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2014年的高考已经结束，数学试题已在人们面前亮相.通过仔细分析、全面调查，我们会发现本套试题不追求解题技巧和试题难度，而关注能否体现考生强烈的探究愿望和创新兴趣；不考查单一的如何解题，而关注考生对数学本质的理解和规律的总结；不考查就事论事的回答问题，而关注考生思维的发散与创新；不仅仅考查考生解决问题的能力，更关注考生能发现什么问题？利用什么结论？最终能有什么方法解决问题？可以说是一套基础技能融一体、素养潜能巧统一的优秀试卷，对今后的中学数学教学起到良好的导向作用.下面对试题作详细分析，供2015届师生参考.
一、试卷涉及知识点分布表
今年的高考题对知识点的覆盖情况及知识点考查时所用的题目类型、分数见下表：
上表仅对命题的知识点及相应的分值进行了统计，从统计的情况看：基础知识的覆盖面很广，且重点知识得到了重点考查：如函数、数列、圆锥曲线、直线及平面简单几何体、概率与统计等都得到了重点考查，分值相对较高.理科试题未出现直线方程和圆、平面向量及简易逻辑.而文科仅遗漏了直线和圆的方程.但是不是说文理两科都未考这一内容呢？又不可以这么说，因为文理两科都有求切线方程，其切线方程的求解过程还是要用到直线方程的基本形式.再将考查的知识点细化一下可以发现：真正遗漏的内容是统计案例及独立性检验，特别是统计案例从2007年新课标高考到现在从未考过，虽然线性回归也曾命题，但哪些试题可以完全归于必修3.这个内容无论是理科还是文科都是10节课，占高中总课时的百分之三以上，要说比例，完全可以设计一道客观性试题，当然，由于这一内容的特殊性，直到今天它依然是高考命题的盲区.
二、试题特点赏析
1. 基础试题，皆大欢喜.
今年高考题中大部分试题都非常基础，几乎不设任何陷阱，考生可以很轻松的完成求解，比如：文科试卷的第1、2、3、4、5、6、7、8、11、12、13题；理科试卷的第1、2、3、4、5、6、9、10、11、12、13题，这些题都很简单，一个合格的高中生都会十分顺利地产生这些试题的正确答案，由于这些试题在试卷中排在前面，因此，对考生消除心理紧张、稳定考试情绪，进而促使正常发挥都将产生积极的影响.无论是基础在哪个层次的考生，对这些试题都十分满意，可谓皆大欢喜.
2. 注重对通性、通法的考查.
本次试题的另一大特点是注重对通性、通法的考查，为了达到这一目的，试题在设计上也尽量少“绕弯”，让考生只要会基本方法，又能循规蹈矩地进行求解，一般都能产生正确结论. 例如理科第3题、文科第4题，就是考查线性规划的基本步骤：画可行域、转化目标函数、找最值点、解方程组产生点的坐标、代入求值.文科的第12题就是考查古典概型的列举基本事件，会列举，可以快速产生结论，否则，有困难.文、理科的第17题都是考查概率与统计，无论是众数、极差、茎叶图、方差还是频数与频率、样本频率分布直方图及二项分布中次独立重复试验的概率等都很基础，强调的是基础知识与基本技能，只要你能掌握这些知识求解的基本方法即可.再看看第18题，文科第一问证线面垂直，抓住线线垂直即可；第二问求体积，也是先求底面积、再求高，进一步得到结论，从头到尾散发着“常规”.理科呢？也是如此，第一问等同文科，第二问求二面角的余弦值，也十分常规，网络上都是用空间向量求的，实际上，就是用传统的立几方法也不难，请看：如下图.
作EH⊥DF于H，HG⊥AF于G，连EG，则易证得∠EGH为二面角的平面角D-AF-E，设AB=1，则Rt△PDC中，CD=1，又∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，DF=，AF=， ∴CF=. 又∵ FE∥CD，∴==，∴DE=，同理EF=CD=，在Rt△EFD中，得EH=，FH=，又由=?HG=.
那么tan∠EGH==?cos∠EGH=.
整个求解过程，主要是遵循“作——证——求”的基本规范，强调作图、证明和计算相结合的“三合一”步骤.通性、通法的基本要求突出得十分完美.
3. 创新设计，其重心落在“新”，并非落在“难”.
今年在客观性试题的设计上，创新力度较大的试题有三道：
其一是空间直线的位置关系（理科第7题、文科第9题），在正确选项的设计上与常规不同，不确定的关系是事实，但令人不敢相信.
