论文部分内容阅读
【摘 要】变式教学是中国数学教育的鲜明特色。变式教学常用的技巧有“反、跟、拓、跳”等。对这些技巧的灵活运用，既有助于学生更好地掌握知识，也有助于教学过程的不断创新。
【关键词】变式教学；教学创新
近几十年，关于“中国学习者悖论”的话题，大家一直很感兴趣。所谓“中国学习者悖论”，指的是一方面中国学生的数学学习成绩相当好，但另一方面中国学生的“学习环境”却很差，如学生人数多、教师的教学方法落后等。总之，两者之间看似非常矛盾，这使得许多西方的教育研究者感到极为困惑。
对这个矛盾的分析有很多种，其中中国人自己的研究结果尤其是顾泠沅先生的观点得到了较广泛的认可。他提出，因为中国数学教师教学时善于运用变式的技巧，即注重引导学生对概念和原理进行多角度的理解，注重由浅入深、有层次地推进教学，所以看似落后的教学方式，实则也能够有效引发学生开展有意义的学习。而事实上，中国的数学教师，经过多年的耳濡目染和模仿尝试，也早已经将变式教学内化为自己最常规、最自觉的教学意识，并时刻运用于自己的教学实践中。从某种程度上讲，我们的教学设计能不断地开拓创新，学生的数学学习能如此扎实有效，“变式”在其间的引领和促进是不可忽视的。
下面笔者以“圆柱的认识”四个教学片段来呈现四次不同的变式，并简要说明如此教学中变式技巧的运用策略及相应的一些思考。
一、变式教学中“反转”策略的运用
【片段一】
师：同学们，今天我们要学习“圆柱的认识”。昨晚，老师给大家布置过一个回家作业，要求大家将书本附页中的圆柱手工制作图（如图1）剪好带来。现在请大家拿出来吧！（学生每人拿出两个圆和一个长方形纸片）
师：老师昨天特意没让大家把这些材料粘成一个圆柱。因为，有一个挑战性问题要考大家。
师：已知我们剪好的圆，直径是5cm。如果不用尺量，你能知道我们剪的那个长方形的尺寸吗？
（学生一下子有点无措，教师引导学生先观察思考，再动手自己围一围，仔细研究长方形的尺寸和圆之间的关系）
生：我知道长方形的长和圆的周长是一样的，3.14×5=15.7cm；宽我不能知道，但是我知道这个宽就相当于圆柱的高度。（生纷纷附和）
师：这是为什么呢？
生：因为这个长方形卷起来的时候，长度要和圆的一周正好配起来，而宽度就是卷起来以后圆柱的高度。
（学生边讲边示意，教师适时以课件演示，直观地支撑学生的说法，其他学生都理解赞同）
师：同学们不妨再量一下，看看长度到底是不是15.7cm？
【策略分析】
這个片段，体现了变式设计中的一个“反”字。所谓“反”，是指将原本顺向呈现的学习材料，或者顺向推进的学习过程，反转呈现形式或推进过程，使学生受到的刺激更深刻，学习更加聚焦于知识的本质与关键，知识建构更牢固。
如上述片段，通常的教学形式，是让学生将学具圆柱剪下粘好，然后面对拿在手里的圆柱去研究侧面与底面之间的关系。或者是不粘好圆柱，但请学生计算出圆的周长，量出长方形的长，让学生发现相等，再研究为什么相等。也就是说，要么是先有学具，再研究问题；要么是先有数据，再研究关联。但笔者以为，这两种形式学生受到的刺激都不够强烈，都难以主动、有效地探究侧面与底面之间的关系。此时，反转形式与过程——不用尺量，你能知道我们剪的那个长方形的尺寸吗？如此变式，就逼着学生通过观察与想象，借助操作与推理，思考侧面卷曲的过程，思考侧面与底面之间的对接。同样是理解了关系，但学生经历了一个更充分、深刻的探究过程，表象清晰，理解到位。这样的效果显然是顺向教学所不可比拟的。
二、变式教学中“跟进”策略的运用
【片段二】
在得出“长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高”之后，教学进入一个针对性的巩固练习。
师：同学们，老师这里还有一张黄颜色的纸片（图2），它的长是31.4cm、宽是15.7cm。如果把它当作圆柱的侧面，要给它配两个圆当作底面，要配的圆的直径该是多少厘米呢？
