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动手操作是学生获得知识的主要途径，也是教学的有效手段。《数学课程标准》明确指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索和合作交流是学生学习数学的重要方式。”为此，笔者根据新课程的理念和学生的年龄、心理特征等因素，进行操作活动设计的探索与初步实践，构建了“三段六环”小学数学操作活动教学模式，试图通过精心设计有效的操作活动，促使学生在“做数学”的过程中对知识产生深刻的体验，主动获取数学知识，掌握数学方法，提高动手操作能力，发展数学思维。
一、操作前——操作活动始于有目的地准备
第一环：准备
在操作前，要充分准备好操作素材。根据操作内容及学生的生活经验、认知发展水平等，复习相关知识，再现处于教学起点位置的已有知识，作为探究依据、工具的已有知识，使新知识通过迁移而同化或顺应于原有的认知结构，并使原有认知结构得以不断扩展和壮大，便于操作活动的顺利进行。
1.准备合理操作素材
（1）精心选择学习内容。适宜学生动手操作的学习内容，一般来说是可物化、外显的数学知识。为此，我们对新课程小学各册教材进行分析，注意选择适宜操作活动的学习内容。如：①能设计有结构、易操作的直观材料来反映数学实质的内容；②适合不同年级学生，能被学生所接受的内容；③与教材的教学要求相吻合的内容；④能通过操作探究活动来获取知识的内容等。
（2）精心准备操作素材。操作是以物质工具为依托的。小学数学教学中的操作活动主要是凭借学具、实物等物质形式进行的。不过，在教学中组织动手操作，选取的素材不是越多越好，如果操作素材多而杂，势必会造成学生注意力分散，学习兴趣从数学思考转移到单纯的玩上了。因此，我们针对不同的学习内容、教学方案，选取不同类型的操作素材。
2.培养良好操作习惯
在操作活动中，建立基本的操作常规，培养学生具有良好的操作习惯是提高操作活动实效性的必要条件之一。
（1）建立基本的常规。与单纯观看教师演示相比，让学生在课堂上操作学具比较费时，特别是低年级儿童还不善于取出、放回学具，使用起来更花费时间。因此，要重视训练学生养成能保证操作顺利进行的各种常规。
例：数学操作常规要求
（2）养成良好的习惯。学生利用学具进行动手操作，先按一定的要求进行充分的外部活动，再用语言表达出自己操作的过程和结果，从而在头脑中形成表象、观念及思维。所以，应重视培养学生具有边操作、边观察、边思考的良好习惯。
（3）丰富灵活的形式。组织操作活动，要根据学习内容选择合适的组织形式，主要有学生个体独立操作和学生群体合作操作两种类型。当学生面对独立操作感到有些困难时，教师可以加强指导，还可采取先合作讨论，共同操作，明确解决途径后再进行独立操作。在组织学生群体合作操作时，要注重创设小组合作学习氛围，恰当分组，选好小组长，提出活动的目的和要求，组织好小组的交流和讨论，避免“放羊式”现象，提高小组合作的效度和参与度。
二、操作中——操作活动行于有效果地实施
第二环：导向
通过教师谈话或创设情境揭示操作活动的内容，向学生提出明确的操作要求，规定必要的操作程序，提出需要注意的地方，使学生的操作带有明显的目的，使学生的动作思维具有明确的指向性，使学生清楚地知道“做什么”和“怎样做”确保操作活动的有效性。
第三环：探究
充分发挥学生的主体作用，激起学生的操作热情，给学生极大的操作探索空间，促使学生进行主动地探究，在“做数学”的过程中对数学知识产生深刻的理解，主动地获取数学知识。
第四环：交流
让每个学生都充分地描述操作的过程, 大胆发表自己的想法和认识，展示操作探究的成果。引导学生进行多向、丰富的信息交流，如生生交流、师生交流，组内交流、组际交流等，让学生数学思维的火花不断碰撞。
