-1∈[-2，0），1∈（0，2].
且f （-1）=5，f（1）=5故m∈（-∞，-5]∪ [5，+∞）.
此法比分情况求解要简单得多，它避免上了分类讨论，且运算简便.
四、证明不等式
例4 已知a+b+c=1，且a，b，c∈R+，求证：abc+1abc≥27127.
证明：令f （x）=x+1x ，x∈（0，1）.
因为f （x）在（0，1）上是单调递减函数，而0 所以f （abc）>f （127），即abc+1abc>27127.
五、在实际问题中的应用
图2例5 如图2，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为3 cm，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b乘积成反比，现制箱材料为60 m2，问a，b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.（A、B孔面积可不计）.
解：设y为流出水中杂质的质量分数，则y=ka·b其中k为正常数，依题意：
4b+2ab+2a=60 （a>0，b>0）
b=30-a2+a （0①
所以y=ka·b=k30a-a22+a， 令t=2+a，
f （t）=30a-a22+a=-t2+34t-64t=-（t+64t）+34 （2 由前边性质易知t+64t在（0，8]上为减函数，在[8，+∞）上为增函数，故f （t）在（2，8]为增函数.在[8，32）上为减函数.
故0
云南省宣威市第八中学 （655400）
一、“对钩”函数 的性质.
1.单调性
因为f ′（x）=a-bx2由f ′（x）=a-bx2>0得x<-ba或x>ba.
从而f ′（x）=a-bx2<0有-ba 2.极值（最值）
由（1）中导函数性质可知x=±ba是f （x）=ax+bx的两个极值点，极值分别为2ab，-2ab.
3.奇偶性和图象
图1易知 f （x）=ax+bx在定义域上为奇函数，其图象如图1，它关于原点成中心对称图形，其每一支图线它不具有对称性，而象老师批改作业时打的“钩”这也是我把它叫“对钩”函数的原因.
其实，该“对钩”函数的应用关键在于极值点（单调区间的分界点）的选取.在此也可以由均值不等式辅助快速求取.具体这样做，当x>0时ax+bx≥2ab，当且仅当ax=bx.
即x=ba时取等号，此时x=ba，就是一个极值点，由对称性，可得另一个极值点为x=-ba，从而也就可以确定它的单调区间.
二、求函数的值域或最值
例1 求函数y=cos2x+5sinx-6sinx-32的值域.
解： y=1-2sin2x+5·sinx-6sinx-32=4sin2x-10sinx+103-2sinx=（3-2sinx）+43-2sinx-1.
令t=3-2sinx， t∈[1，5]
则y=f （t）=t+4t-1 t∈[1，5]
由t+4t≥4，此时t=4t即t=2，可知f（t）在（0，2]是单调递减在[1，5]上单调递增，且f （1）=4，f （2）=3，f （5）=245，所以y=f （t）的值域为[3，245].
注：由于每支图象在极值点处不具有对称性因而最大值的求取要比较左、右端点值.
例2 求函数y=7x-5x，x∈[2，3]的最大值.
解：，令t=7x-5则x=17（t2+5），
所以y=f（t）=7tt2+5=7t+5t，又因为2≤x≤3，所以3≤t≤4.
由上述性质1、易知g（t）=t+5t在区间[3，4]上是增函数.
所以当t=3，即x=2时，g（t）min=143，从而函数ymax=32.
此题用判别式法和基本不等式法都容易出错.
三、确定参数的取值范围
例3 已知关于x的方程cos2x+2msinx-9=0有解，求实数m的取值范围.
解：原方程可化为 -2sin2x+2m·sinx-9=0.
即 sin2x-m·sinx+4=0.
令t=sinx则原题意等价于关于t的方程， t2-mt+4=0 （*）在[-1，1]上有实数解，求实数m的范围.
解：依题意t ， 从而方程（*）化为m=t+4t =f（t）.
由“对钩”函数性质易知f （t）在区间[-2，0）和（0，2]上均为单调递减，而-1∈[-2，0），1∈（0，2].
且f （-1）=5，f（1）=5故m∈（-∞，-5]∪ [5，+∞）.
此法比分情况求解要简单得多，它避免上了分类讨论，且运算简便.
四、证明不等式
例4 已知a+b+c=1，且a，b，c∈R+，求证：abc+1abc≥27127.
证明：令f （x）=x+1x ，x∈（0，1）.
因为f （x）在（0，1）上是单调递减函数，而0 所以f （abc）>f （127），即abc+1abc>27127.
五、在实际问题中的应用
图2例5 如图2，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为3 cm，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b乘积成反比，现制箱材料为60 m2，问a，b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.（A、B孔面积可不计）.
解：设y为流出水中杂质的质量分数，则y=ka·b其中k为正常数，依题意：
4b+2ab+2a=60 （a>0，b>0）
b=30-a2+a （0①
所以y=ka·b=k30a-a22+a， 令t=2+a，
f （t）=30a-a22+a=-t2+34t-64t=-（t+64t）+34 （2 由前边性质易知t+64t在（0，8]上为减函数，在[8，+∞）上为增函数，故f （t）在（2，8]为增函数.在[8，32）上为减函数.
故0
云南省宣威市第八中学 （655400）