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【摘要】探究了通过对矩阵进行初等变换，同步求出矩阵特征值和特征向量的问题，并从相似矩阵具有相同的特征多项式出发，逐步改变和减弱命题中相关条件，得到几个关于矩阵特征多项式的结论。
【关键词】矩阵 特征值 特征向量 特征多项式 同步求解
特征方程中有很多的学问对于解决很多自然科学，诸如物理、力学、工程技术中的许多问题都有着很大的功用，也因此矩阵的特征值才显得尤为的具有普适性和广泛性。但是现有的高校教材和参考我资料中对于特征方程的求解还是老方法。只是先求出特征值，然后再由方程组来求特征向量。但是这种特征解法并不是最好的方法，有一些不科学之处，首先就是没有能够摆脱带参数行列式的计算问题．本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，并且针对这种解答的新方法进行了一系列的分析。
一、 特征值
所谓设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characeristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵特征值的求解方法就是Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。 |mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn。
数学上的线性变化有特征向量，这种特征向量是一个非退化的向量，所以其方向改变不会影响到特征的解法，所以特征向量可以按照比例进行缩放，这种缩放以后的特征就是特征值。变换通常可以带来的结果是，特征值和特征向量之间完全的吻合，也就是解答的时候可以不再顾及向量的问题，这样对于解答的时候更加的能够得到特征值这一向量。
二、矩阵的特征值、特征向量和特征多项式的思路分析
数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该线性变换[2]的作用下仍保持与原方向保持在同一条线上（即可能会反向，如果特征值为负），而长度则可能改变。该向量在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。通常一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述。一个特征空间是相同特征值的特征向量的集合。这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。空间的线性变换—例如平移（移动原点），旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些的组合；还有其它的变换—可以通过它们在向量上的作用来可视化。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
实数λ是线性变换T:V→V的一个特征值，如果有一个非零向量x使得T(x)=λx。
例如，三维空间的旋转的一个“特征向量”是沿着旋转轴的一个向量。相应的“特征值”是1，而相应的“特征空间”包含所有和该轴平行的向量。这是一个一维空间，因而它的几何重次是1。这是（这个旋转）的“谱”当中唯一的实数特征值。
A的特征向量的集合被定义乘以A导致简单的把缩放λ的那些向量。因此矩阵在这些向量上的唯一效果是改变它们的长度，并可能反转它们的方向。所以右手端乘以单位矩阵 I，得到为了使这个方程有非零解，我们要求叫做矩阵A的特征多项式的行列式 为零。在我们的例子中，可以计算这个行列式为就获得了矩阵A的特征多项式 。在这种情况下方程的唯一相异解是λ=1。这是矩阵A的特征值。已经找到特征值λ=1，我们可以通过找到的零空间来解出特征向量的空间。换句话说，解出向量，它是的解。
一般的说，2×2非奇异矩阵有两个相异的特征值，因此有两个不同的特征向量。而多数向量的长度和方向二者都会被矩阵所改变，特征向量只改变它们的长度，并不改变它们的方向，除了可能有通过原点的翻转。还有，特征值是不为1的某个数是常见情况，所以特征向量将被这个矩阵拉伸、挤压和/或通过原点翻转。
举例来说明这种特征值的向量，首先可以举个薄金属板的例子，形象的来说，金属板的一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。这个集合就是这个金属板的特征向量，也就是特征量的集合，所以这就是所谓的集合量。如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
三、小结
我们从数学的求解意图上来看，向量的和变化如果能够满足，则向量可以成為市变换的一个特征向量，两者是相对的或是相反的。在这个变换的向量中，特征就是λ，他的集合就是所有解答中相应的特征值。其中是将变换作用于v得到的向量。假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
参考文献
[1] 北京大学数学力学系.高等代数[M]
[2] 刘国琪等.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解[J]
[3] 袁俊伟.关于矩阵群和矩阵的Drayin逆[J]
【关键词】矩阵 特征值 特征向量 特征多项式 同步求解