第五环：完善
引导学生根据操作活动中获得的具体经验和形成的表象，充分展开分析、比较、综合、抽象、判断、推理等思维活动。学生通过对操作活动的过程与结果进行一系列的归纳、概括、总结，使数学知识得以不断完善，最终完成对新知识的构建。
1.把握最佳的操作时机
新课程明确指出，“操作活动要适量。所谓适量就是不要动辄就操作，操作也不是多多益善。”如果教学中出现操作次数过多的现象，一方面会造成学习时间的浪费；另一方面会使学生对操作活动产生乏味之感。因而，我们要控制使用操作活动的次数，减少那些不必要的操作活动。根据学习内容的特点和小学生的生理、心理特点，把握好最佳时机，组织学生操作活动，促进学生主动探究知识，理解知识，掌握数学方法，提高数学学习质量。
（1）在引导学生主动探究算理时，组织操作活动。小学生计算方法、计算能力的形成是建立在充分的操作、感知基础上的。教学中，恰当地把握操作时机，引导学生借助小棒、实物、实物图片等主动探究算理，能使学生形成具有个性的计算方法。
例如教学《两位数减一位数退位减法》时，为使每位学生都积极主动地投入到探究算理的过程中，设计以下操作活动：每个同学发32根小棒（10根一捆，3捆又2根）。要求学生“请你从32根小棒里拿走8根，并说一说是怎么拿出8根小棒的？”这一动态的、开发的操作活动，使课堂气氛非常活跃，绝大多数学生都表现出强烈的参与意识和探究冲动，有的独立思考，有的合作交流。操作探究之后，学生纷纷发表看法，得出了不同的计算方法：①12-8=4、20 4=24，②30-8=22、22 2=24，③32-2=30、30-6=24 ，④8-2=6、30-6=24……这每一种计算方法，都是学生在操作中产生的，真是“智慧之花开在手指尖上。”可以看出他们尝到学习的乐趣，享受到成功的愉悦。
（2）在引导学生形成空间观念时，组织操作活动。空间感知依赖操作活动，这是由“空间与图形”知识内容的特点决定的。因此，操作活动也成为了学习“空间与图形”知识的主要学习形式。在操作活动中，学生视觉、触觉等多种感官参与认知，进而积累丰富的表象，然后借助语言描述，形成空间观念。
例如教学《长方形、正方形、三角形和圆》时，充分发挥学生的主体作用，引导学生自己想出好的操作办法来验证“正方形四条边都相等，长方形对边相等”，学生兴趣浓厚，思维活跃，想出了把纸对折的，用直尺量一量长度，用笔画下来再比一比等不同的方法。通过主动操作，学生深刻理解了长方形和正方形的特征。
（3）在引导学生推导公式时，组织操作活动。引导学生探索规律或推导公式时，组织有效的操作活动，让学生动手折一折、画一画等，使学生在动中思，动中学，从而激发学习兴趣，主动获取知识。
例如“推导圆面积公式”时，首先引导学生动手把一个圆平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形，再通过观察发现：近似平行四边形的底就是圆周长的一半，近似平行四边形的高就是圆的半径，近似平行四边形的面积就是圆的面积，所以圆的面积等于圆的周长乘以半径，最后推导出圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
（4）在引导学生理解数学概念时，组织操作活动。国际学习科学研究领域的那句名言：听来的忘得快，看到的记得住，动手做更能学得好。因此，对于一些抽象的数学概念的学习，就可以让学生亲自动手操作，促使学生在“做数学”的过程中感受数学概念的意义，更深刻地理解数学概念。
例如教学“千克的认识”时，把学生分成6个小组，每个小组配有秤，细沙、食盐、糖等，让学生亲自动手称一称、掂一掂，在操作实践中对“千克”有所体验、有所感悟，真正地理解知识、建构知识。
2.有效操作引导
