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从2010年至2016年的全国高考题来看：历年全国卷对数列的考查虽然不是每年都作为解答题出现，但数列却是高考数学中的一棵“常青树”. 而全国卷中的数列对考生的考查虽不难，但由于考生对数列的概念、性质以及基本结论理解不透彻、思考不全面等多种原因，这就导致考生对数列易混淆、易错题的题型“难以把握”. 加上数学学习是一个认知过程，在这个過程中，由于考生的认知水平、理解水平的不同，解题过程中往往会出现这样或者那样的错误，因此若不厘清数列中的易混淆、易错题的题型，考生依然“重复昨天的错误故事”. 所以我们在备考的过程中就要认真对待出现的错误，要剖析错误产生的原因，探讨错误的纠正方法，只有我们在这个过程中真正地做到慎思、深思，明辨其错误的“是非”，这样才可以做到不要让类似的错误再次发生. 因此我们要真正地解决数列易混淆、易错题的题型，就必须要熟练数列相关知识，厘清它们数列易混淆、易错题的题型，在解题过程中加强对条件和结论的分析，掌握数列易混淆、易错题的题型的注意问题，做到将数列中的易混淆、易错题的题型“药到病除”. 下面总结归纳数列中的易混淆、易错题的题型，就解数列易混淆、易错题的题型的一些解题方法和技巧来进行举例分析、总结归纳，结合在数列中解题出现的一些错误来辨析，以达到正本清源的功效.
一、混淆相近的数学概念或概念不清产生的错误
例1. x=■是a， x， b成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不要条件
错解展示：此题易错选为A，若x=■，则x2=ab，所以a， x， b成等比数列，当a， x， b成等比数列，则x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比数列的充分不必要条件，故选A.
错因剖析：本题选A的原因主要是知识性的错误，是由概念不清所致，等比数列中要求数列中的每一项及公比不能为零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.
正解：选D，若x=■，则x2=ab，但x， a， b有可能为零，因此推不出成a， x， b等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比数列的既不充分也不要条件.
变式1：已知Sn为数列{ an }的前n项和，且有Sn=bn ■，试判断{ an }是什么数列？
错解展示：由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn ■-（bn-1 ■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比数列.
错因剖析：本题错误的原因就是对等比数列的概念不清晰，忽略等比数列的公比不能为零这一情况，而b=0或b≠0.
正解：当b=0时，显然数列{ an }不成等比数列，此时数列{ an }为常数列；当b≠0时，由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn ■-（bn-1 ■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此数列{ an }是以公比b的等比数列.
例2. 已知数列{ an }的首项为1，Sn为数列{ an }的前n项和，Sn 1=qSn 1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2 2成等差数列，求{ an }的通项公式.
错解展示：依题意a1=1，a1 a2=qa1 1，2a3=3a2 2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因为a2 2=a1a3，所以{ an }是一个等比数列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.
错因剖析：本题由特殊代替一般，即由前3项成等比数列，就错误认为数列{ an }为等比数列，要证明数列为等比数列，要确保任意一项都满足■为同一常数才行.
正解：由已知得Sn 1=qSn 1，Sn 2=qSn 1 1， 两式相减得到an 2=qan 1，n≥1. 又由S2=qS1 1得到a2=qa1，故an 1=qan对所有n≥1都成立. 所以数列{ an }是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由2a2，a3，a2 2成等比数列可得2a3=3a2 2，即2q2=3q 2，则（2q 1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.
例3. 等比数列{ an }的公比为q，则q>1是“对于任意n∈N？鄢”都有an 1>an的_______条件.
错解展示：当q>1时，很多考生容易错误判断出an 1>an，或当an 1>an时，则错误判断出q>1，因此很多考生会错误判断为充要条件或充分不必要条件或必要不充分条件.
错因剖析：本题主要是由于不理解等比数列的递增数列这个基本概念所致，误认为判断等比数列为递增数列和等差数列为递增数列一样，只需要判断公比的情况，殊不知判断一个等比数列是否为递增数列或递减数列，不单单要考虑公比，还要考虑首项a1才行. 对于等比数列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且01（a1>0或且00为递增数列，d<0为递减数列），切莫将判断等差数列和等比数列为递增（递减）混淆，要理解它们之间的本质，才可以避免出错.
正解：在等比数列{ an }中，由于a1没有确定（a1>0或a1<0），因此q>1无法推出数列{ an }为递增数列，即an 1>an，同样由an 1>an，即等比数列{ an }是递增数列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且01，所以q>1是“对于任意n∈N？鄢”都有an 1>an的既不充分也不要条件.
【纠错点拔】纵观以上例题的错误，主要是由于对数列的基本概念不清晰或混淆概念所致，只要我们在解题中明确几点：①等比数列中的每一项及等比数列不能为零；②证明等差数列或等比数列时只证明某些项成等差数列或者等比数列，用特殊代替一般，没有利用定义来证明，一般来讲，证明数列{ an }为等差数列常用方法有两种：一种是利用定义证明，即an-an-1為同一常数，另一种是利用等差中项的定义，即2an=an 1 an-1.（证明等比数列{ an }为等比数列常用方法有两种：一种是利用定义证明，即■为同一常数，另一种是利用等比中项的定义，即an2=an 1·an-1）；③判断等比数列为递增（递减）数列，即要考虑：a1>0且q>1（或a1<0且01（或a1>0且0 从上面的三个例题过程分析可知：我们要真正地把错误纠正过来，就必须在备考的过程中对等差或等比数列中的概念（如等差、等比数列的定义，递增（递减）数列的判断等）要清晰，同时要注意常考的易错点：比如等比数列中的每一项及公比不能为零，又如证明数列为等差数列或等比数列不能用归纳部分项来代替证明，切莫认为某些项成等比数列（等差数列）就认为等比数列（等差数列），要加强对等差（等比）数列概念的理解和掌握，因此在平时备考的过程中注意到以上这些易错点，这样才可以更好地扫除“障碍”，很好地避免出错.
