论文部分内容阅读
摘 要：小学低年级数学教学要从数与计算的教学中创设机会，于算术教学中融入早期代数思想，帮助学生理解简单的代数结构和代数关系，增强学生算术学习能力的同时发展他们的代数思维。
关键词：小学数学；算数；代数思维
代数思维被认为是数学的“核心思想”而具有较为重要的地位。长期以来，小学数学的内容在思维方式上更多地倾向于算术思维，导致不同学段间算术教学与代数教学出现了人为的断裂状态。美国著名数学教育家基尔帕特里克认为：“代数不是延迟到掌握算术后，而是应该从开始学习算术起就在课程中呈现。”基于现状，在实际教学中，我们可以从一年级开始的数与计算的教学中创设机会，于算术教学中融入早期代数思想，帮助学生理解简单的代数结构和代数关系，增强学生算术学习能力的同时发展他们的代数思维，缓解学生因小学阶段代数思维的训练准备不足而造成的中学代数学习所出现的困难和障碍，为以后的代数学习奠定坚实的基础。
一、基于生活经验，理解等号的关系和性质
卡彭特等人认为：“由算术思维到代数思维的转换标志之一是从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。”学生初次接触等号是与大于号、小于号同时学习的，用来比较两个数的大小关系，即作为一种关系引入的，最初是认识“等号的关系性质”。但在后续的运算学习中，等号用来连接算式和得数，“等号的程序性质”被关注，而关系性质被忽视。因此，在学生理解了“等号的程序性质”后，要选择合适的契机，帮助学生深化对“等号的关系性质”的理解。
如一年级教材中有这样的练习：
5=□ □ 5=□ □ 5=□ □
可以让学生借助直观形象的方式建立等号的关系观念：
右边怎样摆才能平衡？选择合适的图片摆一摆、填一填（图1）。
可将上面的六个方框制作成磁性图片，让学生到黑板上摆一摆。学生根据生活经验发现左边是5个小球，要让两边平衡，右边也要摆上5个小球才行，于是便有了三种摆法：0和5；1和4；2和3。根据每种摆法写出相应的两道算式：5=5 0，5=0 5，5=1 4，5=4 1，5=2 3，5=3 2。接着让学生观察并思考：这些算式和我们以前学习的算式有什么不同？学生发现以前学习的算式加号在等号的左边，而这些算式加号在等号的右边。启发学生联想玩跷跷板的经验，等号两边加号和得数的位置不一样，就像跷跷板上的两个人，可以交换左边和右边的位置。交换后可以写出以前的算式：5 0=5，0 5=5，1 4=5，4 1=5，2 3=5，3 2=5。最后让学生观察这两组算式有什么相同的地方，学生发现，即使调换位置，两边还是相等的，所以中间都用等号连接。
借助熟悉的跷跷板的平衡概念建构相等关系，凸显了“等号的关系性质”，之后将抽象出的两組算式进行比较，将“等号的程序性质”向“等号的关系性质”进行了转换，加深了对“等号关系性质”的理解。
二、遵循认知特点，感知代数关系和结构
代数思维的核心是由关系结构描述的，其目的是发现（一般化）关系，明确结构，并把它们连接起来。其中对代数关系和结构的深度理解是运用代数思维解决问题的基础。在“早期代数思维”培养阶段，只要求学生对隐藏的代数关系和结构有所感知、理解，能用自己的方式描述或表征，形成关系思维，并能应用其解决问题。基于低年级儿童的认知特点，可通过直观操作比较、多样化算法渗透等途径帮助孩子感知和认识简单的代数关系和结构。
1. 直观化操作，渗透关系结构