其二是文科的第10题：对任意復数w1，w2，定义ω1?ω2=ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①（z1+z2）?z3=（z1?z3）+（z2?z3）；②z1?（z2+z3）=（z1?z2）+（z1?z3）；③（z1?z2）?z3=z1?（z2?z3）；④z1?z2=z2?z1；则真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解与评：由于ω1?ω2=ω1ω2，对于①（z1+z2）?z3=（z1+z2）z3=z1?z3+z2?z3，显然成立.对于②z1?（z2+z3）=z1 z2+z3=z1 z2+z1 z3=z1?z2+z1?z3，显然成立.对于③（z1?z2）?z3=（z1 z2）z3=z1 z2z3，而z1?（z2?z3）=z1?（z2 z3）=z1 z2 z3显然不成立.
对于④由于z1?z2=z1 z2，而z2?z1=z2 z1，显然也不一定成立.故选B.显然，本题新颖但并不难，重在创新.
其三是理科的第8题：设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）│xi∈{-1， 0，1}，i=1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3”的元素个数为（ ）
A. 130 B. 120 C. 90 D. 60
解与评：由于本题考查排列、组合的应用；对于1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3有三种情况，（1）x1+x2+x3+x4+x5=1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或-1，于是有C1 5C1
2=10；（2）x1+x2+x3+x4+x5=2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或-1都等于或一个是1另一个是-1，于是有2C2
5+C2
5C1
2=40；（3）x1+x2+x3+x4+x5=3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个是1另一个是-1或两个是-1另一个是1，于是，有2C3
5+C3
5C1
3+C3
5C2
3=80，故答案为A.本题将分类讨论思想与排列、组合有机的结合在一起，求解时，对分类把握不好将导致出错.
4. 本是我心中最美的云彩，但最终却是美丽的泡沫.
理科第19题有一个明显的特征是，递推关系是Sn与an之间的关系式，由于此类关系在2012年与2013年高考命题中都出现过，因此它格外引起高三师生的关注.常规求解思路有两种，其一转化为关于Sn的递推式，通过Sn产生an.其二转化为关于an的递推式，结合递推式产生通项公式.这两种思路对于大多数考生来说，都非常熟悉. 因此，在接到试卷后的5分钟阅卷中发现了“心中最美的云彩”，可以说兴奋肯定是的，但最终对于很多人来说却是美丽的泡沫，请看：（第一问略）
试题：设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.
解析：第一问略
（2）法一：由Sn=2nan+1-3n2-4n?Sn=2n（Sn+1-Sn）-3n2-4n，
2nSn+1=（2n+1）Sn+3n2+4n?2nSn+1-（2n3+8n2+6n）=（2n+1）Sn-（2n3+5n2+2n）
?2n[Sn+1-（n+1）（n+3）]=（2n+1）[Sn-n（n+2）]
?=，令bn+1=Sn+1-（n+1）（n+3），则bn=Sn-n（n+2）. 于是=， 且b1=S1-3=a1-3.
从而bn=b1·（）·（）…（）=b1×××…×=（a1-3）×××…×.
由（1）知a1-3，得bn=0即Sn=n（n+2），立得an=2n+1.
法二：由Sn=2nan+1-3n2-4n，
Sn-1=2（n-1）an-3（n-1）2-4（n-1）2?2nan+1=2（n-1）an+6n+1.
?2nan+1-（4n2+6n）=（2n-1）an-（4n2-1）?=.
令bn+1=an+1-[2（n+1）+1]，则bn=an-2（n+1）.
于是=，且b1=a1-3.
从而bn=b1·（）·（）…（）=b1×××…×=（a1-3）×××…×.
由（1）知a1=3，得bn=0即an=2n+1.
点评：法一将原递推式转化为=，法二将原递推式转化为=，显然，这两种转化都不容易.首先要合理地添加一些项，然后要进行规律化的因式分解.两者有机结合，方能产生结论，本来这两种方法都是常规解法，但确实是曲径通幽，你有兴奋的起点，能顺利走完这个过程，获得成功的快乐吗？当然，本题并不是只有这两种方法，再看：
法三：由（1）a1=3，a2=5，a3=7，猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1，
则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2），又Sk=2kak+1-3k2-4k，∴k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6，∴ak+1=2（k+1）+1，即当n=k+1时，结论成立.
由①②知，?n∈N?，an=2n+1.
点评：建立在归纳推理的基础上，由前几项归纳出一般项的结论，再用数学归纳法进行证明，这是很多年以前的命题模式，今天它出现了，我们也不感觉题型太老，相反觉得它还符合现实教学要求.本题求解的关键是：認真地求解第一问，然后建立在第一问结论的基础上，大胆猜测.