二、忽视参数取值范围（或定义域等）导致出错
在数列的解题中，很多考生往往会忽略参数的取值范围或者定义域而导致出错，很多考生的解题过程看似“无懈可击”且不易发现错漏，因此我们在备考过程中要特别重视这类错误.
例4. 已知数列{ an }的前n项和为Sn，且满足Sn=n2 n 1，求数列{ an }的通项公式.
错解展示：由Sn=n2 n 1，可得 an=Sn-Sn-1=n2 n 1-[（n-1）2 （n-1） 1]=2n，因此an=2n.
错因剖析：本题的错误之处在于忽略了公式 an=Sn-Sn-1的范围，只有当n≥2时，公式 an=Sn-Sn-1才成立，当n=1时，a1=S1=3，而a1=3却不满足an=2n，所以要表示成分段函数的形式，因此数列{ an }的通项公式应为an=3， （n=1）2n. （n≥2）由此可见，利用公式an=S1， （n=1）Sn-Sn-1（n≥2）时，要注意对n进行分类讨论，若通项公式能整合则整合，整合不了的则写成分段的形式.
正解：由数列{ an }的前n项和为Sn满足Sn=n2 n 1，可得当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2 n 1-[（n-1）2 （n-1） 1]=2n，因此an=3， （n=1）2n. （n≥2）
例5. 已知数列{ an }满足a1=1，an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1（n≥2，n∈N？鄢），若ak =50，求k的值.
错解展示：由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1……①可得an 1=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1 ■an……②，②- ①，得an 1-an=■an，因此得■=■……③，由累乘法有an=a1·■·■·■· … ·■=1×■×■×……×■=n，因此an=n，所以由ak =50得k=50.
错因剖析：在本题中，我们要时刻注意使用①和②的取值范围，在①式中n 的范围是n≥2，而②式中n 的范围却是n≥1，所以③式中的取值范围应该是n≥2，而不是n≥1.
正解：由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1……①，可得
an 1=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1 ■an……②，②- ①，得an 1-an=■an，因此得■=■……③，再由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1可知，a2=■a1=1，由累乘法有■·■· … ·■=■×…×■=■，所以■=■，因此an=■，再由ak =50，解得k=100.
例6. 已知数列{ an }满足an=n2 ？姿n 1，若数列{ an }为单调递增数列，求？姿的取值范围.
错解展示：由an=n2 ？姿n 1可知：an 是关于n 的二次函数，它的对称轴为n=-■，要使数列{ an }为单调递增数列，即an在[1， ∞）上单调递增，因此-■≤1，即？姿≥-2.
错因剖析：主要是很多考生把函数的单调性和数列的单调性弄错，没有认识到an 虽是关于n 的二次函数，但n∈N？鄢，它的图像不是连续的曲线，而是一些孤立的点，只要满足a1 正解1：由an=n2 ？姿n 1，可知an 是关于n的二次函数，它的对称轴为n=-■，要使数列{ an }为单调递增数列，即an 在[1， ∞）上单调递增，只要满足a1-3.
正解2：由数列{ an }为单调递增数列，因此可得an 1>an（n≥1），即 （n 1）2 ？姿（n 1） 1>n2 ？姿n 1，所以？姿>-2n-1对于n≥1恒成立，即？姿>（-2n-1）max，因此可得？姿>-3.
例7. 已知等比数列{ an }的前n项和为Sn ，若a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12-S9成等比数列.
错解展示：设等比数列的公比为q，由a1，a7，a4成等差数列可得2a7=a1 a4，即2a1q6=a1 a1q3，所以2q6-q3-1=0，
而2S3（S12-S9）=■[■-■]=■， 而S■■ =[■]2， 因此有2S3（S12-S9）= a6 2，所以2S3，S6，S12-S9成等比数列.
错因剖析：在利用等比数列求和公式时要注意分q=1和q≠1两种情况，而本题则是忽略了等比数列公比q=1这种情况，甚至会出现漏解或错解得情况，因此我们在解题过程中就要考虑两种情况（q=1和q≠1）. 其实在做等比数列的题目时，我们要时刻注意等比数列的三个“盲点”：一个是等比数列的各项不能为零，二是利用等比数列的求和公式时要注意分开q=1和q≠1来考虑，三是等比数列的公比不能为零.这些都是我们在解题中容易忽略的问题，只有在解题中不断强化，才可以避免出错.
正解：设等比数列的公比为q，由a1，a7，a4成等差数列可得2a7=a1 a4，即2a1q6=a1 a1q3，所以2q6-q3-1=0，当q=1时，S3=3a1，S6=6a1，S12-S9=3a1，所以有2S3（S12-S9）=a6 2，当q≠1时，2S3（S12-S9）=■[■-■]=■.
而S6 2 =[■]2，因此有2S3（S12-S9）=S6 2 ，综上所得2S3，S6，S12-S9成等比数列.
变式3：已知等比数列{ an }的前n项和为Sn，若S3 S6=S9，求等比数列的公比q.
错解展示：由S3 S6=S9，可得■ ■=■，所以q9-q6-q3 1=0，即（q6-1）（q3-1）=0，所以q=1或q=-1.
