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【摘要】南京大学郑毓信教授说，从数学教学或数学教育过程来看，应更加强调通过数学教学帮助学生学会思维，数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题。可见，思维是数学能力之“核”，也是数学能力之“魂”。如何更好地在数学认知视角下实现自主学习的意义抵达与思维远航？从这一诘问出发，“为思维而教”的本质意义是“为自主学习而教”。
【关键词】数学认知；自主学习；思维远航
2018年是全面贯彻落实党的十九大精神的开局之年，十九大报告指出，我国进入中国特色社会主义新时代，社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。“努力让每个孩子都能享有公平而有质量的教育”，是从教育维度解决社会主要矛盾的途径之一。围绕新时代对“立德树人”的新要求，借着德国诗人荷尔德林[1]“人诗意地栖居”这一语境，思考教育存在的价值，教育无疑是指向“人”更好的存在，抑或是诗意的、美好的栖居，而教育场域的栖居，更多的是思维层面的，给儿童自主的思维空间，让儿童栖居在成长的节律中，这是初心也是使命。
对数学教师而言，“为思维而教”这句话十分熟悉，它在一定程度上揭示了数学教育的本真要义。南京大学郑毓信教授说，从数学教学或数学教育过程来看，应更加强调通过数学教学帮助学生学会思维，数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题。可见，思维是数学能力之“核”，也是数学能力之“魂”。处于最高级的“思维”不是一般意义上的“思考”，它更倾向学习者的主体自觉、自发、自为（自动而为），是一种更加上位、更加统整、更具“超能”的、由内而外、较高水平的思维品质。
杜威认为，[2]“智育的全部和唯一目的就是要养成细心、警觉和透彻的思维习惯”。当一个人的思维成了习惯时，他就具有很强的主动性和自为性了，就能在不知不觉中自觉地将长期学习中所形成的各种思维能力应用到生活的方方面面和各种问题的解决之中。当然，这样的思维素养必须在一次又一次、一课又一课、一年又一年的思维活动中历练、滋养、培育、升华，最终实现“在思维中学会思维”。如何更好地在数学认知视角下实现自主学习的意义抵达与思维远航？从这一诘问出发，“为思维而教”的本质意义是“为自主学习而教”。
客观地讲，“自主学习”不是什么新话题。但是， 正如台湾名师李玉贵所说，好的课堂是上着上着，教师不见了。而我们的课堂，有时候是上着上着，孩子不见了！或者说是学生的丰富性、差异性、独特性、自主性不见了。“课堂的风景在哪里？”，毋庸置疑，在学生那儿，是我們缺失了发现风景的眼睛。显然，我们的课堂从人的发展角度出发略显狭隘和肤浅。数学教学需要课堂向不同方向打开，让学生充分经历数学知识的形成过程，在自主性、创造性的学习活动中获得知识，实现意义抵达与思维远航。
一、向“上”打开，让自主学习更有穿透力
数学课堂要努力向“上”打开，站到数学思想、数学思维的高度来组织和开展数学内容的教学，打破学生思维的平静状态，这样才能实现思维的条理性、结构性、丰富性和自主性。杭州师范大学张华教授曾说，要让学生经历真实的探究、创造、写作与问题解决，发展学生的核心素养，将知识创造过程变成教学和学习过程，让学生人人成为“创客”。
1.向“上”打开就是给学生一个完善、纠正的过程
《正蒙·三十》记载：“六十尽人物之性，声入心通。”学生天赋直觉，课堂要关照学生的直觉力，直觉比以往任何时候都更加能成为课堂发现的创造源泉。数学家伊恩·斯图尔特说：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的，而后来却发现有错误并被纠正的结论。”可见，“先前以为是正确的”很大程度上是学生最本真的直觉感，因而，关照学生直觉力就是给学生一个完善、纠正的过程。
2. 向“上”打开就是给学生“让渡”的机会