文科试题又何尝不是呢？看上去很“眼熟”，第一问好办；第二问居然通过因式分解产生Sn，这一思路太特别了，通过两所学校近三千名同学的调查，很多人“卡”在了这里.第三问呢？放缩相当巧妙，完成第二问求解的人，第三问没上去的又大有人在，本题的选拔功能真的很强，这里提供三种思路，不知是否存在更简单的：
试题：设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足.S2
n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?.（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.
解析：第一问与第二问略
（3）法一：由==·<·
-
++…+
<（
-
）+（
-
）+…+
-
=（-）=-<.
法二：由=<=（-）.
那么++…+
<+[（-）+（-）+…+（-）]=-<.
法三：由==<=-.
那么++…+<（-）+（-）+…+（-）=-<.
点评：虽然，上述有三种方法，但任何一种方法的产生都不容易.由此让我们想到了2012年高考理科试题的第三问，在放缩上具有异曲同工之妙.
5. 字母运算，考生难以逾越的鸿沟. 今年的解析几何试题文、理相同，试题陈述言简意赅.第一问很简单，百分之八十的考生都能轻松作答，但第二问的确实让很多考生伤透脑筋，请看：
试题：已知椭圆C ∶+=1（a>b>c）的一个焦点为（，0），离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0， y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
解析：第一问略；
（2）法一：设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P（±3，±2）.
②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为-，l1的方程为y-y0=k（x-x0），联立+=1，得（9k2+4）x2+18（y0-kx0）kx+9（y0-kx0）2-36=0，因为直线与椭圆相切，所以△=0，得9（y0-kx0）2k2-（9k2+4）[（y0-kx0）2-4]=0，∴-36k2+4[（y0-kx0）2-4]=0，∴（x02-9）k2-2x0y0k+y02-4=0. 所以k是方程（x02-9）x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根，同理-是方程（x02-9）x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根，∴k·（-）=，得x02+y02=13，其中x0≠±3，
所以点P的轨迹方程为x2+y2=13（x≠±3），
因为P（±3，±2）满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2+y2=13.
法二：设过点P与椭圆C的两切线分别为l1，l2，切点分别为A（x1，y2），B（x2，y2），
则l1，l2的方程分别为+=1及+=1，又因为P（x0，y0）是l1，l2的交点于是
+
=1，
+
=1，由此可得经过A，B的直线方程为+=1.
由
+
=1，
+
=1?（4x2
0+9y2
0）x2-72x0x+324-81y2
0=0，
及（4x2
0+9y2
0）y2-72y0y+144-16x2
0=0.
從而x1+x2=，x1x2=，y1+y2=，y1y2=，
由于PA⊥PB?·=-1?x2
0+y2
0-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0
?x2
0+y2
0--++=0
?（x2
0+y2
0）（4x2
0+9y2
0）-36（x2
0+y2
0）-13（4x2
0+9y2
0）+36×13=0
?（x2
0+y2
0-13）（4x2
0+9y2
0-36）=0，由于P（x0，y0）在椭圆外，于是4x2
0+9y2
0-36≠0，故x2
0+y2
0-13=0.
点评：本题重在第二问，无论是法一还是法二，字母的运算量都相当大.也许这两法的思路都比较简单、比较好想，但将思路变成解题现实，确实有一道考生无法逾越的鸿沟.
6. 特殊的设计，给特别的你.
函数、导数、不等式在今年高考命题的设计中，让它们出现在最后一题.且试题的形式，设计的十分特别，第一是无理式；第二是分式；第三是高次多项式；这三点中的任何一点都是考生胆怯的，而将这三点结合在一起进行设计，真的太特别了，你也能跟着特别吗？这将是你能否完成求解的关键.
试题：设函数f（x）=，其中k< -2，（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论f（x）在区间D上的单调性； （3） 若k<-6， 求D上满足条件f（x）>f（1）的x的集合（用区间表示）.
解与评：（1）可知（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0，
∴[（x2+2x+k）+3]·[（x2+2x+k）-1]>0，
∴x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1，
∴（x+1）2<-2-k（-2-k>0）或（x+1）2>2-k（2-k>0），
∴x+1<或x+1>，
∴-1--1+，
所以函数f（x）的定义域D为（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.
（2）f′（x）=
=，
由f′（x）>0得（x2+2x+k+1）（2x+2）<0，即（x+1+）（x+1-）（x+1）<0，∴x<-1-或-1 所以函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1-），（-1，-1+），
同理递减区间为（-1-，-1），（-1+，+∞）.