教学“9加几”时，让学生用小棒摆一摆进行计算，发现可以采用“凑十法”：9 4，把4分成1和3，9和1凑成10，所以9 4=13。在教学例题和适当地巩固练习后，可以引导学生关注关系与结构：计算9加几，都是先加上1凑成一个10，然后在后面加数中减去1，加的1与减去的1刚好抵消，结果不变，即（9 1） （4-1）=9 4。在教学9 5，9 6等其他算式时进一步强化，并让学生进行表达，凸显隐含的代数关系和结构是：（a c） （b-c）=a b。早期代数思维的培养应该成为小学阶段计算教学的最终目标与归宿，而“凑整”只是其中的某些技巧与应用。
教学“10的分与合”时，要求学生将10颗珠子有次序地涂一涂、分一分再填一填，发现10可以分成1和9、2和8、3和7、4和6、5和5。引导学生观察比较：涂的数量增加几颗，剩下的就减少几颗，总个数才不变。虽然没有用符号或字母表示同时增加和减少的“几”，但学生在操作和比较中，加法算式的结构及其中数与数的关系也比较明显了。
2. 多样化算法，发展结构意识
一年级上册有这样的练习（图2）：
题目中要解决的是“房子里还剩几只鸽子”的问题，学生可能会根据部分与总体的关系，从对减法的理解想到：一共有10只鸽子，减去飞走的3只，等于房子里还剩的鸽子，10-3=7（只）；或一共10只鸽子，减去房子里还剩的鸽子，等于飞走的3只，10-（7）=3（只）；还可能从加法的意义想到：房子里还剩的鸽子加上飞走的3只，一共是10只鸽子，（7） 3=10（只）。这三种思路都是正确的，但后两种思路则是方程思维方式的体现，看上去比第一种思路烦琐，实质上意义深远，不仅有助于学生对“一共”“飞走”“还剩”三者之间数量关系的整体把握，加深对数量关系的理解，更能渗透用（ ）表示未知数并参与运算的意识。引导学生由程序性的算法10-3=7，逐渐向10-（ ）=3，（ ） 3=10这样的关系性算法转变，正是算术思维向代数思维的转变。在低年级解决实际问题教学中，借助较直观的图文信息理解多样化的算法，将算术与代数方法并举，可以帮助学生深度理解数量关系，发现两种思维方式之间的异同，从而掌握更一般的代数方法，逐步发展学生的代数结构意识。
三、简化语言描述，发展符号的表征能力
符号语言是代数中最重要的方面和特点。符号的理解与使用是进入代数思维的第一步，而符号背后的代数思想是代数思维最为重要的部分。对于低年级儿童，教师可以有意识地引导学生将用自然语言描述的数或数量关系用符号表示。
如根据游泳池上面有3人，里面有5人，一共有8人这样一幅图，可写出两道加法算式和两道减法算式（一图四式）：3 5=8，5 3=8，8-5=3，8-3=5。可以这样渗透（课件演示）：如果用○表示泳池上面的人，用△表示泳池里的人，用□表示所有人，是否可以这样表示：○ △=□，△ ○=□，□-○=△，□-△=○。再让学生思考：像这样的等式还可以表示怎样的四道算式？学生发现“一图四式”都可以用这样的等式表示。在这样的认知过程中，学生不仅体验了符号化的过程，更渗透了○、△、□表示的是一个变量，突出了三者之间的关系。
结合“认识乘法”，可进行这样的渗透：2 2 2 2=（ ）×（ ），3 3 3 3 3=（ ）×（ ），5 5=（ ）×（ ），△ △ △=（ ）×（ ），通过用△表示相同的加数，并进一步思考△可以表示哪些数，形成乘法意义的一般化认识，渗透△表示的是一个变量。
在学习了加法算式及其验算后，引导学生将“交换两个加数的位置，和不变”的自然语言描述用符号语言予以简化，比如可用△和○分别表示两个相加的数，写成“△ ○=○ △”，体现了符号语言的概括性和一般化。在今后的使用和表达中淡化自然语言的描述，强化用符号化概括的规律，从而促进儿童变量思维的萌发，感受符号化表达的优势。
早期代数视角下，算术教学必须“超越熟练掌握计算和流利的计算技巧，注意数学深层次的结构”；在教学中，教师应从低年级数与计算的教学开始，就根据学生的年龄特征和认知特点，有意识地采取相应的策略渗透代数意识，发展学生的早期代数思维，同时让“代数地思考”成为一种思维习惯。