新课程倡导“让学生动起来，让课堂活起来”。不能片面地理解成教师可以放开手脚，让学生自由操作。教学实践表明，学生的操作活动若离开了教师的指导，就如一盘散沙，使操作活动流于形式，只能看到乱糟糟、闹哄哄的停留在表面热热闹闹的状况。要让学生的操作过程井然有序，不杂乱无章，关键是要使操作活动成为一个在教师指导下的个体或群体的动态过程。只有教师的指导，才能保证学生的操作活动是有目的、有结构、有层次、有成效的。
（1）提出操作要求。教师要紧紧围绕教学目标，向学生提出明确的操作要求，规定必要的操作程序，提出需要注意的地方，使学生的操作带有明显的目的。
例如教学《可能性》时，先向学生说明：第1~4小组的袋子里有5颗红珠子、1颗蓝珠子，第5~7小组的袋子里有1颗红珠子、5颗蓝珠子。接着请同学们讨论：①你能通过摸珠子的活动证明袋子里哪种颜色的珠子多吗？②怎样进行摸珠子的活动？③进行摸珠子的活动时应注意什么？然后教师出示摸球的要求：“每人每次任意摸出1个球，记录员把摸的结果记录在表格里，再把球放回去摇匀，换下一位继续摸。每组一共摸12次。”再请同学进行小组活动。这样的设计，每个小组都投入了有序的操作活动中，使猜想得以验证。
（2）加强操作指导。在教学中，教师不能满足于学生通过操作活动认识数学知识，还应不失时机地加以引导，对学生进行学法指导，培养学生获取知识的能力。
例如教学《圆柱和球的认识》时，当学生通过看一看、摸一摸、滚一滚、画一画等操作活动，发现圆柱的特征后，可以进行如下指导：①用什么方法可以验证“从上到下一样粗”？②“上、下两个面是圆形的，大小一样”，你是怎么知道的？③判断，“橡皮圆柱形的吗？”当学生出现两种意见时，教师不急于下结论，而是把十几橡皮叠成圆柱形，让学生判断，然后逐渐减少块数，继续判断。同时，指导学生观察，在整个操作过程中，什么变了，什么不变，抓住圆柱的特征进行判断说理，使学生在积极的自我感悟中掌握知识、发展能力。
三、操作后——操作活动成于有意识地拓展
第六环：应用
设计具有趣味化、生活化和探索性、开放性的练习，引导学生应用通过操作活动所学到的新知识、新方法解决实际生活中的数学问题，加深巩固知识，发展能力。
1.关注数学思考
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系。手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”所以，安排操作活动时，要关注学生学习学生的数学思考，为学生提供广阔的操作探索空间和更多的发展机会，培养学生的思维能力，开发学生的创造潜能。
例如教学《平均分》，先让学生实际操作，使学生在分实物的过程中感受，体验“平均分”，初步形成平均分的表象。然后提出一个发展性的操作要求：“怎样把15个桃子平均放在5个盘子里？比一比，哪个组分法又多又好？”营造了探索空间，通过学生的观察、发现、思索、交流，建立了“平均分”的概念，培养学生观察、动手、思维能力。
2.设计探索活动
如果学生的操作，只是依照老师预设好的思路依葫芦画瓢，那么学生的数学思维得不到发展，更不用说培养创新能力了。如瑞士心理学家皮亚杰所说： “思维是从动作开始的，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展。”
例如在教学《梯形的面积》时，发给学生各种类型的梯形（一般梯形、等腰梯形、直角梯形等）纸片，引导学生剪一剪、拼一拼，把梯形转化成已经学过的平面图形，并推导出面积的计算公式。有些同学用两个完全一样的梯形拼成一个已学过的平面图形（平行四边形、长方形、正方形），推导出梯形面积的计算方式；有些同学把一个梯形分割成两个已学过的平面图形（两个三角形、一个平行四边形和一个三角形、一个长方形和一个三角形），推导出梯形面积的计算方式；还有的同学把一个等腰梯形平均分成两份，拼成一个平行四边形，推导出梯形面积的计算方式。这开放性的操作活动，把自主探索的机会、时间、空间留给了学生，他们主动探索并发现图形的内在联系，将梯形剪拼成已学过的各种平面图形，获取了多种推导梯形面积的计算方法，培养了创新能力。