错因剖析：本题在利用等比数列求和公式时仍是忽略q=1这种情况，这是考生在解题中易遗漏的情况.
正解：当q=1时，由3a1 6a1=9a1可知满足S3 S6=S9，因此q=1满足题意，当q≠1时，由S3 S6=S9可得■ ■=■，所以q9-q6-q3 1=0，即（q6-1）（q3-1）=0，因为q≠1，所以q3-1≠0，因此q6=1，即q=-1，综上可得q=1或q=-1.
变式4：求和：1 2x 3x2 … nxn-1.
错解展示：令Sn=1 2x 3x2 … nxn-1……①
则xSn=x 2x2 3x3 … （n-1）xn-1 nxn……②
①-②得（1-x）Sn=1 x x2 … xn-1-nxn， 所以 Sn=■-■.
错因剖析：本题主要考查错位相减法和等比数列求和公式等基础知识，但是很多考生往往在解题中忽略x=1和x=0这两种情况，这样导致出错.
正解：令Sn=1 2x 3x2 … nxn-1，当x=0时，Sn=1；当x=1时，Sn=1 2 3 … n=■；当x≠1时，Sn=1 2x 3x2 … nxn-1……①
则xSn=x 2x2 3x3 … （n-1）xn-1 nxn……②
①-②得（1-x）Sn=1 x x2 … xn-1-nxn， 所以 Sn=■-■，
综上所得Sn=1， （x=0）■， （x=0）■-■.（x≠1）
例7. 已知等差数列an=13-3n，其前n项和为Sn，求Sn的最大值.
错解展示：由题意，a1=10， Sn=■=-■（n-■）2 ■， 当n=■时，Sn 的最大，最大值是为Sn=■.
错因剖析：数列的自变量是正整数，n不能取■. 因此利用二次函数求最值的方法求和的最大值或最小值时，要注意确保所取n为正自然数才行.
正解1：由an=13-3n可得a1=10， Sn=■=-■（n-■）2 ■，当n=4时，离二次函数对称轴最近，所以 Sn的最大值是为 S4=■=22.
正解2：令an=13-3n>0，解得1≤n≤■，即{ an }前4项为正数，从第5项开始后面的项均为负数，所以Sn的最大值为 S4=■=22.
变式5：已知数列an=-n2 11n 26，其前n项和为Sn，当n为何值时数列{ an }的前n项和Sn取得最大值.
错解展示：由an=-n2 11n 26，可知an是关于n的二次函数，由an=-n2 11n 26>0解得-2 错因剖析：解决该类题型时容易出现两种错误：一种是忽略n∈N？鄢这一条件，很多考生取n时会取非正整数而导致出错；另一种是忽略an=0这一种情况，上面的解法忽略了当n=13时a13=0，因此可得S12=S13，因此Sn取得最大值，所以我们在解题中要注意检验.
正解：由an=-n2 11n 26，可知an是关于n的二次函数，由an=-n2 11n 26>0解得-2 三、设法不当致错
在数列的解题中，还有一种是为了运算的简便，而采取根据对称性设元，但这种做法有可能扩大（或缩小）变量的取值范围，出现与原问题的转化不等价而导致出错.
例8. 已知一个各项均为实数的等比数列，前四项之积为，第二项与第四项之和为，求这个数列的公比.
错解展示：设这一个数列的前四项分别为■，■，aq，aq3，则有■·■·aq·aq3=36，■ aq=5，即a4=36，■ aq=5，由a4=36解得a=■或a=-■，将a=■的值代入■ aq=5得（■q-■）（■q-■）=0，解得q=■或q=■，同理将a=-■的值代入■ aq=5解得q=-■或q=-■，因此公比为q2=■或q2=■，所以这个数列的公比为■或■.
错因剖析：巧设公比可以简化运算、拓展解题思路，但是若忽略其隐含条件，往往会出现增解或漏解的情况.本题设数列的前四项分别为■，■，aq，aq3，则公比为q2，这意味着公比大于零，而原题却没有规定公比大于零，因此这种设法是错误的. 正解：设这一个数列的前四项分别为a，aq，aq2，aq3，由题意得a·aq·aq2·aq3=36，aq aq2=10，即得a4q6=36，aq aq2=10，由a4q6=36解得a2q3=±6，将a2q3=±6代入aq aq2=10解得q=■或■或-■或-6.
四、对数列的条件关系运用不当致错
例9. 已知数列{ an }和{ bn }都是等差数列，Sn和Tn分别是它们的前n项和，且■=■，求■.
错解展示1：因为■=■，所以可设Sn=7n 2，Tn=n 3，所以a7=S7-S6=7×7 2-（7×6 2）=7，b7=T7-T6=7 3-（6 3）=1，故■=7.
错解展示2：因为■=■，所以可设Sn= k（7n 2），Tn=k（n 3），于是有a7=S7-S6=k（7×7 2）-k（7×6 2）=7k，b7=T7-T6=k（7 3）-k（6 3）=k，故有■=■=7.
错因剖析：错解1和错解2都犯偷换题设的错误，由Sn=na1 ■d可知，只有当等差数列是常数列时，才能将其前n项和设为Sn=an b的形式，而本题并没有这样的条件，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位，比如错解1就由■=■，误认为Sn=7n 2，Tn=n 3，错解2认为由■=■，所以可设Sn=k（7n 2），Tn=k（n 3），这些都是对等差数列的条件关系运用不恰当所致. 因为等差数列的前n项和Sn不是n的一次函数，而是关于n的二次函数，所以本题应设Sn=kn（7n 2），Tn=kn（n 3）.