关键词：小学数学；算数；代数思维
代数思维被认为是数学的“核心思想”而具有较为重要的地位。长期以来，小学数学的内容在思维方式上更多地倾向于算术思维，导致不同学段间算术教学与代数教学出现了人为的断裂状态。美国著名数学教育家基尔帕特里克认为：“代数不是延迟到掌握算术后，而是应该从开始学习算术起就在课程中呈现。”基于现状，在实际教学中，我们可以从一年级开始的数与计算的教学中创设机会，于算术教学中融入早期代数思想，帮助学生理解简单的代数结构和代数关系，增强学生算术学习能力的同时发展他们的代数思维，缓解学生因小学阶段代数思维的训练准备不足而造成的中学代数学习所出现的困难和障碍，为以后的代数学习奠定坚实的基础。
一、基于生活经验，理解等号的关系和性质
卡彭特等人认为：“由算术思维到代数思维的转换标志之一是从等号的程序观念到等号的关系观念的转变。”学生初次接触等号是与大于号、小于号同时学习的，用来比较两个数的大小关系，即作为一种关系引入的，最初是认识“等号的关系性质”。但在后续的运算学习中，等号用来连接算式和得数，“等号的程序性质”被关注，而关系性质被忽视。因此，在学生理解了“等号的程序性质”后，要选择合适的契机，帮助学生深化对“等号的关系性质”的理解。
如一年级教材中有这样的练习：
5=□ □ 5=□ □ 5=□ □
可以让学生借助直观形象的方式建立等号的关系观念：
右边怎样摆才能平衡？选择合适的图片摆一摆、填一填（图1）。
可将上面的六个方框制作成磁性图片，让学生到黑板上摆一摆。学生根据生活经验发现左边是5个小球，要让两边平衡，右边也要摆上5个小球才行，于是便有了三种摆法：0和5；1和4；2和3。根据每种摆法写出相应的两道算式：5=5 0，5=0 5，5=1 4，5=4 1，5=2 3，5=3 2。接着让学生观察并思考：这些算式和我们以前学习的算式有什么不同？学生发现以前学习的算式加号在等号的左边，而这些算式加号在等号的右边。启发学生联想玩跷跷板的经验，等号两边加号和得数的位置不一样，就像跷跷板上的两个人，可以交换左边和右边的位置。交换后可以写出以前的算式：5 0=5，0 5=5，1 4=5，4 1=5，2 3=5，3 2=5。最后让学生观察这两组算式有什么相同的地方，学生发现，即使调换位置，两边还是相等的，所以中间都用等号连接。
借助熟悉的跷跷板的平衡概念建构相等关系，凸显了“等号的关系性质”，之后将抽象出的两組算式进行比较，将“等号的程序性质”向“等号的关系性质”进行了转换，加深了对“等号关系性质”的理解。
二、遵循认知特点，感知代数关系和结构
代数思维的核心是由关系结构描述的，其目的是发现（一般化）关系，明确结构，并把它们连接起来。其中对代数关系和结构的深度理解是运用代数思维解决问题的基础。在“早期代数思维”培养阶段，只要求学生对隐藏的代数关系和结构有所感知、理解，能用自己的方式描述或表征，形成关系思维，并能应用其解决问题。基于低年级儿童的认知特点，可通过直观操作比较、多样化算法渗透等途径帮助孩子感知和认识简单的代数关系和结构。
1. 直观化操作，渗透关系结构
教学“9加几”时，让学生用小棒摆一摆进行计算，发现可以采用“凑十法”：9 4，把4分成1和3，9和1凑成10，所以9 4=13。在教学例题和适当地巩固练习后，可以引导学生关注关系与结构：计算9加几，都是先加上1凑成一个10，然后在后面加数中减去1，加的1与减去的1刚好抵消，结果不变，即（9 1） （4-1）=9 4。在教学9 5，9 6等其他算式时进一步强化，并让学生进行表达，凸显隐含的代数关系和结构是：（a c） （b-c）=a b。早期代数思维的培养应该成为小学阶段计算教学的最终目标与归宿，而“凑整”只是其中的某些技巧与应用。