“让渡”既能体现出教师的课堂智慧，也显示出一种应对挑战的勇气。去年参加江苏省“师陶杯”论文颁奖有幸执教《圆的周长》。整节课以主问题串联，关注学生直觉力的培养，坚持直觉发现重于直接提出，大胆猜想优于充分实验，并且贯穿始末，直视、正视学生的直觉，然后再让学生从历史的角度感受人类探究历史的漫长，探究过程的艰难，圆周率的小数点每前进一位，都要付出几代人的努力，敬佩人类对真理孜孜不倦的追求。同时，学生在前30多分钟已经积累了对周长和直径的倍数的很多感想，经过教师不断的刺激，在这里向学生介绍圆周率的定义和圆周率的特点，学生会有一种认同感，他已经能把教师传授的语言同他的感触联系在一起，根据建构主义教学的观点，学生已经能自主地把圆周率这个词纳入到自己的知识体系中。
3. 向“上”打开就是“激活”与“唤醒”学生的生命潜能
一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”扎实的基础是产生直觉的源泉。“直觉”不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1%的灵感和99%的血汗中。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂了一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验。对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”
二、向“外”打开，让自主学习更有扩展力
思维需要打开，从“显然正确因而不必证明”的常规思维到“崇尚理性需要证明”的严谨思维，两相对照，才能体会出古希腊理性精神的伟大。所以，我们不能把学生圈养在课本的世界里，要有向“外”打开的思维。在这一语境下，大问题满足了不同层次学生的需求，有利于推动学生多角度、多方向的探索活动，促发了思维的开放性、多样性、深刻性，让他们的思维充满无限的扩展。 1. 向“外”打开就是要创设更多选择性的课堂
“好的教育是可供选择的教育”，课堂的意义就在于提供孩子们更多成长的可能性。200多年前的法国思想家卢梭，他的代表作《爱弥儿》第一次提出了要发现学生、尊重学生的地位，要让学生像学生一样地生活，要让学生自由自在地发展。学生的身体与精神在一同成长，身体需要健康，精神更需要丰富，教育正是指向学生精神世界的成长。
2. 向“外”打开就是要构建新鲜力弥散的课堂
怎样的课堂才具有吸引力？荷兰数学教育家弗赖登塔尔说，课堂中很多的问题，对学生来说是新鲜的，但对于教师而言，都应当烂熟于心。如何做到烂熟于心呢？一是教师对课堂中各种意想不到的挑战应怀持一种开放与接纳的心态，这意味着教师应当有开放的教学理念；二是他对整个教学的思虑应该通透而深刻，对学生提出的挑战不畏惧、不害怕，这里讲的是教师的教学素养；三是教师必须练就一种随机应变的能力，根据临场发生的状况找到一个比较合适的应对方式，这属于教学智慧的层面。
3. 向“外”打开就是要留下思维印记的课堂
在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来不过是笨拙的工具。教师，应努力探索符合学生思维发展的教学模式，把数学教学与学生生活紧密联系起来，促进学生在生长中体验、感悟，培养一双能用数学观察世界的眼睛，一个能用数学思维世界的大脑，向那“产生于上帝笑声回音的、没有人拥有真理而每个人都有权利要求被理解的、迷人的想象王国” 前行。我们的教育已经承受了许多，我们将承受更多。别无选择，唯有积极准备，方能发现新机遇，获得新发展。
三、向“内”打开，让自主学习更有生长力
人的成长过程，是不断自我完善的过程。因此，学习过程中的“开放”，不能缺少向自我的开放，数学课堂要不停地引导学生向“内心”打开，在自我检查、自我反思、自我追问、自我总结中发现自我、提升自我、成就自我。
1. 向“内”打开就是让评价性语言更科学化
教师的评价语言是用一些合理的、夸张的、指向思维本身的言语激励评价，让学生真正获得驱动力而继续发展。但类似的即时评价不应该是终结性评价，在此基础上，还应该继续追问“还有不一样的想法吗？”“比一比谁的发现最多”等，再次推动学生向思维更深处迈进。延时评价也很重要。创造心理学家奥斯本认为，新颖、独特的设想多数出现在思维过程的后半期，思维启动过程中的过早评价，往往会成为思维深入、思维开放的抑制因素，也会导致学生放弃主动学习的方式，养成思维的惰性。因此，给学生充分的自主学习空间，让学生的思维从简单走向丰富、从狭隘走向开阔。
2. 向“内”打开就是无限相信学生
