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[摘 要]“三角形的三边关系”是一个看似容易却较难教学的小学数学经典内容。在教学时，很多教师不经意中就会踏入这样或那样的误区，比较常见的有：混淆上下位概念、导入设计简单、逻辑关系不清、低估学生逻辑思维能力等。只有在真正了解学情、精心研究教材的基础上，引导学生经历完整的知识探究过程，才能有效避免各種误区的出现并促进学生深度学习。
[关键词]三角形;三边关系;教学误区
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0039-03
在小学数学“图形与几何”领域，“三角形的三边关系”是一个传统的经典课题，有着丰富的内涵和研究价值，一直吸引着广大教师和学者不断地进行研究。各级各类小学数学教育期刊上刊登了很多关于此课题的教学实录与评析、教学设计、教学思考等文章。近来，笔者查阅了若干这方面的文献，对该课题比以往有了更深刻的认识，尤其在如何教学方面更是获益匪浅，但也发现了一些在教学中普遍存在的问题。笔者将这些普遍存在的问题进行了归类，梳理出了四个常见的教学误区，并尝试给出相应的纠偏方法。
误区一、混淆上下位概念： 称一般线段为边
先有三条边，还是先有三角形？请看苏教版教材中的叙述：三条线段首尾相接围成的封闭图形叫作三角形。三角形有三条边、三个角。显然是先有三角形的概念，才有三角形边的概念。相对于边而言，线段是一个上位概念，在围三角形之前或围不成三角形的情况下，不能称线段为边。然而，在本课题的教学中，很多教师不太注意这一点，请看下面两个片段。
【片段1】师：难道有了三条边，还不一定能围成三角形？
【片段2】师：两边之和小于或者等于第三边，不能围成三角形。猜想一下，什么情况下能围成三角形？
生：两边之和大于第三边。
在片段1中，教师将围三角形之前的三条线段说成三条边。片段2中，教师将围不成三角形的三条线段称为边。只有当一个上位概念满足一定条件时才能“升级”为下位概念，线段和边就是两个具有“上下级”关系的概念。因此，随意将线段称为边，不仅不严密，而且是错误的。在“数与代数”领域，也有一对类似的易混淆概念——数和数字，很多教师会将“数”（实际上是数据）随意说成“数字”。由于这些错误不影响新课内容的学习，不仅学生暂时不能发现，很多教师也毫未留意，因而具有较强的隐蔽性，从而导致其在数学课堂上的高发性。但是，教师在课堂上的一言一行都会受到学生的关注，其语言表达也会在潜移默化中影响学生对数学本质的理解与认识;再加上数学本身是一门极其严谨的学科，而且李邦河院士说过：“数学本质上是玩概念的。”因此，在数学教学中，教师应尽量注意教学语言的精准表达，避免出现类似混淆概念的低级错误。
误区二、导入设计简单： 忽视学生长（正）方形性质研究经验
“好的开始是成功的一半”，一节课能否成功，导入环节起着举足轻重的作用。但遗憾的是，在本课题的实际教学中，没有明显导入的情况比较普遍（直接从围三角形开始新课）;即便有导入，也非常简单，比如只是复习一下三角形的概念（或创设“两点之间线段最短”的生活情境），之后便立即进入围三角形的新知探索环节。
【片段3】师：我们已经学过了三角形的知识，谁能说说什么是三角形？是不是任意的三条线段都能围成三角形？这里有三根小棒，谁能用它们围一个三角形？
【片段4】师：这是小明家到学校的路线图（略），他可以怎样走？如果是你，你会走哪一条？为什么？
师：在数学上，我们可以将小明家和学校看成两个点，在这两点之间的所有连线中，线段最短。把邮局也看成一个点，这 3 个点连在一起就形成我们学过的三角形。
师：同学们，老师给大家准备了两条线段，你能围成一个三角形吗？