以上的“三段六环”操作活动教学模式，使得整个学习活动既有序完整，又符合数学教学的一般规律，取得了应有的教学效果。当然，针对教学对象与教学内容的不同特点，此模式可以有相应的变式。
一、操作前——操作活动始于有目的地准备
第一环：准备
在操作前，要充分准备好操作素材。根据操作内容及学生的生活经验、认知发展水平等，复习相关知识，再现处于教学起点位置的已有知识，作为探究依据、工具的已有知识，使新知识通过迁移而同化或顺应于原有的认知结构，并使原有认知结构得以不断扩展和壮大，便于操作活动的顺利进行。
1.准备合理操作素材
（1）精心选择学习内容。适宜学生动手操作的学习内容，一般来说是可物化、外显的数学知识。为此，我们对新课程小学各册教材进行分析，注意选择适宜操作活动的学习内容。如：①能设计有结构、易操作的直观材料来反映数学实质的内容；②适合不同年级学生，能被学生所接受的内容；③与教材的教学要求相吻合的内容；④能通过操作探究活动来获取知识的内容等。
（2）精心准备操作素材。操作是以物质工具为依托的。小学数学教学中的操作活动主要是凭借学具、实物等物质形式进行的。不过，在教学中组织动手操作，选取的素材不是越多越好，如果操作素材多而杂，势必会造成学生注意力分散，学习兴趣从数学思考转移到单纯的玩上了。因此，我们针对不同的学习内容、教学方案，选取不同类型的操作素材。
2.培养良好操作习惯
在操作活动中，建立基本的操作常规，培养学生具有良好的操作习惯是提高操作活动实效性的必要条件之一。
（1）建立基本的常规。与单纯观看教师演示相比，让学生在课堂上操作学具比较费时，特别是低年级儿童还不善于取出、放回学具，使用起来更花费时间。因此，要重视训练学生养成能保证操作顺利进行的各种常规。
例：数学操作常规要求
（2）养成良好的习惯。学生利用学具进行动手操作，先按一定的要求进行充分的外部活动，再用语言表达出自己操作的过程和结果，从而在头脑中形成表象、观念及思维。所以，应重视培养学生具有边操作、边观察、边思考的良好习惯。
（3）丰富灵活的形式。组织操作活动，要根据学习内容选择合适的组织形式，主要有学生个体独立操作和学生群体合作操作两种类型。当学生面对独立操作感到有些困难时，教师可以加强指导，还可采取先合作讨论，共同操作，明确解决途径后再进行独立操作。在组织学生群体合作操作时，要注重创设小组合作学习氛围，恰当分组，选好小组长，提出活动的目的和要求，组织好小组的交流和讨论，避免“放羊式”现象，提高小组合作的效度和参与度。
二、操作中——操作活动行于有效果地实施
第二环：导向
通过教师谈话或创设情境揭示操作活动的内容，向学生提出明确的操作要求，规定必要的操作程序，提出需要注意的地方，使学生的操作带有明显的目的，使学生的动作思维具有明确的指向性，使学生清楚地知道“做什么”和“怎样做”确保操作活动的有效性。
第三环：探究
充分发挥学生的主体作用，激起学生的操作热情，给学生极大的操作探索空间，促使学生进行主动地探究，在“做数学”的过程中对数学知识产生深刻的理解，主动地获取数学知识。
第四环：交流
让每个学生都充分地描述操作的过程, 大胆发表自己的想法和认识，展示操作探究的成果。引导学生进行多向、丰富的信息交流，如生生交流、师生交流，组内交流、组际交流等，让学生数学思维的火花不断碰撞。
第五环：完善
引导学生根据操作活动中获得的具体经验和形成的表象，充分展开分析、比较、综合、抽象、判断、推理等思维活动。学生通过对操作活动的过程与结果进行一系列的归纳、概括、总结，使数学知识得以不断完善，最终完成对新知识的构建。
