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数学概念是数学知识体系中的基本元素，也是数学教学的核心。美国教育家杜宾斯基认为：“学生学习数学概念需要进行心理建构，只有在自身已有知识、经验的基础上，主动建构新知识的意义，才能达成理解。”基于这个理解，在2013年11月江西省初中数学优质课比赛中，由黄新杰老师执教的“算术平方根”这节概念课的教学设计，利用学生已有的生活经验与知识基础，建构“新概念”与“旧知识”间的联系，自然生成“算术平方根”概念，获得了现场观摩教师及评委的高度评价，荣获了省一等奖。现撷取部分教学片段与大家共赏。
创设情景，感知概念
师：同学们，在某校举行的以“中国梦·我的梦”为主题的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形作画的布。
（1）根据下表正方形的边长，你能快速求出相应正方形的面积吗？
表1
学生快速口答，并归结该实际问题为数学问题：“已知正方形的边长，求面积”，师生一起建构数学模型：乘方运算中的“已知一个正数，求这个正数的二次幂。”
（2）根据下表正方形的面积，你能快速求出相应正方形的边长吗？
表2
教师在学生完成的基础上与学生共同总结，数学问题为：“已知正方形的面积求边长”，数学模型为：“已知一个正数的二次幂，求这个正数，即求一个二次幂的正底数。”
人教版《数学》七年级下册第六章“实数”的第一课时内容为“算术平方根”， 属于“数与代数”领域。教材安排学完本节内容后，再学习“平方根”，目的在于分散教学难点，遵循 “由特殊到一般”的规律学习数学概念。“算术平方根”是个非常抽象的概念，属于“构造性”定义，其数学本质是“已知二次幂求正底数”，即“求正数乘方的逆运算”问题。学生理解这个概念有一定的困难，由于学生已知有理数乘方、幂的运算等知识基础，所以黄老师从典型的实际问题（求正方形的边长或面积）引入，从乘方的逆运算入手，获得数学概念的表象，促进对数学概念的理解，便于学生初步感知概念，为形成概念作好铺垫，使学生的学习形成正迁移。
类比理解，形成概念
师：表1和表2中的两种运算有什么关系？
生：互逆运算。
师：如果表1中正方形的边长用x表示，面积用a表示，可以得到x2=a。在这个式子x2=a中，a叫做x的二次幂，正数x是二次幂运算中的什么数？
生1：底数。
生2：应该是正底数，因为正方形的边长为正。
师：我们把x又叫做“a的算术平方根”。
归纳概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
《数学课程标准》要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。黄老师从乘方的逆运算入手，让学生感受到正数的二次幂运算和求二次幂的正底数运算互为逆运算，揭示问题本质：“已知一个正数的平方，求这个正数”，学生以“发现者”的角色观察、分析乘方运算x2=a中x与a的乘方意义，在对算术平方根有一定感性认识的基础上，由乘方运算定义算术平方根，由“旧知识”定义“新知识”，从具体到抽象，建构概念，进而准确地运用数学语言表达算术平方根的概念。学生亲身体验了概念的形成过程， 从而抓住概念的本质特征，让学生体会到知识的来源与发展。
初步应用，理解概念
练习：（1）试一试。
因为42=16 ，所以_____是16的算术平方根，也可以说成：16的算术平方根是_____；
因为0.52=0.25 ，所以_____是0.25的算术平方根，0.25的算术平方根是_____；
因为（）2= ，所以_____是_____的算术平方根。
（2）想一想：判断下列说法是否正确。
①5是25的算术平方根（ ）
②0.01是0.1的算术平方根 （ ）
③0的算术平方根是0（ ）
（规定：0的算术平方根是0）
对照概念，学生先独立完成，再交流互补，不断完善。教师给予评价和鼓励。
概念只有在运用中才能得到真正的理解。教师要从不同的角度辅助学生对概念的内涵进行分析、比较、理解，掌握概念的本质属性，使概念的内涵具体化、外化。这两个练习是从乘方运算入手，结合概念，运用文字语言叙述一个具体正数的算术平方根，进一步增强对概念的理解，强化对算术平方根概念的认识。使学生能熟练地运用“文字语言”叙述求一个能开得尽方的实数的算术平方根的解答过程。
