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摘要：通过一道初中数学的基础填空题，引发了对数学本质的思考，进而用近世代数的观点解答了这道题;然后回到实际课堂当中，指出问题对初中数学教学的启示;最后把问题引向深入，通过近世代数的视角探索了一个因式分解的例子。
关键词：初中数学;近世代数;多项式环;未定元;未知数;因式分解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）22-0354-02
一、符号说明
本文用正体粗体的表示实数集，用斜体细体的表示一个一般的环。
二、问题的提出、思考和解答
在初中数学整式一章的基础练习中，常常出现这样的填空题：
例1 ________。
在通常情况下，学生无外乎有两种答案。
答案1 。
答案2
如果你是一位初中数学教师，你会认为答案2是正确答案。但作为一道填空题，做到答案1就可以了。在此，我们不禁要问：答案2真的比答案1更好吗？如果你觉得答案2是正确答案，那依据是什么呢？为什么按照中考要求，答案1也正确呢？
事实上，答案1和答案2都可能是正确答案，但都有其局限性，关键看你用什么观点来理解。
在初等代数意义下，如果我们把字母x看作一个数，则答案2显然要比答案1完整。但是，在代数式当中，字母x真的表示一个数吗？如果x表示一个数，那关于多项式的理论是不是毫无缺陷呢？
注：在近世代数中，“多项式”和“整式”表示同一个概念。
再举一个简单例子。
例2 将多项式进行因式分解。
例2最后的答案是还是，抑或有其他答案？
这就引发我们对数学本质的思考了。事实上，全体实系数一元多项式构成一个环（ring），它是一个欧几里得整环（Euclidean domain），它和整数环有很多相似之处。多项式中的字母并不表示一个数，而有其特殊的含义。
在近世代数中，我们有如下的概念和结论。
定义1 设R是一个有单位元的环，是的扩环，是中的一个元素。如果满足
（1）对任意的，;
（2）;
（3）对R的任意一组不全为零的元素，
则称为上的一个未定元（indeterminate）（参看参考文献[2]）。
定理1 设是一个有单位元的环，则一定存在环上的一个未定元（参看参考文献[2]）。
定义2 设是一个有单位元的环，是上的一个未定元。上关于的一元多项式全体关于多项式的运算也构成一个环，称为上的以为未定元的一元多项式环（polynomial ring）（参看参考文献[2]）。
由上述定义和定理不难看出，由于实数集是一个有单位元的环（事实上还是一个域（field）），因此在上存在一个未定元，构成一个一元多项式环。
我们不禁要问：中的未定元是否属于呢？由定义1的（3）不难发现，对于任意的，都有（因为此时），即，因此。用同样的方法可以说明，在中，在中，在中……
事实上，对于任意一个有单位元的环R，在中我们都有。由于，因此。所以在任何一个一元多项式环当中，字母x一定不等于0。
有了这样的认识，我们回过头来看例1。如果我们把，都看成中的元素（实系数一元多项式），则是上的一个未定元（不是未知数），它一定不等于0，当然也不等于0。因此，分类讨论就没有必要了，此时答案1变成了正确答案。
对于例1我们可以这样总结：如果我们把，看作两个实系数一元多项式（此时x是上的未定元（indeterminate），），把原题看作多项式的除法运算，则正确答案是答案1;如果我们把，看作两个定义在上的一元多项式函数（此时x是上的未知数（unknown number），），把原题看作函数的除法运算，则正确答案是答案2。
三、问题对初中数学教学的启示
通过上一小节的论述，我们可以体会到，数学学科是相当严谨的。对于同一道题目，如果我们用两种不同的观点去看，就会得出两种截然不同的答案。因此，老师在平时教学中，也要抱着科学严谨的态度，深刻理解每一个概念，用规范的数学语言引导学生，从而使学生养成良好的学习习惯。
当然对于例1，我们不能给中学生解释“环”“未定元”这些近世代数的概念。但按照中考要求，答案1的确是正确答案。我想，我们可以告诉学生，在类似的问题里面，我们一般都把、、0看作代数式（整式），而和0是两个不同的代数式，因此作为代数式的除法运算，只要除式（特别指明是除数）不为0，我们就不需要分类讨论。我想，这样的解释，应该比简单告诉学生我们默认为分母不等于0要好，至少更符合数学的规范。对优等生我们可以给他们提供一个思路：代数式当中的字母x有其特殊的含义，它和方程、函数中的字母x是不一样的，如果你们今后学习高等代数和近世代数，就会逐渐接触到这部分内容了。提供这样的思路，是为了激发学生学习数学的兴趣和进一步求知的欲望，并为他们从中学到大学学习数学做了很好的衔接和铺垫。当然在大学代数类课程里，如果我们能给出类似例1和例2的一些实例，也会对学生理解“未定元”“多项式环”这些概念有很大帮助。
四、问题引向深入：对因式分解例子的初步思考与探索
回到例2，我们该如何对多项式进行因式分解呢？在初中数学课本里，我们这样定义因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式（参看参考文献[1]）。而在近世代数中，把一个多项式因式分解，是指把一个多项式写成几个不可约多项式（irreducible polynomial）的乘积的形式，而不可约多项式指的是相应多项式环中的不可约元（irreducible element）。对于多项式，当我们把它看作或或中的元素时它的标准分解式是（注：此时已经是不可约多项式，可以不用分解，我们习惯上把它写成或或中的一个单位（unity）6乘以一个首一多项式（monic polynomial）的形式，这样的写法称为域上多项式的标准分解式）;而当我们把它看作中的元素时它的标准分解式应该是或;另外，当我们把它看作高斯整环（Gauss domain）上的多项式环中的元素时，它的标准分解式则是;等等。关于多項式因式分解的话题，在此不做进一步展开，有兴趣的读者可以参考文献[2][3][4]。
