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[摘 要]从不同视角给出一道期中考试题的多种求解方法：直接计算长度，运用弦心距、圆的参数方程、直线的参数方程等手段解题；通过轨迹方程，借助圆求范围.
[关键词]圆 弦心距 基本不等式 轨迹方程
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320044
我校在组织高二期中考试时命制了一道题目，笔者从不同的视角给出该题的多种求解方法，旨在发散学生思维，开阔学生的视野，培养学生的综合能力.题目如下：
（2016·南京期中，13）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2 y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若PQ
=PM PN
，则|PQ|的取值范围是 .
一、计算长度，转移构造
方法一（弦心距巧构圆）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21 d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2=PM2 PN2≤（16-d21
8-d21）2 （16-d22 8-d22）2，设x1=
16-d21，y1=16-d22，x2=-8-d21，
y2=-8-d22，则x21 y21=24，22≤x1，y1≤4，x22 y22=8，
-22≤x2，y2≤0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则点A在圆x21 y21=24的第一象限部分的圆弧上，点B在圆x22 y22=8的第三象限部分的圆弧上，如图1，∴|PQ|≤|AB|≤26 22；
|PQ|2=PM2 PN2≥（16-d21-8-d21）2 （
16-d22
-8-d22）2，如图2，仿上求得|PQ|≥|AB|≥26-22.当且仅当d1=d2=2时，取等号.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
图1图2
方法二（三角换元巧构不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设M（4cosα，4sinα），N（4cosβ，4sinβ），则|PQ|=|MN|=8|cosα-β2|，∵PM⊥PN，∴PM·PN
=0，
∴4（1-2cosα）（1-2cosβ） 4（1-2sinα）（1-2sinβ）=0，
∴4cos2α-β2-2cosα-β2（sinα β2
cosα β2）-1=0.
∵sinα β2 cosα β2∈[-2，
2]，∴6-24≤cosα-β2≤6 24，∴
|PQ|∈[26-22，26 22].
方
法三（弦心距构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21 d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2≤32 2×
13×16-d21×（38-d21） 2×13×16-d22
×（38-d22）≤32 13[16-d21 3（8-d21） 16-d22 3（8-d22）]=（26 22）2，∴|PQ|≤26 22.仿上求得|PQ|≥26-22.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
方法四（直线参数方程构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设直线PM的参数方程为
x=2 tcosθ
y=2 tsinθ
，PN的参数方程为
x=2 tcos（θ 90°）=2-tsinθ
y=2 tsin（θ 90°）=2 tcosθ
，代入圆O的方程，解得t=-2（cosθ sinθ）±23 sin2θ或t=-2（cosθ-sinθ）±23-sin2θ，
∴|PQ|2=4[8±2（cosθ sinθ）3 sin2θ±2（cosθ-sinθ）3-sin2θ]≤（26 22）2，∴|PQ|≤26 22；同理，仿上求得|PQ|≥26-22.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
二、轨迹方程，助力长度
方法五（轨迹方程——定义法）：∵OP2 OQ2-OM2-ON2=（OP-OM）·（OP OM） （OQ-ON）·（OQ ON）=MP·（OP OM-OQ-ON）=0，∴OP2 OQ2=OM2 ON2，∴OQ=24.下同方法一.
方法六（消参法）：设M（x1，y1），N（x2，y2），由PM⊥PN和M、N在圆O上及中点公式知，消去参数x1，y1，x2，y2得x2 y2=32-8=24，下同方法五.
（责任编辑 钟伟芳）
[关键词]圆 弦心距 基本不等式 轨迹方程
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320044
我校在组织高二期中考试时命制了一道题目，笔者从不同的视角给出该题的多种求解方法，旨在发散学生思维，开阔学生的视野，培养学生的综合能力.题目如下：
（2016·南京期中，13）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2 y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PM⊥PN，若PQ
=PM PN
，则|PQ|的取值范围是 .
一、计算长度，转移构造
方法一（弦心距巧构圆）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21 d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2=PM2 PN2≤（16-d21
8-d21）2 （16-d22 8-d22）2，设x1=
16-d21，y1=16-d22，x2=-8-d21，
y2=-8-d22，则x21 y21=24，22≤x1，y1≤4，x22 y22=8，
-22≤x2，y2≤0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则点A在圆x21 y21=24的第一象限部分的圆弧上，点B在圆x22 y22=8的第三象限部分的圆弧上，如图1，∴|PQ|≤|AB|≤26 22；
|PQ|2=PM2 PN2≥（16-d21-8-d21）2 （
16-d22
-8-d22）2，如图2，仿上求得|PQ|≥|AB|≥26-22.当且仅当d1=d2=2时，取等号.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
图1图2
方法二（三角换元巧构不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设M（4cosα，4sinα），N（4cosβ，4sinβ），则|PQ|=|MN|=8|cosα-β2|，∵PM⊥PN，∴PM·PN
=0，
∴4（1-2cosα）（1-2cosβ） 4（1-2sinα）（1-2sinβ）=0，
∴4cos2α-β2-2cosα-β2（sinα β2
cosα β2）-1=0.
∵sinα β2 cosα β2∈[-2，
2]，∴6-24≤cosα-β2≤6 24，∴
|PQ|∈[26-22，26 22].
方
法三（弦心距构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设O到PM、PN的距离分别为d1、d2，则d21 d22=OP2=8，PM=16-d21±8-d21，PN=16-d22±8-d22，|PQ|2≤32 2×
13×16-d21×（38-d21） 2×13×16-d22
×（38-d22）≤32 13[16-d21 3（8-d21） 16-d22 3（8-d22）]=（26 22）2，∴|PQ|≤26 22.仿上求得|PQ|≥26-22.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
方法四（直线参数方程构造基本不等式）：易知平行四边形PMQN是矩形，∴|PQ|=|MN|.
设直线PM的参数方程为
x=2 tcosθ
y=2 tsinθ
，PN的参数方程为
x=2 tcos（θ 90°）=2-tsinθ
y=2 tsin（θ 90°）=2 tcosθ
，代入圆O的方程，解得t=-2（cosθ sinθ）±23 sin2θ或t=-2（cosθ-sinθ）±23-sin2θ，
∴|PQ|2=4[8±2（cosθ sinθ）3 sin2θ±2（cosθ-sinθ）3-sin2θ]≤（26 22）2，∴|PQ|≤26 22；同理，仿上求得|PQ|≥26-22.
综上，|PQ|的取值范围是[26-22，26 22].
二、轨迹方程，助力长度
方法五（轨迹方程——定义法）：∵OP2 OQ2-OM2-ON2=（OP-OM）·（OP OM） （OQ-ON）·（OQ ON）=MP·（OP OM-OQ-ON）=0，∴OP2 OQ2=OM2 ON2，∴OQ=24.下同方法一.
方法六（消参法）：设M（x1，y1），N（x2，y2），由PM⊥PN和M、N在圆O上及中点公式知，消去参数x1，y1，x2，y2得x2 y2=32-8=24，下同方法五.
（责任编辑 钟伟芳）