正解1：设Sn=kn（7n 2），Tn=kn（n 3），
a7=S7-S6=7k（7×7 2）-6k（7×6 2）=93k，b7=T7-T6=7k（7 3）-6k（6 3）=16k，■=■=■.
正解2：由■=■，因此利用等差数列的性质可得：■=■=■=■=■=■.
【点评】本题中只要认识到等差数列的前n项和Sn不是n的一次函数，而是关于n的二次函数即不会犯错.就上面的解法来看，解法2显然比解法1要简洁很多，这主要是将等差数列的通项an、bn与前n项和Sn联系起来，在已知与未知之间架起了桥梁，为我们解决这一类问题提供了精妙的解法.其实对于等差数列来讲，可以把■用Sn和Tn表示出来：■=■=■=■=■，即在等差数列{ an }和{ bn }中，通项an和bn与前n项Sn和Tn与之比有如下关系： ■=■.
五、数列求和时裂项出错或消项致错
在用裂项相消法求和时，很多考生往往会由于裂项不正确或消项出错而导致求和出错.
例10. 求和：Sn=■ ■ ■ … ■.
错解展示1：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=（■-■），因此有Sn=■ ■ ■ … ■=（1-■） （■-■） … （■-■）=1-■.
错解展示2：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=（■-■），因此，
Sn=■ ■ ■ … ■=2[（1-■） （■-■） … （■-■）]=2（1 ■-■）=■.
错因剖析：本题中的错解1是由于裂项致错，■裂项应裂为 2（■-■），而不是■-■；错解2是由于裂项求和时对于消去哪些项不清而导致出错，其实在处理消项问题时，为了避免出错，可以把前面和后面都多写几项出来，然后弄清楚消项的规律，这样就可以避免出错.
正解：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=2（■-■），因此有：
Sn=■ ■ ■ … ■=2[（1-■） （■-■） … （■-■）]=2（1-■）=■.
六、错用等差数列、等比数列性质致误
由于等差数列和等比数列的性质较多，很多考生在运用过程中会混淆或不理解它们的性质致误，因此我们在备考过程中要时刻注意它们的区别，理解它们的应用范围，这样才可以避免出错.
例11. 已知等差数列{ an }的前n项和为Sn，若a2 a4 a15是一个确定的常数，那么数列{ an }各数也是确定的常数的是（ ）
A. S13 B. S15 C. S20 D. S8
错解展示：选C，由等差数列性质可知：a2 a4 a15=a10 a11=a1 a20，因此S20=■ 有为定值.
错因剖析：本题中主要是由于错用了等差数列的性质：在等差数列中，若m n=p q，则有am an=ap aq. 而以上解法只注意到了下标之和相等，因此出现了am an=am n的性质而导致出错，所以出现了a2 a4 a15=a10 a11=a1 a20是错误的，因此我们在解题中一定要在理解性质的推导的基础上应用性质，这样才可以避免出错.
正解：设等差数列{ an }的公差为d，由a2 a4 a15是一个确定的常数，即a2 a4 a15=3a1 （1 3 14）d=3（a1 6d）=3a7，因此可得a7 是一个确定的常数，而S13=■=■=13a7，所以S13也是确定的常数.
七、觅纠错之道及备考策略
根据以上的总结和归纳可知，对于数列中考生易错的主要有以下几个方面：①知识性的错误，如对定义、性质、定理误用引发的错误，即对有关数列的基本公式、基本概念不熟悉或對公式的应用不熟练，对公式成立的条件不明确、对等差等比的性质不理解或不熟练等；②忽略题目或者数列本身的限制条件，比如等比数列的公比和各项均不为零，等比数列求和公式中的公比要分为q=1或q≠1两种情况，数列中的下标要求是正整数等；③审题不严，推理或运算中错误，耐性不足，运算复杂，化简不出；④数学思想方法应用弱，加上忽略题目中的隐含条件，从而导致对分类讨论思想、函数与方程思想理解应用不透彻等；⑤思维定势、思维僵化错误，由于不理解其本质，会偷换概念等.其实考生在学习过程中， 理解上存在偏差， 解题中出现错误， 这些都是很自然的现象. 但关键我们在平时备考过程中要用心捕捉，发现错误， 认真分析，提炼平时错误中的可贵资源，预防错误的再发生.因此我们要在备考过程中做到下列几点. （1）加强对定义、性质、公式等概念的理解和把握
高考对数列的考查，既注重对等差数列和等比数列概念及性质等基础知识和基本方法的考查，又重视运算方法及思想方法的考查，在这近三年中全国卷更为突出地对定义、公式等知识的来龙去脉的考查.因此在复习备考时要加强对定义、公式、性质等概念的理解和把握，在理解概念的时候不能只是“蜻蜓点水”，然后以大量的练习来巩固概念，不能对定义、概念、性质等处“夹生饭”的状态，更不能靠题海战术来强化对知识的理解，只有平时解题中多“悟”、多“思”，要将数列中的有关定义、公式、定理等内容有机地串联起来，形成定理与公式之间的有机联系，用理解的观念整体把握，让考生在学习中真正地理解和运用.
（2）加强运算能力，重视规范解答
全国卷对于数列内容的考查虽难度不大，但是考生要想把数列题的分数都拿下来，就要很细心，防止因计算错误导致失分. 因此我们在备考中就要加强的运算能力、提高运算能力，要平时解题中注重算理，只有长期不懈地注重运算能力的培养，才可以在高考中运筹帷幄于决胜之颠.另外就是由于数列有可能放在第一道解答题中，所以我们要注意答题规范，克服“会而不对，对而不全”的问题，比如在利用an=Sn-Sn-1 公式时要分n=1和n≥2两种情况来讨论等，只有在平时训练时重视解题过程的语言表述规范，“会做”题才能“得满分”.