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3=（3+k）2+2（3+k）-3，
∴[（x2+2x+k）2-（3+k）2]+2[（x2+2x+k）-（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）·（x2+2x-3）=0，
∴（x+1+）（x+1-）·（x+3）（x-1）=0，
∴x=-1-或x=-1+或x=-3或x=1， ∵k<-6，∴1∈（-1，-1+），-3∈（-1-.-1），
-1-<-1-，-1+>-1+，
结合函数f（x）的单调性知f（x）>f（1）的解集为（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.
点评：本题突出特点是因式分解的应用，无论是第一问、第二问还是第三问，求解中的关键步骤都是因式分解，分解好了，分析与推理都方便了.另一个特点是所设计的函数特别，也许所有高三师生在整个复习阶段都不曾遇到过，即使老师在选题时，碰见过类似的形式，由于其结构的特殊性与运算的复杂性，肯定会被“枪毙”的.
三、试题的改进意见
1. 区分度与分数密集区.
本年试题出现两个极端，基础题太简单，难题太难.客观题中只是个别试题稍有难度，解答题无论是文科还是理科第一问普遍较简单，第二问及第三问往往很难上去，要么技巧较强、要么运算较繁.这样考下来，分数密集在某个较窄的区间内.当然区分度就有点不理想了.区分度差，相对公平性也就差了很多，优生优不到哪里去，差生也差不了多少.
2. 冷点太冷，对今后教学有影响.
对于高考命题不刻意追求试题的覆盖面是应该的也是必须的，但若某些内容始终不涉及试题也就不妥了，冷点太冷对今后教学有影响.我们看看统计案例，这是实用性很强、概念很多的内容，也是新课标的新增内容.教材中用了10课时的授课时间，令人遗憾的是从2007年开始的新课标高考试卷中竟从来找不它的“身影”；相比之下，复数理4课时，文5课时，而年年试卷中都能见到它.为什么会这样呢？试题难以设计是关键，但不能因为试题设计困难就不考，如果长期这样，那么“指挥棒”的作用是否意味着这一内容可以放弃呢？作为新课标教材，还新增这一内容有什么意义呢？
3. 题型“微调”，可避免复习时教师主观上画重、难点.
看看近几年的试卷，试题结构（即选择题、填空题与解答题的分数比例及试题量）没有发生任何变化.这样的稳定很有必须，它对教学及高考的社会影响都有很大的积极作用.再看具体试题，内容的排列顺序、相应试题的难易程度都十分稳定.比如：第16题从2008年到2014年连续七年都是三角题，且都考两角和与差的三角函數，这些试题从背景、形式，到内容都十分相似.再看数列题连续三年都是前n项和Sn与通项an之间的关系，建立在这个关系的基础上求通项、证不等式等.高度相似容易导致教师对高考命题进行猜三猜四，主观上画重、难点.建议对试题进行微调，从难度、从试题在试卷中的位置，都可以微调，这样也许对高三的教学及迎考人士进行复习都会有好处.
四、对2015年高考的复习建议
面对上述的分析，在下一年的高考复习中我们需要从下述几个方面入手：
1. 注重基础知识的全面性，由于考试题目涉及知识的覆盖面较广，想一想，众数与极差都被考到，还有什么可能考不到的？因此，要注意全面掌握基础知识与基本技能；不可随意的画定“不考”内容，而轻易的放松或降低要求；要贯彻“普遍撒网，重点模鱼”的复习策略.
2. 注重思想方法，强化解题过程，根据考查的能力类型与能力要求的层次，我们必须注重数学思想方法；要在基本的数学思想方法（如：函数思想、数形结合思想、分类思想及化归思想）的传授上狠下功夫；特别关注解题过程中的思维能力.同时注重通性、通法及常用技能、常识性技能的熟练掌握与准确运用.
3. 注重运算能力的培养，特别注重运算的合理性与科学性，在能产生正确结论的前提下，提倡快速产生结论.注重既能准确无误地产生简单的数字型问题的答案，也能快速完成复杂的字母运算；特别强调，后期复习时，要培养自身对复杂字母运算的耐心及细心.
4. 以逻辑思维能力为核心，结合推理能力与分析能力的特点；强化推理能力与分析能力，特别关注“怎样想”；从对图形、数表等的观察、分析、变换、抽象入手，锻炼想象能力、抽象能力及提取解题信息的能力；
高考，就是一套卷.对于考生有可能改变其一生.为了对考生负责，也为了对社会负责，我们分析过去、探索未来，希望对关心高考的人有所启发.