关键词：初中数学;近世代数;多项式环;未定元;未知数;因式分解
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1674-9324（2020）22-0354-02
一、符号说明
本文用正体粗体的表示实数集，用斜体细体的表示一个一般的环。
二、问题的提出、思考和解答
在初中数学整式一章的基础练习中，常常出现这样的填空题：
例1 ________。
在通常情况下，学生无外乎有两种答案。
答案1 。
答案2
如果你是一位初中数学教师，你会认为答案2是正确答案。但作为一道填空题，做到答案1就可以了。在此，我们不禁要问：答案2真的比答案1更好吗？如果你觉得答案2是正确答案，那依据是什么呢？为什么按照中考要求，答案1也正确呢？
事实上，答案1和答案2都可能是正确答案，但都有其局限性，关键看你用什么观点来理解。
在初等代数意义下，如果我们把字母x看作一个数，则答案2显然要比答案1完整。但是，在代数式当中，字母x真的表示一个数吗？如果x表示一个数，那关于多项式的理论是不是毫无缺陷呢？
注：在近世代数中，“多项式”和“整式”表示同一个概念。
再举一个简单例子。
例2 将多项式进行因式分解。
例2最后的答案是还是，抑或有其他答案？
这就引发我们对数学本质的思考了。事实上，全体实系数一元多项式构成一个环（ring），它是一个欧几里得整环（Euclidean domain），它和整数环有很多相似之处。多项式中的字母并不表示一个数，而有其特殊的含义。
在近世代数中，我们有如下的概念和结论。
定义1 设R是一个有单位元的环，是的扩环，是中的一个元素。如果满足
（1）对任意的，;
（2）;
（3）对R的任意一组不全为零的元素，
则称为上的一个未定元（indeterminate）（参看参考文献[2]）。
定理1 设是一个有单位元的环，则一定存在环上的一个未定元（参看参考文献[2]）。
定义2 设是一个有单位元的环，是上的一个未定元。上关于的一元多项式全体关于多项式的运算也构成一个环，称为上的以为未定元的一元多项式环（polynomial ring）（参看参考文献[2]）。
由上述定义和定理不难看出，由于实数集是一个有单位元的环（事实上还是一个域（field）），因此在上存在一个未定元，构成一个一元多项式环。
我们不禁要问：中的未定元是否属于呢？由定义1的（3）不难发现，对于任意的，都有（因为此时），即，因此。用同样的方法可以说明，在中，在中，在中……
事实上，对于任意一个有单位元的环R，在中我们都有。由于，因此。所以在任何一个一元多项式环当中，字母x一定不等于0。
有了这样的认识，我们回过头来看例1。如果我们把，都看成中的元素（实系数一元多项式），则是上的一个未定元（不是未知数），它一定不等于0，当然也不等于0。因此，分类讨论就没有必要了，此时答案1变成了正确答案。
对于例1我们可以这样总结：如果我们把，看作两个实系数一元多项式（此时x是上的未定元（indeterminate），），把原题看作多项式的除法运算，则正确答案是答案1;如果我们把，看作两个定义在上的一元多项式函数（此时x是上的未知数（unknown number），），把原题看作函数的除法运算，则正确答案是答案2。
三、问题对初中数学教学的启示
通过上一小节的论述，我们可以体会到，数学学科是相当严谨的。对于同一道题目，如果我们用两种不同的观点去看，就会得出两种截然不同的答案。因此，老师在平时教学中，也要抱着科学严谨的态度，深刻理解每一个概念，用规范的数学语言引导学生，从而使学生养成良好的学习习惯。
当然对于例1，我们不能给中学生解释“环”“未定元”这些近世代数的概念。但按照中考要求，答案1的确是正确答案。我想，我们可以告诉学生，在类似的问题里面，我们一般都把、、0看作代数式（整式），而和0是两个不同的代数式，因此作为代数式的除法运算，只要除式（特别指明是除数）不为0，我们就不需要分类讨论。我想，这样的解释，应该比简单告诉学生我们默认为分母不等于0要好，至少更符合数学的规范。对优等生我们可以给他们提供一个思路：代数式当中的字母x有其特殊的含义，它和方程、函数中的字母x是不一样的，如果你们今后学习高等代数和近世代数，就会逐渐接触到这部分内容了。提供这样的思路，是为了激发学生学习数学的兴趣和进一步求知的欲望，并为他们从中学到大学学习数学做了很好的衔接和铺垫。当然在大学代数类课程里，如果我们能给出类似例1和例2的一些实例，也会对学生理解“未定元”“多项式环”这些概念有很大帮助。
四、问题引向深入：对因式分解例子的初步思考与探索
回到例2，我们该如何对多项式进行因式分解呢？在初中数学课本里，我们这样定义因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式因式分解（factorization），也叫作把这个多项式分解因式（参看参考文献[1]）。而在近世代数中，把一个多项式因式分解，是指把一个多项式写成几个不可约多项式（irreducible polynomial）的乘积的形式，而不可约多项式指的是相应多项式环中的不可约元（irreducible element）。对于多项式，当我们把它看作或或中的元素时它的标准分解式是（注：此时已经是不可约多项式，可以不用分解，我们习惯上把它写成或或中的一个单位（unity）6乘以一个首一多项式（monic polynomial）的形式，这样的写法称为域上多项式的标准分解式）;而当我们把它看作中的元素时它的标准分解式应该是或;另外，当我们把它看作高斯整环（Gauss domain）上的多项式环中的元素时，它的标准分解式则是;等等。关于多項式因式分解的话题，在此不做进一步展开，有兴趣的读者可以参考文献[2][3][4]。