（3）加强思想方法的理解，在解题中加以强化掌握
数列是一种特殊的函数，加上数列这部分的公式和性质又比较多，在公式和性质的推导过程中又蕴含很多思想方法，因此我们在备考过程中要加强思想方法的理解：如①分类讨论思想，例如利用等比数列求和公式时要考虑q=1和q≠1两种情况；②数形结合思想，数列是一种特殊的函数，因此在备考过程中要学会借助函数的图像来反映数列的性质，要注意数形结合的思想；③化归与转化思想，将数列问题与函数、方程、不等式等知识联系起来，转化成可以解决的问题.因此我们在备考过程中要加以对思想方法的强化.
总之，我们在备考过程中要寻易错之源，觅纠错之道，只要我们在备考过程中针对数列中的易错、易混、易忽略的地方，在平时训练中要着重练习，进行及时的辨、析、正、补等步骤，在練习、纠错过程中升华自己的认识和见解，快速提高防错和解题能力.这样就可以识别错误的“玄机”，必能一题破万题，确保此类问题不再出错.最终实现对数列中的易错、易混、易忽略的问题能识别“庐山真面目”，从而有效地避免出错，最终笑傲2017年的高考.
责任编辑 徐国坚
一、混淆相近的数学概念或概念不清产生的错误
例1. x=■是a， x， b成等比数列的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不要条件
错解展示：此题易错选为A，若x=■，则x2=ab，所以a， x， b成等比数列，当a， x， b成等比数列，则x2=ab，所以x=±■，所以x=■是a， x， b成等比数列的充分不必要条件，故选A.
错因剖析：本题选A的原因主要是知识性的错误，是由概念不清所致，等比数列中要求数列中的每一项及公比不能为零，所以由x2=ab不一定能推出a， x， b成等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，但是不一定推出x=■.
正解：选D，若x=■，则x2=ab，但x， a， b有可能为零，因此推不出成a， x， b等比数列，反过来，a， x， b成等比数列，有x2=ab，所以x=±■，因此x=■是a， x， b成等比数列的既不充分也不要条件.
变式1：已知Sn为数列{ an }的前n项和，且有Sn=bn ■，试判断{ an }是什么数列？
错解展示：由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn ■-（bn-1 ■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，因此有■=b，故{ an }成等比数列.
错因剖析：本题错误的原因就是对等比数列的概念不清晰，忽略等比数列的公比不能为零这一情况，而b=0或b≠0.
正解：当b=0时，显然数列{ an }不成等比数列，此时数列{ an }为常数列；当b≠0时，由已知条件得：当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn ■-（bn-1 ■）=（b-1）bn-1，所以an-1=（b-1）bn-2，所以可得■=b，因此数列{ an }是以公比b的等比数列.
例2. 已知数列{ an }的首项为1，Sn为数列{ an }的前n项和，Sn 1=qSn 1，其中q>0， n∈N？鄢，若2a2，a3，a2 2成等差数列，求{ an }的通项公式.
错解展示：依题意a1=1，a1 a2=qa1 1，2a3=3a2 2，解得a1=1，a2=2，a3=4，因为a2 2=a1a3，所以{ an }是一个等比数列，所以an=2n-1（n∈N？鄢）.
错因剖析：本题由特殊代替一般，即由前3项成等比数列，就错误认为数列{ an }为等比数列，要证明数列为等比数列，要确保任意一项都满足■为同一常数才行.
正解：由已知得Sn 1=qSn 1，Sn 2=qSn 1 1， 两式相减得到an 2=qan 1，n≥1. 又由S2=qS1 1得到a2=qa1，故an 1=qan对所有n≥1都成立. 所以数列{ an }是首项为1，公比为q的等比数列. 从而an=qn-1. 由2a2，a3，a2 2成等比数列可得2a3=3a2 2，即2q2=3q 2，则（2q 1）（q-2）=0，由已知q>0，故q=2. 所以an=2n-1（n∈N？鄢）.
例3. 等比数列{ an }的公比为q，则q>1是“对于任意n∈N？鄢”都有an 1>an的_______条件.
错解展示：当q>1时，很多考生容易错误判断出an 1>an，或当an 1>an时，则错误判断出q>1，因此很多考生会错误判断为充要条件或充分不必要条件或必要不充分条件.
错因剖析：本题主要是由于不理解等比数列的递增数列这个基本概念所致，误认为判断等比数列为递增数列和等差数列为递增数列一样，只需要判断公比的情况，殊不知判断一个等比数列是否为递增数列或递减数列，不单单要考虑公比，还要考虑首项a1才行. 对于等比数列{ an }，若a1>0且q>1（或a1<0且0
正解：在等比数列{ an }中，由于a1没有确定（a1>0或a1<0），因此q>1无法推出数列{ an }为递增数列，即an 1>an，同样由an 1>an，即等比数列{ an }是递增数列，因此可得a1>0且q>1或a1<0且0
二、忽视参数取值范围（或定义域等）导致出错
在数列的解题中，很多考生往往会忽略参数的取值范围或者定义域而导致出错，很多考生的解题过程看似“无懈可击”且不易发现错漏，因此我们在备考过程中要特别重视这类错误.
例4. 已知数列{ an }的前n项和为Sn，且满足Sn=n2 n 1，求数列{ an }的通项公式.
错解展示：由Sn=n2 n 1，可得 an=Sn-Sn-1=n2 n 1-[（n-1）2 （n-1） 1]=2n，因此an=2n.