一个教师，面对50个学生，可能还有他们手中的50台随身携带的电脑。谁是权威？权威应该是最能虚怀若谷者，一个知识点会引起几十种引经据典的反驳和讨论，教师应该退回到本来的位置，相信学生，相信学生天赋异禀，为学生创设更为丰沛的呼吸空间。所以，课堂就给学生很大的空间，让学生可以将课题与真实生活情境联系起来，以小组合作或者个体独立的形式，运用批判性思维对课题或项目展开系统而深入的研究，从而形成自己的学科解释或理解，发展学科素养，实现“深度学习”，而教师实现“深度教学”。
3. 向“内”打开就是要让学生体验
以自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方能成为我们知识的一个有机组成部分。这可以作为体验式学习的注脚，其本质就是知识的建构性，没有学习者自身经验的参与，知识只能作为外在的符号存在，而难以被学习者同化，进而成为学习者所把握的知识。
德国教育家安德烈亚斯·施莱歇说：“下一代的年轻人需要创造工作，而不是寻找工作，这需要好奇心、想象力、创新精神、复原力以及乐于从失败中学习。”[3]基于此，笔者以教育者的直觉与敏辩，意识到随着时代的发展，教育需要寻找新的呈现样态，而数学认知视角下自主学习的意义指向的就是核心素养中的学会学习和自主创新，这是对时代语言的转向，也是对教育理解的转向。在面向未来的学习中，我们的学生对于自己的学习到底有多大的自主权？过去提出的“个性化学习”一直在规避一个重要主体，“谁”在个性化，如果学校已经帮学生个性化了，那还是真正的“自主学习”吗？石中英在《教育哲學导论》中提出，无论是人类的学习还是个体的学习，都不是一个外在的过程，而是一个内在的思想交流、对话、质疑以及达成新见解的过程。这个过程就其本质来说，是自觉、自愿和自由的，任何外在的强迫都无助于启动和维持这一过程。
正如费尔巴哈所言，人的最内在的本质不表现在“我思故我在”的命题中，而表现在“我欲故我在”的命题中，因而，数学认知视角下自主学习的意义抵达与思维远航需要通过向上、向外、向内的促发，培塑自主学习的能力，而这一切最终指向的是基于每一个个体对自身的内在需求和超导能力。
【参考文献】
[1]（德）马丁·海德格尔.人诗意地栖居[M].北京时代华文书局，2017.
[2]（美）约翰·杜威.我们如何思维[M].伍中友，译.新华出版社，2015.
[3] （德）安德烈亚斯·施莱歇.教育要面向学生的未来，而不是我们的过去[J].全球教育展望，2018（2）.
【关键词】数学认知；自主学习；思维远航
2018年是全面贯彻落实党的十九大精神的开局之年，十九大报告指出，我国进入中国特色社会主义新时代，社会主要矛盾已经转化为人民日益增长的美好生活需要和不平衡不充分的发展之间的矛盾。“努力让每个孩子都能享有公平而有质量的教育”，是从教育维度解决社会主要矛盾的途径之一。围绕新时代对“立德树人”的新要求，借着德国诗人荷尔德林[1]“人诗意地栖居”这一语境，思考教育存在的价值，教育无疑是指向“人”更好的存在，抑或是诗意的、美好的栖居，而教育场域的栖居，更多的是思维层面的，给儿童自主的思维空间，让儿童栖居在成长的节律中，这是初心也是使命。
对数学教师而言，“为思维而教”这句话十分熟悉，它在一定程度上揭示了数学教育的本真要义。南京大学郑毓信教授说，从数学教学或数学教育过程来看，应更加强调通过数学教学帮助学生学会思维，数学学习的一个主要价值就是有利于人们思维方式的改进，并能使人们逐步学会更清晰、更合理、更深入地思考问题。可见，思维是数学能力之“核”，也是数学能力之“魂”。处于最高级的“思维”不是一般意义上的“思考”，它更倾向学习者的主体自觉、自发、自为（自动而为），是一种更加上位、更加统整、更具“超能”的、由内而外、较高水平的思维品质。
杜威认为，[2]“智育的全部和唯一目的就是要养成细心、警觉和透彻的思维习惯”。当一个人的思维成了习惯时，他就具有很强的主动性和自为性了，就能在不知不觉中自觉地将长期学习中所形成的各种思维能力应用到生活的方方面面和各种问题的解决之中。当然，这样的思维素养必须在一次又一次、一课又一课、一年又一年的思维活动中历练、滋养、培育、升华，最终实现“在思维中学会思维”。如何更好地在数学认知视角下实现自主学习的意义抵达与思维远航？从这一诘问出发，“为思维而教”的本质意义是“为自主学习而教”。