学生要能正确地画和围三角形，首先就需要掌握三角形的概念。线段公理是学生熟悉的生活常识，且与“三角形两边之和大于第三边”是等价命题。因此，三角形的概念与线段公理都与本课题直接相关，同时也都属于学生的已有认知。上述两个片段作为导入的一部分是可以的，但是，之后立即就开始围三角形，还是过快，学生可能会有这样的疑惑：探究三角形的三边关系，为什么不直接研究三角形的边，而要自己围三角形呢？显然，这里的导入与新课之间是“脱节”的：既没有出示课题，也没有提出任何引发学生思考的问题。比如，今天这节课要研究什么？怎么研究？以前研究过类似的问题吗？……学生自己没有时间思考、提问，教师也没有提出这些问题，学生就在完全被动的情况下带着疑惑开始了看似积极、热闹的操作探究。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。而上述的学习显然是呆板的、被动的和千篇一律的，与新课程所倡导的理念完全相悖。
为了让围三角形顺利且自然地“出场”，导入环节显然不能如此简单，那么，在学生已有认知经验中，还有什么是直接与本课题相关的？看似没有了，因为本课题是学生遇到的三角形的第一个性质。但是，三角形并不是学生接触的第一种平面图形。在三年级时，学生曾研究过长（正）方形边的性质，已经积累了一定的研究平面图形性质的活动经验和方法，这是学生探究新知最重要的经验。因此，在复习三角形的概念之后，教师不妨出示问题1：三角形的三条边具有怎样的关系？请思考探究方法（预设学生会类比迁移，运用研究长方形时的“量一量”“折一折”“比一比”等方法;若学生想不到，教师应通过启发唤醒他们的已有经验）;当学生发现用以前的老方法不能解决新问题（问题1）时，教师再一步步引导学生思考解决问题1的新方法，即转换角度——先研究问题2：怎样的三条线段能围成三角形？接下来借助小棒围三角形，便是水到渠成了。
弗赖登塔尔说：“要有耐心，这是教师的最大美德。”因此，教师不要在学生毫不知情的情况下，就急于让学生动手操作——被动执行教师的指令，而应在充分挖掘学生已有认知经验的基础上，精心设计一个适切的导入，引导他们成为思考者、探索者和发现者，从而完全进入到学习活动中来。 误区三、逻辑关系不清： 将三角形的判定当作性质
命题1：三角形任意两边之和大于第三边（问题1的结论）。命题2：三条线段中若任意两条线段长度之和大于第三条，则能围成三角形（问题2的结论）。在逻辑上，命题1与命题2互为逆命题。此处，这两个互逆命题都是真命题，通常称命题1为三角形的性质（或特征），命题2为三角形的判定（或围成三角形的条件），显然二者不是一回事。但是，在实际教学中，很多教师并不加以区分。
【片段5】师：大家经过思考与交流得到能围成三角形的条件，下面请根据条件用一句简短的话来说明三角形的三边关系。
生：三角形的任意两边之和大于第三边。
【片段6】师：围成之后想一想，为什么就围成了呢？
生1：两边之和大于第三边。
师：三角形的三边之间有怎样的关系？
生（众）：任意两边之和大于第三边。
师：任意两边之和大于第三边。怎么知道的呢？
生2：我通过摆知道了。
在以上两个片段中，教师将在围三角形中发现的命题2直接当作命题1，从而得出“三角形的三边关系”。初中平面几何里的“平行线的判定、性质”“三角形全等的判定、性质”……从判定和性质两个相反的角度研究数学对象，在数学学科中是广泛存在的，显然不能在初次接触时就将它们混为一谈，否则将会给学生以后的学习埋下隐患。另外，原命题为真，其逆命题不一定为真。比如，五年级探究“2的倍数特征”时，若学生发现“个位上是4的数是2的倍数”后，就立即得出“2的倍数，个位上是4”，那就是错误的。
因此，不管是从数学逻辑严密性的角度，还是从学生可持续发展的角度考虑，在探究本课题——初次接触判定和性质时，就应该引导学生经历一个完整的逻辑清晰的探究过程：第一步，研究问题1，根据以往经验，发现不能解决（因为学生在以往的认知中，没有将一个图形两边之和作为一个整体与其他边比较的经验，所以也就不会主动想到将三角形的两边之和与第三边比较）;第二步，转换角度，反过来想，研究问题2，先发现围不成的原因——两根较短小棒长度之和小于或等于最长小棒（至此，两根小棒长度之和作为一个整体“浮出水面”），再考查能围成三角形的条件，得到命题2;第三步，判断命题1是否正确，即是否只要是三角形，都有任意两边长度之和大于第三边？任意画一个三角形，通过量一量、算一算来验证（《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求初中阶段进行严格证明）。