（作者单位：中山市第一中学）
责任编校 徐国坚
一、试卷涉及知识点分布表
今年的高考题对知识点的覆盖情况及知识点考查时所用的题目类型、分数见下表：
上表仅对命题的知识点及相应的分值进行了统计，从统计的情况看：基础知识的覆盖面很广，且重点知识得到了重点考查：如函数、数列、圆锥曲线、直线及平面简单几何体、概率与统计等都得到了重点考查，分值相对较高.理科试题未出现直线方程和圆、平面向量及简易逻辑.而文科仅遗漏了直线和圆的方程.但是不是说文理两科都未考这一内容呢？又不可以这么说，因为文理两科都有求切线方程，其切线方程的求解过程还是要用到直线方程的基本形式.再将考查的知识点细化一下可以发现：真正遗漏的内容是统计案例及独立性检验，特别是统计案例从2007年新课标高考到现在从未考过，虽然线性回归也曾命题，但哪些试题可以完全归于必修3.这个内容无论是理科还是文科都是10节课，占高中总课时的百分之三以上，要说比例，完全可以设计一道客观性试题，当然，由于这一内容的特殊性，直到今天它依然是高考命题的盲区.
二、试题特点赏析
1. 基础试题，皆大欢喜.
今年高考题中大部分试题都非常基础，几乎不设任何陷阱，考生可以很轻松的完成求解，比如：文科试卷的第1、2、3、4、5、6、7、8、11、12、13题；理科试卷的第1、2、3、4、5、6、9、10、11、12、13题，这些题都很简单，一个合格的高中生都会十分顺利地产生这些试题的正确答案，由于这些试题在试卷中排在前面，因此，对考生消除心理紧张、稳定考试情绪，进而促使正常发挥都将产生积极的影响.无论是基础在哪个层次的考生，对这些试题都十分满意，可谓皆大欢喜.
2. 注重对通性、通法的考查.
本次试题的另一大特点是注重对通性、通法的考查，为了达到这一目的，试题在设计上也尽量少“绕弯”，让考生只要会基本方法，又能循规蹈矩地进行求解，一般都能产生正确结论. 例如理科第3题、文科第4题，就是考查线性规划的基本步骤：画可行域、转化目标函数、找最值点、解方程组产生点的坐标、代入求值.文科的第12题就是考查古典概型的列举基本事件，会列举，可以快速产生结论，否则，有困难.文、理科的第17题都是考查概率与统计，无论是众数、极差、茎叶图、方差还是频数与频率、样本频率分布直方图及二项分布中次独立重复试验的概率等都很基础，强调的是基础知识与基本技能，只要你能掌握这些知识求解的基本方法即可.再看看第18题，文科第一问证线面垂直，抓住线线垂直即可；第二问求体积，也是先求底面积、再求高，进一步得到结论，从头到尾散发着“常规”.理科呢？也是如此，第一问等同文科，第二问求二面角的余弦值，也十分常规，网络上都是用空间向量求的，实际上，就是用传统的立几方法也不难，请看：如下图.
作EH⊥DF于H，HG⊥AF于G，连EG，则易证得∠EGH为二面角的平面角D-AF-E，设AB=1，则Rt△PDC中，CD=1，又∠DPC=30°，∴PC=2，PD=，DF=，AF=， ∴CF=. 又∵ FE∥CD，∴==，∴DE=，同理EF=CD=，在Rt△EFD中，得EH=，FH=，又由=?HG=.
那么tan∠EGH==?cos∠EGH=.
整个求解过程，主要是遵循“作——证——求”的基本规范，强调作图、证明和计算相结合的“三合一”步骤.通性、通法的基本要求突出得十分完美.
3. 创新设计，其重心落在“新”，并非落在“难”.
今年在客观性试题的设计上，创新力度较大的试题有三道：
其一是空间直线的位置关系（理科第7题、文科第9题），在正确选项的设计上与常规不同，不确定的关系是事实，但令人不敢相信.
其二是文科的第10题：对任意復数w1，w2，定义ω1?ω2=ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下四个命题：①（z1+z2）?z3=（z1?z3）+（z2?z3）；②z1?（z2+z3）=（z1?z2）+（z1?z3）；③（z1?z2）?z3=z1?（z2?z3）；④z1?z2=z2?z1；则真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解与评：由于ω1?ω2=ω1ω2，对于①（z1+z2）?z3=（z1+z2）z3=z1?z3+z2?z3，显然成立.对于②z1?（z2+z3）=z1 z2+z3=z1 z2+z1 z3=z1?z2+z1?z3，显然成立.对于③（z1?z2）?z3=（z1 z2）z3=z1 z2z3，而z1?（z2?z3）=z1?（z2 z3）=z1 z2 z3显然不成立.