客观地讲，“自主学习”不是什么新话题。但是， 正如台湾名师李玉贵所说，好的课堂是上着上着，教师不见了。而我们的课堂，有时候是上着上着，孩子不见了！或者说是学生的丰富性、差异性、独特性、自主性不见了。“课堂的风景在哪里？”，毋庸置疑，在学生那儿，是我們缺失了发现风景的眼睛。显然，我们的课堂从人的发展角度出发略显狭隘和肤浅。数学教学需要课堂向不同方向打开，让学生充分经历数学知识的形成过程，在自主性、创造性的学习活动中获得知识，实现意义抵达与思维远航。
一、向“上”打开，让自主学习更有穿透力
数学课堂要努力向“上”打开，站到数学思想、数学思维的高度来组织和开展数学内容的教学，打破学生思维的平静状态，这样才能实现思维的条理性、结构性、丰富性和自主性。杭州师范大学张华教授曾说，要让学生经历真实的探究、创造、写作与问题解决，发展学生的核心素养，将知识创造过程变成教学和学习过程，让学生人人成为“创客”。
1.向“上”打开就是给学生一个完善、纠正的过程
《正蒙·三十》记载：“六十尽人物之性，声入心通。”学生天赋直觉，课堂要关照学生的直觉力，直觉比以往任何时候都更加能成为课堂发现的创造源泉。数学家伊恩·斯图尔特说：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的，而后来却发现有错误并被纠正的结论。”可见，“先前以为是正确的”很大程度上是学生最本真的直觉感，因而，关照学生直觉力就是给学生一个完善、纠正的过程。
2. 向“上”打开就是给学生“让渡”的机会
“让渡”既能体现出教师的课堂智慧，也显示出一种应对挑战的勇气。去年参加江苏省“师陶杯”论文颁奖有幸执教《圆的周长》。整节课以主问题串联，关注学生直觉力的培养，坚持直觉发现重于直接提出，大胆猜想优于充分实验，并且贯穿始末，直视、正视学生的直觉，然后再让学生从历史的角度感受人类探究历史的漫长，探究过程的艰难，圆周率的小数点每前进一位，都要付出几代人的努力，敬佩人类对真理孜孜不倦的追求。同时，学生在前30多分钟已经积累了对周长和直径的倍数的很多感想，经过教师不断的刺激，在这里向学生介绍圆周率的定义和圆周率的特点，学生会有一种认同感，他已经能把教师传授的语言同他的感触联系在一起，根据建构主义教学的观点，学生已经能自主地把圆周率这个词纳入到自己的知识体系中。
3. 向“上”打开就是“激活”与“唤醒”学生的生命潜能
一个人的数学思维、判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”扎实的基础是产生直觉的源泉。“直觉”不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于1%的灵感和99%的血汗中。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂了一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其他东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验。对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。”
二、向“外”打开，让自主学习更有扩展力
思维需要打开，从“显然正确因而不必证明”的常规思维到“崇尚理性需要证明”的严谨思维，两相对照，才能体会出古希腊理性精神的伟大。所以，我们不能把学生圈养在课本的世界里，要有向“外”打开的思维。在这一语境下，大问题满足了不同层次学生的需求，有利于推动学生多角度、多方向的探索活动，促发了思维的开放性、多样性、深刻性，让他们的思维充满无限的扩展。 1. 向“外”打开就是要创设更多选择性的课堂
“好的教育是可供选择的教育”，课堂的意义就在于提供孩子们更多成长的可能性。200多年前的法国思想家卢梭，他的代表作《爱弥儿》第一次提出了要发现学生、尊重学生的地位，要让学生像学生一样地生活，要让学生自由自在地发展。学生的身体与精神在一同成长，身体需要健康，精神更需要丰富，教育正是指向学生精神世界的成长。
2. 向“外”打开就是要构建新鲜力弥散的课堂
怎样的课堂才具有吸引力？荷兰数学教育家弗赖登塔尔说，课堂中很多的问题，对学生来说是新鲜的，但对于教师而言，都应当烂熟于心。如何做到烂熟于心呢？一是教师对课堂中各种意想不到的挑战应怀持一种开放与接纳的心态，这意味着教师应当有开放的教学理念；二是他对整个教学的思虑应该通透而深刻，对学生提出的挑战不畏惧、不害怕，这里讲的是教师的教学素养；三是教师必须练就一种随机应变的能力，根据临场发生的状况找到一个比较合适的应对方式，这属于教学智慧的层面。