与直接围三角形相比，经历上述过程肯定要花费更多的时间和精力，有些学生会觉得比较困难。但是，“磨刀不误砍柴工”，在这一过程中学生真正成为学习的主人（知道自己每一步在做什么，也知道为什么要这么做，以及遇到新问题是如何思考的），既体验了数学严密的逻辑性，提高了逻辑思维能力，也掌握了一般性的解决问题的思维方法，同时还为以后的学习打下了良好的基础。
误区四、低估学生逻辑思维能力： 过分依赖实物操作
给定三根小棒，将较短的两根小棒长度之和与第三根小棒比较大小，一共有三种情况：小于、等于、大于。在探究问题2时，通过动手操作，学生首先会发现“小于”了就不能围成三角形，且能达成共识;但是，由于材料有一定的宽度，对“等于”的情况，学生意见不统一，有些学生认为能围成，有些却认为不能，很多教师认为这是教学中的一个难点。为了避免材料的宽度影响学生的判断，教师想了很多的方法。
某教师在教学反思中写道：那么到底借助什么样的材料来探究三角形三边关系比较合适呢？可谓“仁者见仁，智者见智”，我惊叹于某老师的粗纸条，能够让学生放弃宽度来借助纸条的边线讨论关系，从而逼近数学本质;我也佩服于某老师想到用折叠磁片的方式来研究三角形的三边关系，从而也不考虑宽度。我也花费了一番心思寻找合适的材料，最终选定把线段画在透明塑料片上来研究。
从以上教学反思中可以看出，教师在寻找材料上花费了很多心思。但是，“等于”这种情况，一定要通过实物操作来研究吗？根据皮亚杰的观点，这个阶段的学生的认知结构中已经具有了抽象概念，能凭借具体形象的支持进行逻辑推理。因此，教师可以在研究“大于”“小于”的时候，利用实物操作，并做足文章，然后通过逻辑推理（在头脑中借助表象，对线段进行操作）来研究“等于”的情况。具体过程如下：第一步，给出“大于”的三根小棒，请学生尝试围三角形，让学生明白怎样能围成并概括出围法;第二步，给出“小于”的三根小棒（比如2、5、8厘米），先请学生用刚才的方法围，待学生发现当2厘米和5厘米小棒都落在了8厘米小棒上（另两端已无法再靠近），仍不能连接在一起后，启发学生分别用文字语言和数学式子表述围不成的原因（2 5
[关键词]三角形;三边关系;教学误区
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0039-03
在小学数学“图形与几何”领域，“三角形的三边关系”是一个传统的经典课题，有着丰富的内涵和研究价值，一直吸引着广大教师和学者不断地进行研究。各级各类小学数学教育期刊上刊登了很多关于此课题的教学实录与评析、教学设计、教学思考等文章。近来，笔者查阅了若干这方面的文献，对该课题比以往有了更深刻的认识，尤其在如何教学方面更是获益匪浅，但也发现了一些在教学中普遍存在的问题。笔者将这些普遍存在的问题进行了归类，梳理出了四个常见的教学误区，并尝试给出相应的纠偏方法。
误区一、混淆上下位概念： 称一般线段为边
先有三条边，还是先有三角形？请看苏教版教材中的叙述：三条线段首尾相接围成的封闭图形叫作三角形。三角形有三条边、三个角。显然是先有三角形的概念，才有三角形边的概念。相对于边而言，线段是一个上位概念，在围三角形之前或围不成三角形的情况下，不能称线段为边。然而，在本课题的教学中，很多教师不太注意这一点，请看下面两个片段。
【片段1】师：难道有了三条边，还不一定能围成三角形？
【片段2】师：两边之和小于或者等于第三边，不能围成三角形。猜想一下，什么情况下能围成三角形？
生：两边之和大于第三边。