对于④由于z1?z2=z1 z2，而z2?z1=z2 z1，显然也不一定成立.故选B.显然，本题新颖但并不难，重在创新.
其三是理科的第8题：设集合A={（x1，x2，x3，x4，x5）│xi∈{-1， 0，1}，i=1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3”的元素个数为（ ）
A. 130 B. 120 C. 90 D. 60
解与评：由于本题考查排列、组合的应用；对于1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3有三种情况，（1）x1+x2+x3+x4+x5=1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或-1，于是有C1 5C1
2=10；（2）x1+x2+x3+x4+x5=2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或-1都等于或一个是1另一个是-1，于是有2C2
5+C2
5C1
2=40；（3）x1+x2+x3+x4+x5=3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个是1另一个是-1或两个是-1另一个是1，于是，有2C3
5+C3
5C1
3+C3
5C2
3=80，故答案为A.本题将分类讨论思想与排列、组合有机的结合在一起，求解时，对分类把握不好将导致出错.
4. 本是我心中最美的云彩，但最终却是美丽的泡沫.
理科第19题有一个明显的特征是，递推关系是Sn与an之间的关系式，由于此类关系在2012年与2013年高考命题中都出现过，因此它格外引起高三师生的关注.常规求解思路有两种，其一转化为关于Sn的递推式，通过Sn产生an.其二转化为关于an的递推式，结合递推式产生通项公式.这两种思路对于大多数考生来说，都非常熟悉. 因此，在接到试卷后的5分钟阅卷中发现了“心中最美的云彩”，可以说兴奋肯定是的，但最终对于很多人来说却是美丽的泡沫，请看：（第一问略）
试题：设数列{an}的前n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N?，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.
解析：第一问略
（2）法一：由Sn=2nan+1-3n2-4n?Sn=2n（Sn+1-Sn）-3n2-4n，
2nSn+1=（2n+1）Sn+3n2+4n?2nSn+1-（2n3+8n2+6n）=（2n+1）Sn-（2n3+5n2+2n）
?2n[Sn+1-（n+1）（n+3）]=（2n+1）[Sn-n（n+2）]
?=，令bn+1=Sn+1-（n+1）（n+3），则bn=Sn-n（n+2）. 于是=， 且b1=S1-3=a1-3.
从而bn=b1·（）·（）…（）=b1×××…×=（a1-3）×××…×.
由（1）知a1-3，得bn=0即Sn=n（n+2），立得an=2n+1.
法二：由Sn=2nan+1-3n2-4n，
Sn-1=2（n-1）an-3（n-1）2-4（n-1）2?2nan+1=2（n-1）an+6n+1.
?2nan+1-（4n2+6n）=（2n-1）an-（4n2-1）?=.
令bn+1=an+1-[2（n+1）+1]，则bn=an-2（n+1）.
于是=，且b1=a1-3.
从而bn=b1·（）·（）…（）=b1×××…×=（a1-3）×××…×.
由（1）知a1=3，得bn=0即an=2n+1.
点评：法一将原递推式转化为=，法二将原递推式转化为=，显然，这两种转化都不容易.首先要合理地添加一些项，然后要进行规律化的因式分解.两者有机结合，方能产生结论，本来这两种方法都是常规解法，但确实是曲径通幽，你有兴奋的起点，能顺利走完这个过程，获得成功的快乐吗？当然，本题并不是只有这两种方法，再看：
法三：由（1）a1=3，a2=5，a3=7，猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1，
则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2），又Sk=2kak+1-3k2-4k，∴k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6，∴ak+1=2（k+1）+1，即当n=k+1时，结论成立.
由①②知，?n∈N?，an=2n+1.
点评：建立在归纳推理的基础上，由前几项归纳出一般项的结论，再用数学归纳法进行证明，这是很多年以前的命题模式，今天它出现了，我们也不感觉题型太老，相反觉得它还符合现实教学要求.本题求解的关键是：認真地求解第一问，然后建立在第一问结论的基础上，大胆猜测.
文科试题又何尝不是呢？看上去很“眼熟”，第一问好办；第二问居然通过因式分解产生Sn，这一思路太特别了，通过两所学校近三千名同学的调查，很多人“卡”在了这里.第三问呢？放缩相当巧妙，完成第二问求解的人，第三问没上去的又大有人在，本题的选拔功能真的很强，这里提供三种思路，不知是否存在更简单的：
试题：设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足.S2
n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，n∈N?.（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+<.
解析：第一问与第二问略
（3）法一：由==·<·
-
++…+
<（
-
）+（
-
）+…+
-
=（-）=-<.
法二：由=<=（-）.