错因剖析：本题的错误之处在于忽略了公式 an=Sn-Sn-1的范围，只有当n≥2时，公式 an=Sn-Sn-1才成立，当n=1时，a1=S1=3，而a1=3却不满足an=2n，所以要表示成分段函数的形式，因此数列{ an }的通项公式应为an=3， （n=1）2n. （n≥2）由此可见，利用公式an=S1， （n=1）Sn-Sn-1（n≥2）时，要注意对n进行分类讨论，若通项公式能整合则整合，整合不了的则写成分段的形式.
正解：由数列{ an }的前n项和为Sn满足Sn=n2 n 1，可得当n=1时，a1=S1=3，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2 n 1-[（n-1）2 （n-1） 1]=2n，因此an=3， （n=1）2n. （n≥2）
例5. 已知数列{ an }满足a1=1，an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1（n≥2，n∈N？鄢），若ak =50，求k的值.
错解展示：由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1……①可得an 1=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1 ■an……②，②- ①，得an 1-an=■an，因此得■=■……③，由累乘法有an=a1·■·■·■· … ·■=1×■×■×……×■=n，因此an=n，所以由ak =50得k=50.
错因剖析：在本题中，我们要时刻注意使用①和②的取值范围，在①式中n 的范围是n≥2，而②式中n 的范围却是n≥1，所以③式中的取值范围应该是n≥2，而不是n≥1.
正解：由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1……①，可得
an 1=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1 ■an……②，②- ①，得an 1-an=■an，因此得■=■……③，再由an=a1 ■a2 ■a3 … ■an-1可知，a2=■a1=1，由累乘法有■·■· … ·■=■×…×■=■，所以■=■，因此an=■，再由ak =50，解得k=100.
例6. 已知数列{ an }满足an=n2 ？姿n 1，若数列{ an }为单调递增数列，求？姿的取值范围.
错解展示：由an=n2 ？姿n 1可知：an 是关于n 的二次函数，它的对称轴为n=-■，要使数列{ an }为单调递增数列，即an在[1， ∞）上单调递增，因此-■≤1，即？姿≥-2.
错因剖析：主要是很多考生把函数的单调性和数列的单调性弄错，没有认识到an 虽是关于n 的二次函数，但n∈N？鄢，它的图像不是连续的曲线，而是一些孤立的点，只要满足a1
正解2：由数列{ an }为单调递增数列，因此可得an 1>an（n≥1），即 （n 1）2 ？姿（n 1） 1>n2 ？姿n 1，所以？姿>-2n-1对于n≥1恒成立，即？姿>（-2n-1）max，因此可得？姿>-3.
例7. 已知等比数列{ an }的前n项和为Sn ，若a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12-S9成等比数列.
错解展示：设等比数列的公比为q，由a1，a7，a4成等差数列可得2a7=a1 a4，即2a1q6=a1 a1q3，所以2q6-q3-1=0，
而2S3（S12-S9）=■[■-■]=■， 而S■■ =[■]2， 因此有2S3（S12-S9）= a6 2，所以2S3，S6，S12-S9成等比数列.
错因剖析：在利用等比数列求和公式时要注意分q=1和q≠1两种情况，而本题则是忽略了等比数列公比q=1这种情况，甚至会出现漏解或错解得情况，因此我们在解题过程中就要考虑两种情况（q=1和q≠1）. 其实在做等比数列的题目时，我们要时刻注意等比数列的三个“盲点”：一个是等比数列的各项不能为零，二是利用等比数列的求和公式时要注意分开q=1和q≠1来考虑，三是等比数列的公比不能为零.这些都是我们在解题中容易忽略的问题，只有在解题中不断强化，才可以避免出错.
正解：设等比数列的公比为q，由a1，a7，a4成等差数列可得2a7=a1 a4，即2a1q6=a1 a1q3，所以2q6-q3-1=0，当q=1时，S3=3a1，S6=6a1，S12-S9=3a1，所以有2S3（S12-S9）=a6 2，当q≠1时，2S3（S12-S9）=■[■-■]=■.
而S6 2 =[■]2，因此有2S3（S12-S9）=S6 2 ，综上所得2S3，S6，S12-S9成等比数列.
变式3：已知等比数列{ an }的前n项和为Sn，若S3 S6=S9，求等比数列的公比q.
错解展示：由S3 S6=S9，可得■ ■=■，所以q9-q6-q3 1=0，即（q6-1）（q3-1）=0，所以q=1或q=-1.
错因剖析：本题在利用等比数列求和公式时仍是忽略q=1这种情况，这是考生在解题中易遗漏的情况.
正解：当q=1时，由3a1 6a1=9a1可知满足S3 S6=S9，因此q=1满足题意，当q≠1时，由S3 S6=S9可得■ ■=■，所以q9-q6-q3 1=0，即（q6-1）（q3-1）=0，因为q≠1，所以q3-1≠0，因此q6=1，即q=-1，综上可得q=1或q=-1.
变式4：求和：1 2x 3x2 … nxn-1.
错解展示：令Sn=1 2x 3x2 … nxn-1……①
则xSn=x 2x2 3x3 … （n-1）xn-1 nxn……②
①-②得（1-x）Sn=1 x x2 … xn-1-nxn， 所以 Sn=■-■.
错因剖析：本题主要考查错位相减法和等比数列求和公式等基础知识，但是很多考生往往在解题中忽略x=1和x=0这两种情况，这样导致出错.