1.把握最佳的操作时机
新课程明确指出，“操作活动要适量。所谓适量就是不要动辄就操作，操作也不是多多益善。”如果教学中出现操作次数过多的现象，一方面会造成学习时间的浪费；另一方面会使学生对操作活动产生乏味之感。因而，我们要控制使用操作活动的次数，减少那些不必要的操作活动。根据学习内容的特点和小学生的生理、心理特点，把握好最佳时机，组织学生操作活动，促进学生主动探究知识，理解知识，掌握数学方法，提高数学学习质量。
（1）在引导学生主动探究算理时，组织操作活动。小学生计算方法、计算能力的形成是建立在充分的操作、感知基础上的。教学中，恰当地把握操作时机，引导学生借助小棒、实物、实物图片等主动探究算理，能使学生形成具有个性的计算方法。
例如教学《两位数减一位数退位减法》时，为使每位学生都积极主动地投入到探究算理的过程中，设计以下操作活动：每个同学发32根小棒（10根一捆，3捆又2根）。要求学生“请你从32根小棒里拿走8根，并说一说是怎么拿出8根小棒的？”这一动态的、开发的操作活动，使课堂气氛非常活跃，绝大多数学生都表现出强烈的参与意识和探究冲动，有的独立思考，有的合作交流。操作探究之后，学生纷纷发表看法，得出了不同的计算方法：①12-8=4、20 4=24，②30-8=22、22 2=24，③32-2=30、30-6=24 ，④8-2=6、30-6=24……这每一种计算方法，都是学生在操作中产生的，真是“智慧之花开在手指尖上。”可以看出他们尝到学习的乐趣，享受到成功的愉悦。
（2）在引导学生形成空间观念时，组织操作活动。空间感知依赖操作活动，这是由“空间与图形”知识内容的特点决定的。因此，操作活动也成为了学习“空间与图形”知识的主要学习形式。在操作活动中，学生视觉、触觉等多种感官参与认知，进而积累丰富的表象，然后借助语言描述，形成空间观念。
例如教学《长方形、正方形、三角形和圆》时，充分发挥学生的主体作用，引导学生自己想出好的操作办法来验证“正方形四条边都相等，长方形对边相等”，学生兴趣浓厚，思维活跃，想出了把纸对折的，用直尺量一量长度，用笔画下来再比一比等不同的方法。通过主动操作，学生深刻理解了长方形和正方形的特征。
（3）在引导学生推导公式时，组织操作活动。引导学生探索规律或推导公式时，组织有效的操作活动，让学生动手折一折、画一画等，使学生在动中思，动中学，从而激发学习兴趣，主动获取知识。
例如“推导圆面积公式”时，首先引导学生动手把一个圆平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形，再通过观察发现：近似平行四边形的底就是圆周长的一半，近似平行四边形的高就是圆的半径，近似平行四边形的面积就是圆的面积，所以圆的面积等于圆的周长乘以半径，最后推导出圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
（4）在引导学生理解数学概念时，组织操作活动。国际学习科学研究领域的那句名言：听来的忘得快，看到的记得住，动手做更能学得好。因此，对于一些抽象的数学概念的学习，就可以让学生亲自动手操作，促使学生在“做数学”的过程中感受数学概念的意义，更深刻地理解数学概念。
例如教学“千克的认识”时，把学生分成6个小组，每个小组配有秤，细沙、食盐、糖等，让学生亲自动手称一称、掂一掂，在操作实践中对“千克”有所体验、有所感悟，真正地理解知识、建构知识。
2.有效操作引导
新课程倡导“让学生动起来，让课堂活起来”。不能片面地理解成教师可以放开手脚，让学生自由操作。教学实践表明，学生的操作活动若离开了教师的指导，就如一盘散沙，使操作活动流于形式，只能看到乱糟糟、闹哄哄的停留在表面热热闹闹的状况。要让学生的操作过程井然有序，不杂乱无章，关键是要使操作活动成为一个在教师指导下的个体或群体的动态过程。只有教师的指导，才能保证学生的操作活动是有目的、有结构、有层次、有成效的。