引入符号，感受简约
师：怎样用符号来表示算术平方根？
a的算术平方根可记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
也就是说，在等式x2=a （x≥0）中，规定x =。
如：16的算术平方根是4，可记为：=4。
0.25的算术平方根是0.5可记为：_______。
的算术平方根是可记为：_______。
学生完成填空，让学生尝试用数学符号表示算术平方根，掌握其书写及读法，并比较“文字语言”与“符号语言”叙述算术平方根的不同。
教师介绍根号的由来，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶。
文字语言重在对概念的内涵进行语言方面的描述，符号语言则体现了数学的简约美。在本教学片段中，教师分别运用“文字语言”与“数学符号语言”求解、表示一个正数的算术平方根，经历“能表示成有理数平方”的数的算术平方根求解过程，进一步理解算术平方根的概念、意义，感受数学符号的简洁美，培养学生的符号感。通过介绍根号的由来，渗透人文历史教育。在数学概念教学中，体现数学的价值，揭示数学本质，使科学精神与人文精神和谐统一起来，感染学生，激励学生。
归纳发现，激活概念
师出示例1：求下列各数的算术平方根。
①0.04； ②； ③100。
学生独立完成例1，结合例1的求解结果，师生共同归纳“求一个正数的算术平方根的一般步骤”以及“算术平方根的性质”（①正数只有一个算术平方根；②算术平方根等于它本身的数有0和1；③被开方数越大，对应的算术平方根也越大）。
填空：（看谁算得又对又快！）
① 一个数的算术平方根是3，则这个数是_______。
②的算术平方根是_____。
③ 2 的算术平方根可记为____。
学生合作完成，阐述解答过程及依据。
学生完成例1后，检测学生对算术平方根概念的掌握情况，规范解题格式，让学生进一步体会求算术平方根和乘方运算的互逆关系。教师及时引导学生反思，由特殊到一般，归纳小结“求一个正数的算术平方根的一般步骤”以及“算术平方根的性质”，加深对概念的理解，突出算术平方根的概念与运算的一致性。通过逆用概念（已知算术平方根，求被开方数）、概念间的综合运用，进一步强化与提升概念的理解。（作者单位：江西省赣县教育局教研室）
□责任编辑 周瑜芽
E-mail：[email protected]
创设情景，感知概念
师：同学们，在某校举行的以“中国梦·我的梦”为主题的绘画比赛中，欢欢同学准备了一些正方形作画的布。
（1）根据下表正方形的边长，你能快速求出相应正方形的面积吗？
表1
学生快速口答，并归结该实际问题为数学问题：“已知正方形的边长，求面积”，师生一起建构数学模型：乘方运算中的“已知一个正数，求这个正数的二次幂。”
（2）根据下表正方形的面积，你能快速求出相应正方形的边长吗？
表2
教师在学生完成的基础上与学生共同总结，数学问题为：“已知正方形的面积求边长”，数学模型为：“已知一个正数的二次幂，求这个正数，即求一个二次幂的正底数。”
人教版《数学》七年级下册第六章“实数”的第一课时内容为“算术平方根”， 属于“数与代数”领域。教材安排学完本节内容后，再学习“平方根”，目的在于分散教学难点，遵循 “由特殊到一般”的规律学习数学概念。“算术平方根”是个非常抽象的概念，属于“构造性”定义，其数学本质是“已知二次幂求正底数”，即“求正数乘方的逆运算”问题。学生理解这个概念有一定的困难，由于学生已知有理数乘方、幂的运算等知识基础，所以黄老师从典型的实际问题（求正方形的边长或面积）引入，从乘方的逆运算入手，获得数学概念的表象，促进对数学概念的理解，便于学生初步感知概念，为形成概念作好铺垫，使学生的学习形成正迁移。
类比理解，形成概念
师：表1和表2中的两种运算有什么关系？
生：互逆运算。
师：如果表1中正方形的边长用x表示，面积用a表示，可以得到x2=a。在这个式子x2=a中，a叫做x的二次幂，正数x是二次幂运算中的什么数？
生1：底数。
生2：应该是正底数，因为正方形的边长为正。
师：我们把x又叫做“a的算术平方根”。