那么++…+
<+[（-）+（-）+…+（-）]=-<.
法三：由==<=-.
那么++…+<（-）+（-）+…+（-）=-<.
点评：虽然，上述有三种方法，但任何一种方法的产生都不容易.由此让我们想到了2012年高考理科试题的第三问，在放缩上具有异曲同工之妙.
5. 字母运算，考生难以逾越的鸿沟. 今年的解析几何试题文、理相同，试题陈述言简意赅.第一问很简单，百分之八十的考生都能轻松作答，但第二问的确实让很多考生伤透脑筋，请看：
试题：已知椭圆C ∶+=1（a>b>c）的一个焦点为（，0），离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0， y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
解析：第一问略；
（2）法一：设两切线为l1，l2，
①当l1⊥x轴或l1∥x轴时，对应l2∥x轴或l2⊥x轴，可知P（±3，±2）.
②当l1与x轴不垂直且不平行时，x0≠±3，设l1的斜率为k，则k≠0，l2的斜率为-，l1的方程为y-y0=k（x-x0），联立+=1，得（9k2+4）x2+18（y0-kx0）kx+9（y0-kx0）2-36=0，因为直线与椭圆相切，所以△=0，得9（y0-kx0）2k2-（9k2+4）[（y0-kx0）2-4]=0，∴-36k2+4[（y0-kx0）2-4]=0，∴（x02-9）k2-2x0y0k+y02-4=0. 所以k是方程（x02-9）x2-2x0y0x+y02-4=0的一个根，同理-是方程（x02-9）x2-2x0y0x+y02-4=0的另一个根，∴k·（-）=，得x02+y02=13，其中x0≠±3，
所以点P的轨迹方程为x2+y2=13（x≠±3），
因为P（±3，±2）满足上式，综上知：点P的轨迹方程为x2+y2=13.
法二：设过点P与椭圆C的两切线分别为l1，l2，切点分别为A（x1，y2），B（x2，y2），
则l1，l2的方程分别为+=1及+=1，又因为P（x0，y0）是l1，l2的交点于是
+
=1，
+
=1，由此可得经过A，B的直线方程为+=1.
由
+
=1，
+
=1?（4x2
0+9y2
0）x2-72x0x+324-81y2
0=0，
及（4x2
0+9y2
0）y2-72y0y+144-16x2
0=0.
從而x1+x2=，x1x2=，y1+y2=，y1y2=，
由于PA⊥PB?·=-1?x2
0+y2
0-（x1+x2）x0-（y1+y2）y0+x1x2+y1y2=0
?x2
0+y2
0--++=0
?（x2
0+y2
0）（4x2
0+9y2
0）-36（x2
0+y2
0）-13（4x2
0+9y2
0）+36×13=0
?（x2
0+y2
0-13）（4x2
0+9y2
0-36）=0，由于P（x0，y0）在椭圆外，于是4x2
0+9y2
0-36≠0，故x2
0+y2
0-13=0.
点评：本题重在第二问，无论是法一还是法二，字母的运算量都相当大.也许这两法的思路都比较简单、比较好想，但将思路变成解题现实，确实有一道考生无法逾越的鸿沟.
6. 特殊的设计，给特别的你.
函数、导数、不等式在今年高考命题的设计中，让它们出现在最后一题.且试题的形式，设计的十分特别，第一是无理式；第二是分式；第三是高次多项式；这三点中的任何一点都是考生胆怯的，而将这三点结合在一起进行设计，真的太特别了，你也能跟着特别吗？这将是你能否完成求解的关键.
试题：设函数f（x）=，其中k< -2，（1）求函数f（x）的定义域D（用区间表示）；（2）讨论f（x）在区间D上的单调性； （3） 若k<-6， 求D上满足条件f（x）>f（1）的x的集合（用区间表示）.
解与评：（1）可知（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3>0，
∴[（x2+2x+k）+3]·[（x2+2x+k）-1]>0，
∴x2+2x+k<-3或x2+2x+k>1，
∴（x+1）2<-2-k（-2-k>0）或（x+1）2>2-k（2-k>0），
∴x+1<或x+1>，
∴-1-
所以函数f（x）的定义域D为（-∞，-1-）∪（-1-，-1+）∪（-1+，+∞）.
（2）f′（x）=
=，
由f′（x）>0得（x2+2x+k+1）（2x+2）<0，即（x+1+）（x+1-）（x+1）<0，∴x<-1-或-1
同理递减区间为（-1-，-1），（-1+，+∞）.