3. 向“外”打开就是要留下思维印记的课堂
在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来不过是笨拙的工具。教师，应努力探索符合学生思维发展的教学模式，把数学教学与学生生活紧密联系起来，促进学生在生长中体验、感悟，培养一双能用数学观察世界的眼睛，一个能用数学思维世界的大脑，向那“产生于上帝笑声回音的、没有人拥有真理而每个人都有权利要求被理解的、迷人的想象王国” 前行。我们的教育已经承受了许多，我们将承受更多。别无选择，唯有积极准备，方能发现新机遇，获得新发展。
三、向“内”打开，让自主学习更有生长力
人的成长过程，是不断自我完善的过程。因此，学习过程中的“开放”，不能缺少向自我的开放，数学课堂要不停地引导学生向“内心”打开，在自我检查、自我反思、自我追问、自我总结中发现自我、提升自我、成就自我。
1. 向“内”打开就是让评价性语言更科学化
教师的评价语言是用一些合理的、夸张的、指向思维本身的言语激励评价，让学生真正获得驱动力而继续发展。但类似的即时评价不应该是终结性评价，在此基础上，还应该继续追问“还有不一样的想法吗？”“比一比谁的发现最多”等，再次推动学生向思维更深处迈进。延时评价也很重要。创造心理学家奥斯本认为，新颖、独特的设想多数出现在思维过程的后半期，思维启动过程中的过早评价，往往会成为思维深入、思维开放的抑制因素，也会导致学生放弃主动学习的方式，养成思维的惰性。因此，给学生充分的自主学习空间，让学生的思维从简单走向丰富、从狭隘走向开阔。
2. 向“内”打开就是无限相信学生
一个教师，面对50个学生，可能还有他们手中的50台随身携带的电脑。谁是权威？权威应该是最能虚怀若谷者，一个知识点会引起几十种引经据典的反驳和讨论，教师应该退回到本来的位置，相信学生，相信学生天赋异禀，为学生创设更为丰沛的呼吸空间。所以，课堂就给学生很大的空间，让学生可以将课题与真实生活情境联系起来，以小组合作或者个体独立的形式，运用批判性思维对课题或项目展开系统而深入的研究，从而形成自己的学科解释或理解，发展学科素养，实现“深度学习”，而教师实现“深度教学”。
3. 向“内”打开就是要让学生体验
以自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方能成为我们知识的一个有机组成部分。这可以作为体验式学习的注脚，其本质就是知识的建构性，没有学习者自身经验的参与，知识只能作为外在的符号存在，而难以被学习者同化，进而成为学习者所把握的知识。
德国教育家安德烈亚斯·施莱歇说：“下一代的年轻人需要创造工作，而不是寻找工作，这需要好奇心、想象力、创新精神、复原力以及乐于从失败中学习。”[3]基于此，笔者以教育者的直觉与敏辩，意识到随着时代的发展，教育需要寻找新的呈现样态，而数学认知视角下自主学习的意义指向的就是核心素养中的学会学习和自主创新，这是对时代语言的转向，也是对教育理解的转向。在面向未来的学习中，我们的学生对于自己的学习到底有多大的自主权？过去提出的“个性化学习”一直在规避一个重要主体，“谁”在个性化，如果学校已经帮学生个性化了，那还是真正的“自主学习”吗？石中英在《教育哲學导论》中提出，无论是人类的学习还是个体的学习，都不是一个外在的过程，而是一个内在的思想交流、对话、质疑以及达成新见解的过程。这个过程就其本质来说，是自觉、自愿和自由的，任何外在的强迫都无助于启动和维持这一过程。
正如费尔巴哈所言，人的最内在的本质不表现在“我思故我在”的命题中，而表现在“我欲故我在”的命题中，因而，数学认知视角下自主学习的意义抵达与思维远航需要通过向上、向外、向内的促发，培塑自主学习的能力，而这一切最终指向的是基于每一个个体对自身的内在需求和超导能力。
【参考文献】
[1]（德）马丁·海德格尔.人诗意地栖居[M].北京时代华文书局，2017.
[2]（美）约翰·杜威.我们如何思维[M].伍中友，译.新华出版社，2015.
[3] （德）安德烈亚斯·施莱歇.教育要面向学生的未来，而不是我们的过去[J].全球教育展望，2018（2）.