在片段1中，教师将围三角形之前的三条线段说成三条边。片段2中，教师将围不成三角形的三条线段称为边。只有当一个上位概念满足一定条件时才能“升级”为下位概念，线段和边就是两个具有“上下级”关系的概念。因此，随意将线段称为边，不仅不严密，而且是错误的。在“数与代数”领域，也有一对类似的易混淆概念——数和数字，很多教师会将“数”（实际上是数据）随意说成“数字”。由于这些错误不影响新课内容的学习，不仅学生暂时不能发现，很多教师也毫未留意，因而具有较强的隐蔽性，从而导致其在数学课堂上的高发性。但是，教师在课堂上的一言一行都会受到学生的关注，其语言表达也会在潜移默化中影响学生对数学本质的理解与认识;再加上数学本身是一门极其严谨的学科，而且李邦河院士说过：“数学本质上是玩概念的。”因此，在数学教学中，教师应尽量注意教学语言的精准表达，避免出现类似混淆概念的低级错误。
误区二、导入设计简单： 忽视学生长（正）方形性质研究经验
“好的开始是成功的一半”，一节课能否成功，导入环节起着举足轻重的作用。但遗憾的是，在本课题的实际教学中，没有明显导入的情况比较普遍（直接从围三角形开始新课）;即便有导入，也非常简单，比如只是复习一下三角形的概念（或创设“两点之间线段最短”的生活情境），之后便立即进入围三角形的新知探索环节。
【片段3】师：我们已经学过了三角形的知识，谁能说说什么是三角形？是不是任意的三条线段都能围成三角形？这里有三根小棒，谁能用它们围一个三角形？
【片段4】师：这是小明家到学校的路线图（略），他可以怎样走？如果是你，你会走哪一条？为什么？
师：在数学上，我们可以将小明家和学校看成两个点，在这两点之间的所有连线中，线段最短。把邮局也看成一个点，这 3 个点连在一起就形成我们学过的三角形。
师：同学们，老师给大家准备了两条线段，你能围成一个三角形吗？
学生要能正确地画和围三角形，首先就需要掌握三角形的概念。线段公理是学生熟悉的生活常识，且与“三角形两边之和大于第三边”是等价命题。因此，三角形的概念与线段公理都与本课题直接相关，同时也都属于学生的已有认知。上述两个片段作为导入的一部分是可以的，但是，之后立即就开始围三角形，还是过快，学生可能会有这样的疑惑：探究三角形的三边关系，为什么不直接研究三角形的边，而要自己围三角形呢？显然，这里的导入与新课之间是“脱节”的：既没有出示课题，也没有提出任何引发学生思考的问题。比如，今天这节课要研究什么？怎么研究？以前研究过类似的问题吗？……学生自己没有时间思考、提问，教师也没有提出这些问题，学生就在完全被动的情况下带着疑惑开始了看似积极、热闹的操作探究。《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。而上述的学习显然是呆板的、被动的和千篇一律的，与新课程所倡导的理念完全相悖。
为了让围三角形顺利且自然地“出场”，导入环节显然不能如此简单，那么，在学生已有认知经验中，还有什么是直接与本课题相关的？看似没有了，因为本课题是学生遇到的三角形的第一个性质。但是，三角形并不是学生接触的第一种平面图形。在三年级时，学生曾研究过长（正）方形边的性质，已经积累了一定的研究平面图形性质的活动经验和方法，这是学生探究新知最重要的经验。因此，在复习三角形的概念之后，教师不妨出示问题1：三角形的三条边具有怎样的关系？请思考探究方法（预设学生会类比迁移，运用研究长方形时的“量一量”“折一折”“比一比”等方法;若学生想不到，教师应通过启发唤醒他们的已有经验）;当学生发现用以前的老方法不能解决新问题（问题1）时，教师再一步步引导学生思考解决问题1的新方法，即转换角度——先研究问题2：怎样的三条线段能围成三角形？接下来借助小棒围三角形，便是水到渠成了。
弗赖登塔尔说：“要有耐心，这是教师的最大美德。”因此，教师不要在学生毫不知情的情况下，就急于让学生动手操作——被动执行教师的指令，而应在充分挖掘学生已有认知经验的基础上，精心设计一个适切的导入，引导他们成为思考者、探索者和发现者，从而完全进入到学习活动中来。 误区三、逻辑关系不清： 将三角形的判定当作性质
命题1：三角形任意两边之和大于第三边（问题1的结论）。命题2：三条线段中若任意两条线段长度之和大于第三条，则能围成三角形（问题2的结论）。在逻辑上，命题1与命题2互为逆命题。此处，这两个互逆命题都是真命题，通常称命题1为三角形的性质（或特征），命题2为三角形的判定（或围成三角形的条件），显然二者不是一回事。但是，在实际教学中，很多教师并不加以区分。