教学“10的分与合”时，要求学生将10颗珠子有次序地涂一涂、分一分再填一填，发现10可以分成1和9、2和8、3和7、4和6、5和5。引导学生观察比较：涂的数量增加几颗，剩下的就减少几颗，总个数才不变。虽然没有用符号或字母表示同时增加和减少的“几”，但学生在操作和比较中，加法算式的结构及其中数与数的关系也比较明显了。
2. 多样化算法，发展结构意识
一年级上册有这样的练习（图2）：
题目中要解决的是“房子里还剩几只鸽子”的问题，学生可能会根据部分与总体的关系，从对减法的理解想到：一共有10只鸽子，减去飞走的3只，等于房子里还剩的鸽子，10-3=7（只）；或一共10只鸽子，减去房子里还剩的鸽子，等于飞走的3只，10-（7）=3（只）；还可能从加法的意义想到：房子里还剩的鸽子加上飞走的3只，一共是10只鸽子，（7） 3=10（只）。这三种思路都是正确的，但后两种思路则是方程思维方式的体现，看上去比第一种思路烦琐，实质上意义深远，不仅有助于学生对“一共”“飞走”“还剩”三者之间数量关系的整体把握，加深对数量关系的理解，更能渗透用（ ）表示未知数并参与运算的意识。引导学生由程序性的算法10-3=7，逐渐向10-（ ）=3，（ ） 3=10这样的关系性算法转变，正是算术思维向代数思维的转变。在低年级解决实际问题教学中，借助较直观的图文信息理解多样化的算法，将算术与代数方法并举，可以帮助学生深度理解数量关系，发现两种思维方式之间的异同，从而掌握更一般的代数方法，逐步发展学生的代数结构意识。
三、简化语言描述，发展符号的表征能力
符号语言是代数中最重要的方面和特点。符号的理解与使用是进入代数思维的第一步，而符号背后的代数思想是代数思维最为重要的部分。对于低年级儿童，教师可以有意识地引导学生将用自然语言描述的数或数量关系用符号表示。
如根据游泳池上面有3人，里面有5人，一共有8人这样一幅图，可写出两道加法算式和两道减法算式（一图四式）：3 5=8，5 3=8，8-5=3，8-3=5。可以这样渗透（课件演示）：如果用○表示泳池上面的人，用△表示泳池里的人，用□表示所有人，是否可以这样表示：○ △=□，△ ○=□，□-○=△，□-△=○。再让学生思考：像这样的等式还可以表示怎样的四道算式？学生发现“一图四式”都可以用这样的等式表示。在这样的认知过程中，学生不仅体验了符号化的过程，更渗透了○、△、□表示的是一个变量，突出了三者之间的关系。
结合“认识乘法”，可进行这样的渗透：2 2 2 2=（ ）×（ ），3 3 3 3 3=（ ）×（ ），5 5=（ ）×（ ），△ △ △=（ ）×（ ），通过用△表示相同的加数，并进一步思考△可以表示哪些数，形成乘法意义的一般化认识，渗透△表示的是一个变量。
在学习了加法算式及其验算后，引导学生将“交换两个加数的位置，和不变”的自然语言描述用符号语言予以简化，比如可用△和○分别表示两个相加的数，写成“△ ○=○ △”，体现了符号语言的概括性和一般化。在今后的使用和表达中淡化自然语言的描述，强化用符号化概括的规律，从而促进儿童变量思维的萌发，感受符号化表达的优势。
早期代数视角下，算术教学必须“超越熟练掌握计算和流利的计算技巧，注意数学深层次的结构”；在教学中，教师应从低年级数与计算的教学开始，就根据学生的年龄特征和认知特点，有意识地采取相应的策略渗透代数意识，发展学生的早期代数思维，同时让“代数地思考”成为一种思维习惯。