（3）由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）-3=（3+k）2+2（3+k）-3，
∴[（x2+2x+k）2-（3+k）2]+2[（x2+2x+k）-（3+k）]=0，
∴（x2+2x+2k+5）·（x2+2x-3）=0，
∴（x+1+）（x+1-）·（x+3）（x-1）=0，
∴x=-1-或x=-1+或x=-3或x=1， ∵k<-6，∴1∈（-1，-1+），-3∈（-1-.-1），
-1-<-1-，-1+>-1+，
结合函数f（x）的单调性知f（x）>f（1）的解集为（-1-，-1-）∪（-1-，-3）∪（1，-1+）∪（-1+，-1+）.
点评：本题突出特点是因式分解的应用，无论是第一问、第二问还是第三问，求解中的关键步骤都是因式分解，分解好了，分析与推理都方便了.另一个特点是所设计的函数特别，也许所有高三师生在整个复习阶段都不曾遇到过，即使老师在选题时，碰见过类似的形式，由于其结构的特殊性与运算的复杂性，肯定会被“枪毙”的.
三、试题的改进意见
1. 区分度与分数密集区.
本年试题出现两个极端，基础题太简单，难题太难.客观题中只是个别试题稍有难度，解答题无论是文科还是理科第一问普遍较简单，第二问及第三问往往很难上去，要么技巧较强、要么运算较繁.这样考下来，分数密集在某个较窄的区间内.当然区分度就有点不理想了.区分度差，相对公平性也就差了很多，优生优不到哪里去，差生也差不了多少.
2. 冷点太冷，对今后教学有影响.
对于高考命题不刻意追求试题的覆盖面是应该的也是必须的，但若某些内容始终不涉及试题也就不妥了，冷点太冷对今后教学有影响.我们看看统计案例，这是实用性很强、概念很多的内容，也是新课标的新增内容.教材中用了10课时的授课时间，令人遗憾的是从2007年开始的新课标高考试卷中竟从来找不它的“身影”；相比之下，复数理4课时，文5课时，而年年试卷中都能见到它.为什么会这样呢？试题难以设计是关键，但不能因为试题设计困难就不考，如果长期这样，那么“指挥棒”的作用是否意味着这一内容可以放弃呢？作为新课标教材，还新增这一内容有什么意义呢？
3. 题型“微调”，可避免复习时教师主观上画重、难点.
看看近几年的试卷，试题结构（即选择题、填空题与解答题的分数比例及试题量）没有发生任何变化.这样的稳定很有必须，它对教学及高考的社会影响都有很大的积极作用.再看具体试题，内容的排列顺序、相应试题的难易程度都十分稳定.比如：第16题从2008年到2014年连续七年都是三角题，且都考两角和与差的三角函數，这些试题从背景、形式，到内容都十分相似.再看数列题连续三年都是前n项和Sn与通项an之间的关系，建立在这个关系的基础上求通项、证不等式等.高度相似容易导致教师对高考命题进行猜三猜四，主观上画重、难点.建议对试题进行微调，从难度、从试题在试卷中的位置，都可以微调，这样也许对高三的教学及迎考人士进行复习都会有好处.
四、对2015年高考的复习建议
面对上述的分析，在下一年的高考复习中我们需要从下述几个方面入手：
1. 注重基础知识的全面性，由于考试题目涉及知识的覆盖面较广，想一想，众数与极差都被考到，还有什么可能考不到的？因此，要注意全面掌握基础知识与基本技能；不可随意的画定“不考”内容，而轻易的放松或降低要求；要贯彻“普遍撒网，重点模鱼”的复习策略.
2. 注重思想方法，强化解题过程，根据考查的能力类型与能力要求的层次，我们必须注重数学思想方法；要在基本的数学思想方法（如：函数思想、数形结合思想、分类思想及化归思想）的传授上狠下功夫；特别关注解题过程中的思维能力.同时注重通性、通法及常用技能、常识性技能的熟练掌握与准确运用.
3. 注重运算能力的培养，特别注重运算的合理性与科学性，在能产生正确结论的前提下，提倡快速产生结论.注重既能准确无误地产生简单的数字型问题的答案，也能快速完成复杂的字母运算；特别强调，后期复习时，要培养自身对复杂字母运算的耐心及细心.
4. 以逻辑思维能力为核心，结合推理能力与分析能力的特点；强化推理能力与分析能力，特别关注“怎样想”；从对图形、数表等的观察、分析、变换、抽象入手，锻炼想象能力、抽象能力及提取解题信息的能力；
高考，就是一套卷.对于考生有可能改变其一生.为了对考生负责，也为了对社会负责，我们分析过去、探索未来，希望对关心高考的人有所启发.
（作者单位：中山市第一中学）
责任编校 徐国坚