【片段5】师：大家经过思考与交流得到能围成三角形的条件，下面请根据条件用一句简短的话来说明三角形的三边关系。
生：三角形的任意两边之和大于第三边。
【片段6】师：围成之后想一想，为什么就围成了呢？
生1：两边之和大于第三边。
师：三角形的三边之间有怎样的关系？
生（众）：任意两边之和大于第三边。
师：任意两边之和大于第三边。怎么知道的呢？
生2：我通过摆知道了。
在以上两个片段中，教师将在围三角形中发现的命题2直接当作命题1，从而得出“三角形的三边关系”。初中平面几何里的“平行线的判定、性质”“三角形全等的判定、性质”……从判定和性质两个相反的角度研究数学对象，在数学学科中是广泛存在的，显然不能在初次接触时就将它们混为一谈，否则将会给学生以后的学习埋下隐患。另外，原命题为真，其逆命题不一定为真。比如，五年级探究“2的倍数特征”时，若学生发现“个位上是4的数是2的倍数”后，就立即得出“2的倍数，个位上是4”，那就是错误的。
因此，不管是从数学逻辑严密性的角度，还是从学生可持续发展的角度考虑，在探究本课题——初次接触判定和性质时，就应该引导学生经历一个完整的逻辑清晰的探究过程：第一步，研究问题1，根据以往经验，发现不能解决（因为学生在以往的认知中，没有将一个图形两边之和作为一个整体与其他边比较的经验，所以也就不会主动想到将三角形的两边之和与第三边比较）;第二步，转换角度，反过来想，研究问题2，先发现围不成的原因——两根较短小棒长度之和小于或等于最长小棒（至此，两根小棒长度之和作为一个整体“浮出水面”），再考查能围成三角形的条件，得到命题2;第三步，判断命题1是否正确，即是否只要是三角形，都有任意两边长度之和大于第三边？任意画一个三角形，通过量一量、算一算来验证（《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求初中阶段进行严格证明）。
与直接围三角形相比，经历上述过程肯定要花费更多的时间和精力，有些学生会觉得比较困难。但是，“磨刀不误砍柴工”，在这一过程中学生真正成为学习的主人（知道自己每一步在做什么，也知道为什么要这么做，以及遇到新问题是如何思考的），既体验了数学严密的逻辑性，提高了逻辑思维能力，也掌握了一般性的解决问题的思维方法，同时还为以后的学习打下了良好的基础。
误区四、低估学生逻辑思维能力： 过分依赖实物操作
给定三根小棒，将较短的两根小棒长度之和与第三根小棒比较大小，一共有三种情况：小于、等于、大于。在探究问题2时，通过动手操作，学生首先会发现“小于”了就不能围成三角形，且能达成共识;但是，由于材料有一定的宽度，对“等于”的情况，学生意见不统一，有些学生认为能围成，有些却认为不能，很多教师认为这是教学中的一个难点。为了避免材料的宽度影响学生的判断，教师想了很多的方法。
某教师在教学反思中写道：那么到底借助什么样的材料来探究三角形三边关系比较合适呢？可谓“仁者见仁，智者见智”，我惊叹于某老师的粗纸条，能够让学生放弃宽度来借助纸条的边线讨论关系，从而逼近数学本质;我也佩服于某老师想到用折叠磁片的方式来研究三角形的三边关系，从而也不考虑宽度。我也花费了一番心思寻找合适的材料，最终选定把线段画在透明塑料片上来研究。
从以上教学反思中可以看出，教师在寻找材料上花费了很多心思。但是，“等于”这种情况，一定要通过实物操作来研究吗？根据皮亚杰的观点，这个阶段的学生的认知结构中已经具有了抽象概念，能凭借具体形象的支持进行逻辑推理。因此，教师可以在研究“大于”“小于”的时候，利用实物操作，并做足文章，然后通过逻辑推理（在头脑中借助表象，对线段进行操作）来研究“等于”的情况。具体过程如下：第一步，给出“大于”的三根小棒，请学生尝试围三角形，让学生明白怎样能围成并概括出围法;第二步，给出“小于”的三根小棒（比如2、5、8厘米），先请学生用刚才的方法围，待学生发现当2厘米和5厘米小棒都落在了8厘米小棒上（另两端已无法再靠近），仍不能连接在一起后，启发学生分别用文字语言和数学式子表述围不成的原因（2 5