正解：令Sn=1 2x 3x2 … nxn-1，当x=0时，Sn=1；当x=1时，Sn=1 2 3 … n=■；当x≠1时，Sn=1 2x 3x2 … nxn-1……①
则xSn=x 2x2 3x3 … （n-1）xn-1 nxn……②
①-②得（1-x）Sn=1 x x2 … xn-1-nxn， 所以 Sn=■-■，
综上所得Sn=1， （x=0）■， （x=0）■-■.（x≠1）
例7. 已知等差数列an=13-3n，其前n项和为Sn，求Sn的最大值.
错解展示：由题意，a1=10， Sn=■=-■（n-■）2 ■， 当n=■时，Sn 的最大，最大值是为Sn=■.
错因剖析：数列的自变量是正整数，n不能取■. 因此利用二次函数求最值的方法求和的最大值或最小值时，要注意确保所取n为正自然数才行.
正解1：由an=13-3n可得a1=10， Sn=■=-■（n-■）2 ■，当n=4时，离二次函数对称轴最近，所以 Sn的最大值是为 S4=■=22.
正解2：令an=13-3n>0，解得1≤n≤■，即{ an }前4项为正数，从第5项开始后面的项均为负数，所以Sn的最大值为 S4=■=22.
变式5：已知数列an=-n2 11n 26，其前n项和为Sn，当n为何值时数列{ an }的前n项和Sn取得最大值.
错解展示：由an=-n2 11n 26，可知an是关于n的二次函数，由an=-n2 11n 26>0解得-2
正解：由an=-n2 11n 26，可知an是关于n的二次函数，由an=-n2 11n 26>0解得-2
在数列的解题中，还有一种是为了运算的简便，而采取根据对称性设元，但这种做法有可能扩大（或缩小）变量的取值范围，出现与原问题的转化不等价而导致出错.
例8. 已知一个各项均为实数的等比数列，前四项之积为，第二项与第四项之和为，求这个数列的公比.
错解展示：设这一个数列的前四项分别为■，■，aq，aq3，则有■·■·aq·aq3=36，■ aq=5，即a4=36，■ aq=5，由a4=36解得a=■或a=-■，将a=■的值代入■ aq=5得（■q-■）（■q-■）=0，解得q=■或q=■，同理将a=-■的值代入■ aq=5解得q=-■或q=-■，因此公比为q2=■或q2=■，所以这个数列的公比为■或■.
错因剖析：巧设公比可以简化运算、拓展解题思路，但是若忽略其隐含条件，往往会出现增解或漏解的情况.本题设数列的前四项分别为■，■，aq，aq3，则公比为q2，这意味着公比大于零，而原题却没有规定公比大于零，因此这种设法是错误的. 正解：设这一个数列的前四项分别为a，aq，aq2，aq3，由题意得a·aq·aq2·aq3=36，aq aq2=10，即得a4q6=36，aq aq2=10，由a4q6=36解得a2q3=±6，将a2q3=±6代入aq aq2=10解得q=■或■或-■或-6.
四、对数列的条件关系运用不当致错
例9. 已知数列{ an }和{ bn }都是等差数列，Sn和Tn分别是它们的前n项和，且■=■，求■.
错解展示1：因为■=■，所以可设Sn=7n 2，Tn=n 3，所以a7=S7-S6=7×7 2-（7×6 2）=7，b7=T7-T6=7 3-（6 3）=1，故■=7.
错解展示2：因为■=■，所以可设Sn= k（7n 2），Tn=k（n 3），于是有a7=S7-S6=k（7×7 2）-k（7×6 2）=7k，b7=T7-T6=k（7 3）-k（6 3）=k，故有■=■=7.
错因剖析：错解1和错解2都犯偷换题设的错误，由Sn=na1 ■d可知，只有当等差数列是常数列时，才能将其前n项和设为Sn=an b的形式，而本题并没有这样的条件，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位，比如错解1就由■=■，误认为Sn=7n 2，Tn=n 3，错解2认为由■=■，所以可设Sn=k（7n 2），Tn=k（n 3），这些都是对等差数列的条件关系运用不恰当所致. 因为等差数列的前n项和Sn不是n的一次函数，而是关于n的二次函数，所以本题应设Sn=kn（7n 2），Tn=kn（n 3）.
正解1：设Sn=kn（7n 2），Tn=kn（n 3），
a7=S7-S6=7k（7×7 2）-6k（7×6 2）=93k，b7=T7-T6=7k（7 3）-6k（6 3）=16k，■=■=■.
正解2：由■=■，因此利用等差数列的性质可得：■=■=■=■=■=■.
【点评】本题中只要认识到等差数列的前n项和Sn不是n的一次函数，而是关于n的二次函数即不会犯错.就上面的解法来看，解法2显然比解法1要简洁很多，这主要是将等差数列的通项an、bn与前n项和Sn联系起来，在已知与未知之间架起了桥梁，为我们解决这一类问题提供了精妙的解法.其实对于等差数列来讲，可以把■用Sn和Tn表示出来：■=■=■=■=■，即在等差数列{ an }和{ bn }中，通项an和bn与前n项Sn和Tn与之比有如下关系： ■=■.
五、数列求和时裂项出错或消项致错
在用裂项相消法求和时，很多考生往往会由于裂项不正确或消项出错而导致求和出错.
例10. 求和：Sn=■ ■ ■ … ■.
错解展示1：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=（■-■），因此有Sn=■ ■ ■ … ■=（1-■） （■-■） … （■-■）=1-■.
错解展示2：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=（■-■），因此，
Sn=■ ■ ■ … ■=2[（1-■） （■-■） … （■-■）]=2（1 ■-■）=■.