特征方程中有很多的学问对于解决很多自然科学，诸如物理、力学、工程技术中的许多问题都有着很大的功用，也因此矩阵的特征值才显得尤为的具有普适性和广泛性。但是现有的高校教材和参考我资料中对于特征方程的求解还是老方法。只是先求出特征值，然后再由方程组来求特征向量。但是这种特征解法并不是最好的方法，有一些不科学之处，首先就是没有能够摆脱带参数行列式的计算问题．本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，并且针对这种解答的新方法进行了一系列的分析。
一、 特征值
所谓设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characeristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。
矩阵特征值的求解方法就是Ax=mx，等价于求m，使得(mI-A)x=0，其中I是单位矩阵，0为零矩阵。 |mI-A|=0，求得的m值即为A的特征值。如果n阶矩阵A的全部特征值为m1 m2 ... mn，则|A|=m1*m2*...*mn。
数学上的线性变化有特征向量，这种特征向量是一个非退化的向量，所以其方向改变不会影响到特征的解法，所以特征向量可以按照比例进行缩放，这种缩放以后的特征就是特征值。变换通常可以带来的结果是，特征值和特征向量之间完全的吻合，也就是解答的时候可以不再顾及向量的问题，这样对于解答的时候更加的能够得到特征值这一向量。
二、矩阵的特征值、特征向量和特征多项式的思路分析
数学上，一个线性变换的一个特征向量（本征向量）是一个非退化向量，其方向在该线性变换[2]的作用下仍保持与原方向保持在同一条线上（即可能会反向，如果特征值为负），而长度则可能改变。该向量在该线性变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。通常一个变换可以由其特征值和特征向量完全表述。一个特征空间是相同特征值的特征向量的集合。这些概念在纯数学和应用数学的众多领域中都有重要的应用。在线性代数和泛函分析之外，甚至在一些非线性的情况下，这些概念都是十分重要的。
“特征”一词来自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（亥尔姆霍尔兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。eigen一词可翻译为“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“个体的”—这强调了特征值对于定义特定的变换有多重要。空间的线性变换—例如平移（移动原点），旋转，反射，拉伸，压缩，或者这些的组合；还有其它的变换—可以通过它们在向量上的作用来可视化。向量可以用从一点指向另一点的箭头来表示。
实数λ是线性变换T:V→V的一个特征值，如果有一个非零向量x使得T(x)=λx。
例如，三维空间的旋转的一个“特征向量”是沿着旋转轴的一个向量。相应的“特征值”是1，而相应的“特征空间”包含所有和该轴平行的向量。这是一个一维空间，因而它的几何重次是1。这是（这个旋转）的“谱”当中唯一的实数特征值。
A的特征向量的集合被定义乘以A导致简单的把缩放λ的那些向量。因此矩阵在这些向量上的唯一效果是改变它们的长度，并可能反转它们的方向。所以右手端乘以单位矩阵 I，得到为了使这个方程有非零解，我们要求叫做矩阵A的特征多项式的行列式 为零。在我们的例子中，可以计算这个行列式为就获得了矩阵A的特征多项式 。在这种情况下方程的唯一相异解是λ=1。这是矩阵A的特征值。已经找到特征值λ=1，我们可以通过找到的零空间来解出特征向量的空间。换句话说，解出向量，它是的解。
一般的说，2×2非奇异矩阵有两个相异的特征值，因此有两个不同的特征向量。而多数向量的长度和方向二者都会被矩阵所改变，特征向量只改变它们的长度，并不改变它们的方向，除了可能有通过原点的翻转。还有，特征值是不为1的某个数是常见情况，所以特征向量将被这个矩阵拉伸、挤压和/或通过原点翻转。
举例来说明这种特征值的向量，首先可以举个薄金属板的例子，形象的来说，金属板的一个固定点均匀伸展，使得板上每一个点到该固定点的距离翻倍。这个伸展是一个有特征值2的变换。从该固定点到板上任何一点的向量是一个特征向量，而相应的特征空间是所有这些向量的集合。这个集合就是这个金属板的特征向量，也就是特征量的集合，所以这就是所谓的集合量。如果考虑绳子随着时间流逝发生的变换，它的特征向量，或者说特征函数（如果将绳子假设为一个连续媒介），就是它的驻波—也就是那些通过空气的传播让人们听到弓弦和吉他的拨动声的振动。驻波对应于弦的特定振动，它们使得弦的形状随着时间变化而伸缩一个因子（特征值）。和弦相关的该向量的每个分量乘上了一个依赖于时间的因子。驻波的振幅（特征值）在考虑到阻尼的情况下逐渐减弱。因此可以将每个特征向量对应于一个寿命，并将特征向量的概念和共振的概念联系起来。
三、小结
我们从数学的求解意图上来看，向量的和变化如果能够满足，则向量可以成為市变换的一个特征向量，两者是相对的或是相反的。在这个变换的向量中，特征就是λ，他的集合就是所有解答中相应的特征值。其中是将变换作用于v得到的向量。假设是一个线性变换，那么v可以由其所在向量空间的一组基表示为：其中是向量在基向量上的投影（即坐标），这里假设向量空间为n 维。由此，可以直接以坐标向量表示。利用基向量，线性变换也可以用一个简单的矩阵乘法表示。
参考文献
[1] 北京大学数学力学系.高等代数[M]
[2] 刘国琪等.利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解[J]
[3] 袁俊伟.关于矩阵群和矩阵的Drayin逆[J]