（1）提出操作要求。教师要紧紧围绕教学目标，向学生提出明确的操作要求，规定必要的操作程序，提出需要注意的地方，使学生的操作带有明显的目的。
例如教学《可能性》时，先向学生说明：第1~4小组的袋子里有5颗红珠子、1颗蓝珠子，第5~7小组的袋子里有1颗红珠子、5颗蓝珠子。接着请同学们讨论：①你能通过摸珠子的活动证明袋子里哪种颜色的珠子多吗？②怎样进行摸珠子的活动？③进行摸珠子的活动时应注意什么？然后教师出示摸球的要求：“每人每次任意摸出1个球，记录员把摸的结果记录在表格里，再把球放回去摇匀，换下一位继续摸。每组一共摸12次。”再请同学进行小组活动。这样的设计，每个小组都投入了有序的操作活动中，使猜想得以验证。
（2）加强操作指导。在教学中，教师不能满足于学生通过操作活动认识数学知识，还应不失时机地加以引导，对学生进行学法指导，培养学生获取知识的能力。
例如教学《圆柱和球的认识》时，当学生通过看一看、摸一摸、滚一滚、画一画等操作活动，发现圆柱的特征后，可以进行如下指导：①用什么方法可以验证“从上到下一样粗”？②“上、下两个面是圆形的，大小一样”，你是怎么知道的？③判断，“橡皮圆柱形的吗？”当学生出现两种意见时，教师不急于下结论，而是把十几橡皮叠成圆柱形，让学生判断，然后逐渐减少块数，继续判断。同时，指导学生观察，在整个操作过程中，什么变了，什么不变，抓住圆柱的特征进行判断说理，使学生在积极的自我感悟中掌握知识、发展能力。
三、操作后——操作活动成于有意识地拓展
第六环：应用
设计具有趣味化、生活化和探索性、开放性的练习，引导学生应用通过操作活动所学到的新知识、新方法解决实际生活中的数学问题，加深巩固知识，发展能力。
1.关注数学思考
苏霍姆林斯基说过：“手和脑之间有着千丝万缕的联系。手使脑得到发展，使它更加明智；脑使手得到发展，使它变成思维的工具和镜子。”所以，安排操作活动时，要关注学生学习学生的数学思考，为学生提供广阔的操作探索空间和更多的发展机会，培养学生的思维能力，开发学生的创造潜能。
例如教学《平均分》，先让学生实际操作，使学生在分实物的过程中感受，体验“平均分”，初步形成平均分的表象。然后提出一个发展性的操作要求：“怎样把15个桃子平均放在5个盘子里？比一比，哪个组分法又多又好？”营造了探索空间，通过学生的观察、发现、思索、交流，建立了“平均分”的概念，培养学生观察、动手、思维能力。
2.设计探索活动
如果学生的操作，只是依照老师预设好的思路依葫芦画瓢，那么学生的数学思维得不到发展，更不用说培养创新能力了。如瑞士心理学家皮亚杰所说： “思维是从动作开始的，切断了动作和思维之间的联系，思维就得不到发展。”
例如在教学《梯形的面积》时，发给学生各种类型的梯形（一般梯形、等腰梯形、直角梯形等）纸片，引导学生剪一剪、拼一拼，把梯形转化成已经学过的平面图形，并推导出面积的计算公式。有些同学用两个完全一样的梯形拼成一个已学过的平面图形（平行四边形、长方形、正方形），推导出梯形面积的计算方式；有些同学把一个梯形分割成两个已学过的平面图形（两个三角形、一个平行四边形和一个三角形、一个长方形和一个三角形），推导出梯形面积的计算方式；还有的同学把一个等腰梯形平均分成两份，拼成一个平行四边形，推导出梯形面积的计算方式。这开放性的操作活动，把自主探索的机会、时间、空间留给了学生，他们主动探索并发现图形的内在联系，将梯形剪拼成已学过的各种平面图形，获取了多种推导梯形面积的计算方法，培养了创新能力。
以上的“三段六环”操作活动教学模式，使得整个学习活动既有序完整，又符合数学教学的一般规律，取得了应有的教学效果。当然，针对教学对象与教学内容的不同特点，此模式可以有相应的变式。