错因剖析：本题中的错解1是由于裂项致错，■裂项应裂为 2（■-■），而不是■-■；错解2是由于裂项求和时对于消去哪些项不清而导致出错，其实在处理消项问题时，为了避免出错，可以把前面和后面都多写几项出来，然后弄清楚消项的规律，这样就可以避免出错.
正解：由等差数列的前n项和公式可得1 2 3 … n=■，所以■=■=2（■-■），因此有：
Sn=■ ■ ■ … ■=2[（1-■） （■-■） … （■-■）]=2（1-■）=■.
六、错用等差数列、等比数列性质致误
由于等差数列和等比数列的性质较多，很多考生在运用过程中会混淆或不理解它们的性质致误，因此我们在备考过程中要时刻注意它们的区别，理解它们的应用范围，这样才可以避免出错.
例11. 已知等差数列{ an }的前n项和为Sn，若a2 a4 a15是一个确定的常数，那么数列{ an }各数也是确定的常数的是（ ）
A. S13 B. S15 C. S20 D. S8
错解展示：选C，由等差数列性质可知：a2 a4 a15=a10 a11=a1 a20，因此S20=■ 有为定值.
错因剖析：本题中主要是由于错用了等差数列的性质：在等差数列中，若m n=p q，则有am an=ap aq. 而以上解法只注意到了下标之和相等，因此出现了am an=am n的性质而导致出错，所以出现了a2 a4 a15=a10 a11=a1 a20是错误的，因此我们在解题中一定要在理解性质的推导的基础上应用性质，这样才可以避免出错.
正解：设等差数列{ an }的公差为d，由a2 a4 a15是一个确定的常数，即a2 a4 a15=3a1 （1 3 14）d=3（a1 6d）=3a7，因此可得a7 是一个确定的常数，而S13=■=■=13a7，所以S13也是确定的常数.
七、觅纠错之道及备考策略
根据以上的总结和归纳可知，对于数列中考生易错的主要有以下几个方面：①知识性的错误，如对定义、性质、定理误用引发的错误，即对有关数列的基本公式、基本概念不熟悉或對公式的应用不熟练，对公式成立的条件不明确、对等差等比的性质不理解或不熟练等；②忽略题目或者数列本身的限制条件，比如等比数列的公比和各项均不为零，等比数列求和公式中的公比要分为q=1或q≠1两种情况，数列中的下标要求是正整数等；③审题不严，推理或运算中错误，耐性不足，运算复杂，化简不出；④数学思想方法应用弱，加上忽略题目中的隐含条件，从而导致对分类讨论思想、函数与方程思想理解应用不透彻等；⑤思维定势、思维僵化错误，由于不理解其本质，会偷换概念等.其实考生在学习过程中， 理解上存在偏差， 解题中出现错误， 这些都是很自然的现象. 但关键我们在平时备考过程中要用心捕捉，发现错误， 认真分析，提炼平时错误中的可贵资源，预防错误的再发生.因此我们要在备考过程中做到下列几点. （1）加强对定义、性质、公式等概念的理解和把握
高考对数列的考查，既注重对等差数列和等比数列概念及性质等基础知识和基本方法的考查，又重视运算方法及思想方法的考查，在这近三年中全国卷更为突出地对定义、公式等知识的来龙去脉的考查.因此在复习备考时要加强对定义、公式、性质等概念的理解和把握，在理解概念的时候不能只是“蜻蜓点水”，然后以大量的练习来巩固概念，不能对定义、概念、性质等处“夹生饭”的状态，更不能靠题海战术来强化对知识的理解，只有平时解题中多“悟”、多“思”，要将数列中的有关定义、公式、定理等内容有机地串联起来，形成定理与公式之间的有机联系，用理解的观念整体把握，让考生在学习中真正地理解和运用.
（2）加强运算能力，重视规范解答
全国卷对于数列内容的考查虽难度不大，但是考生要想把数列题的分数都拿下来，就要很细心，防止因计算错误导致失分. 因此我们在备考中就要加强的运算能力、提高运算能力，要平时解题中注重算理，只有长期不懈地注重运算能力的培养，才可以在高考中运筹帷幄于决胜之颠.另外就是由于数列有可能放在第一道解答题中，所以我们要注意答题规范，克服“会而不对，对而不全”的问题，比如在利用an=Sn-Sn-1 公式时要分n=1和n≥2两种情况来讨论等，只有在平时训练时重视解题过程的语言表述规范，“会做”题才能“得满分”.
（3）加强思想方法的理解，在解题中加以强化掌握
数列是一种特殊的函数，加上数列这部分的公式和性质又比较多，在公式和性质的推导过程中又蕴含很多思想方法，因此我们在备考过程中要加强思想方法的理解：如①分类讨论思想，例如利用等比数列求和公式时要考虑q=1和q≠1两种情况；②数形结合思想，数列是一种特殊的函数，因此在备考过程中要学会借助函数的图像来反映数列的性质，要注意数形结合的思想；③化归与转化思想，将数列问题与函数、方程、不等式等知识联系起来，转化成可以解决的问题.因此我们在备考过程中要加以对思想方法的强化.
总之，我们在备考过程中要寻易错之源，觅纠错之道，只要我们在备考过程中针对数列中的易错、易混、易忽略的地方，在平时训练中要着重练习，进行及时的辨、析、正、补等步骤，在練习、纠错过程中升华自己的认识和见解，快速提高防错和解题能力.这样就可以识别错误的“玄机”，必能一题破万题，确保此类问题不再出错.最终实现对数列中的易错、易混、易忽略的问题能识别“庐山真面目”，从而有效地避免出错，最终笑傲2017年的高考.
责任编辑 徐国坚