归纳概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
《数学课程标准》要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性。黄老师从乘方的逆运算入手，让学生感受到正数的二次幂运算和求二次幂的正底数运算互为逆运算，揭示问题本质：“已知一个正数的平方，求这个正数”，学生以“发现者”的角色观察、分析乘方运算x2=a中x与a的乘方意义，在对算术平方根有一定感性认识的基础上，由乘方运算定义算术平方根，由“旧知识”定义“新知识”，从具体到抽象，建构概念，进而准确地运用数学语言表达算术平方根的概念。学生亲身体验了概念的形成过程， 从而抓住概念的本质特征，让学生体会到知识的来源与发展。
初步应用，理解概念
练习：（1）试一试。
因为42=16 ，所以_____是16的算术平方根，也可以说成：16的算术平方根是_____；
因为0.52=0.25 ，所以_____是0.25的算术平方根，0.25的算术平方根是_____；
因为（）2= ，所以_____是_____的算术平方根。
（2）想一想：判断下列说法是否正确。
①5是25的算术平方根（ ）
②0.01是0.1的算术平方根 （ ）
③0的算术平方根是0（ ）
（规定：0的算术平方根是0）
对照概念，学生先独立完成，再交流互补，不断完善。教师给予评价和鼓励。
概念只有在运用中才能得到真正的理解。教师要从不同的角度辅助学生对概念的内涵进行分析、比较、理解，掌握概念的本质属性，使概念的内涵具体化、外化。这两个练习是从乘方运算入手，结合概念，运用文字语言叙述一个具体正数的算术平方根，进一步增强对概念的理解，强化对算术平方根概念的认识。使学生能熟练地运用“文字语言”叙述求一个能开得尽方的实数的算术平方根的解答过程。
引入符号，感受简约
师：怎样用符号来表示算术平方根？
a的算术平方根可记为，读作“根号a”，a叫做被开方数。
也就是说，在等式x2=a （x≥0）中，规定x =。
如：16的算术平方根是4，可记为：=4。
0.25的算术平方根是0.5可记为：_______。
的算术平方根是可记为：_______。
学生完成填空，让学生尝试用数学符号表示算术平方根，掌握其书写及读法，并比较“文字语言”与“符号语言”叙述算术平方根的不同。
教师介绍根号的由来，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶。
文字语言重在对概念的内涵进行语言方面的描述，符号语言则体现了数学的简约美。在本教学片段中，教师分别运用“文字语言”与“数学符号语言”求解、表示一个正数的算术平方根，经历“能表示成有理数平方”的数的算术平方根求解过程，进一步理解算术平方根的概念、意义，感受数学符号的简洁美，培养学生的符号感。通过介绍根号的由来，渗透人文历史教育。在数学概念教学中，体现数学的价值，揭示数学本质，使科学精神与人文精神和谐统一起来，感染学生，激励学生。
归纳发现，激活概念
师出示例1：求下列各数的算术平方根。
①0.04； ②； ③100。
学生独立完成例1，结合例1的求解结果，师生共同归纳“求一个正数的算术平方根的一般步骤”以及“算术平方根的性质”（①正数只有一个算术平方根；②算术平方根等于它本身的数有0和1；③被开方数越大，对应的算术平方根也越大）。
填空：（看谁算得又对又快！）
① 一个数的算术平方根是3，则这个数是_______。
②的算术平方根是_____。
③ 2 的算术平方根可记为____。
学生合作完成，阐述解答过程及依据。
学生完成例1后，检测学生对算术平方根概念的掌握情况，规范解题格式，让学生进一步体会求算术平方根和乘方运算的互逆关系。教师及时引导学生反思，由特殊到一般，归纳小结“求一个正数的算术平方根的一般步骤”以及“算术平方根的性质”，加深对概念的理解，突出算术平方根的概念与运算的一致性。通过逆用概念（已知算术平方根，求被开方数）、概念间的综合运用，进一步强化与提升概念的理解。（作者单位：江西省赣县教育局教研室）
□责任编辑 周瑜芽
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