生：用31.4÷3.14=10cm。
生：也可以把15.7cm当底去配圆，那就是15.7÷3.14=5cm。
师：这样的两个圆柱各长得怎么样，你们想象得出吗？
生：一个粗，一个细；一个胖，一个长。
（很多学生努力地想象着，教师适时以动画将长方形卷曲成两个不同的圆柱，让学生体会不同的卷曲得到不同的圆柱）
【策略分析】
这个片段，体现的是变式设计中的“跟”字——有变化地“跟”。学生经历探究获得新知之后，教师马上开展跟进练习，让学生对新知加以巩固或运用，这是中国数学教师最自觉的一种教学行为。而且，我们在实施这种教学行为的时候，往往不会机械地、简单地拿一些与例题完全同一层次的习题进行练习，而是注重有变化地跟进。
从上述片段可见，此处的跟进就体现了两点变化。其一，例题原本是想“圆需要配什么尺寸的长方形”，而此处已变化为“长方形需要配怎样的圆”；其二，例题中的圆配长方形，结论是唯一的，而这个练习，答案就变成两种了。两处变化了的跟进练习，对于学生双基的夯实和能力的提升，功效是明显的：更牢固地把握了圆柱侧面与底面的关系，尤其是正反的计算；进一步提升了灵活解决问题的能力，强化了圆柱平面与立体之间的转化意识。一个小小的跟进练习，会顾及并解决后续练习课中的多个知识技能点，这就是中国数学教师教学的鲜明特色。
当然，此处设计也有“反”的意蕴，为突出“跟”字，不再赘述，后文均如此。
三、变式教学中“拓展”策略的运用
【片段三】
师：同学们，我们刚才都是把两个圆配上一个合适的长方形围成圆柱的。不知道大家想过没有，如果就是这两个圆，它们还可以配一个什么图形来围成圆柱呢？ （教师课件呈现图3。学生意想不到还会有这样的问题，一个个盯着屏幕，积极地思索了起来）
（此话一出，学生意见不一，有人认为行，也有人认为不行）
生：平行四边形怎么可能呀？它两条边是斜的，围起来以后要弯的，哪里还对得上呢？
生：一边弯了，另一边也会弯，还是能对上的。
……
师：看来同学们对这个问题争议比较大，关键是左右两条边是斜的，折起来以后是弯的怎么办？很容易的办法——拿这样的一张纸，试试就知道了。
（教师拿出一张平行四边形的纸，弯曲成一个圆柱的样子，两条边恰好紧密对接，学生看得兴致盎然）
师：同学们，配一个平行四边形能围成圆柱，这个问题并不难，难的是你知道这个平行四边形和围成的圆柱之间的关系吗？
（挑战性的问题再次产生，学生对圆柱的高与平行四边形的关系有争论，教师适时拿出刚才的纸包在一个圆柱体上，如图5）
师：同学们请观察，现在这条红色的线就是平行四边形左右两条边，它怎么会是圆柱的高呢？现在我们在这个圆柱上画上一条高，展开它，请注意观察哦！
（随着圆柱侧面平行四边形的展开，学生清晰地看到，圆柱的高就是原来平行四边形的高）
【策略分析】
此片段要说明的是变式教学中“拓”字的运用。所谓“拓”，就是教学时，通过合理的变式，有意识地拓展教学内容中的知识技能或思想方法，使学生所得不局限于刚刚经历的一道题或一节课的学习。这种拓展变式是提升学生能力、发散学生思维的有效手段。
如案例描述，原本这节课要研究的圓柱侧面展开就是长方形，学生搞清长方形的长和宽与圆柱之间的关系就可以了。然而，仅依托长方形，对于让学生体验平面图形和立体图形之间的丰富关系，发展空间感知和空间想象能力，毕竟还是单纯普通了些。此时，简单地一变化——还可以配什么图形来围圆柱？教学一下子就拓宽了方向。平行四边形行不行？为什么行？它和圆柱之间有什么关系？等等问题，又驱动着学生打开思路，大胆想象，深刻地经历了一次虽超越教材却内涵丰富的探究之旅。
从上也可见，“拓”，不在于拓得多，而在于拓得合适，要拓得既贴合学生刚刚之所学，又契合学生能力发展之所向。
四、变式教学中“跳跃”策略的运用
【片段四】
师：通过前面的学习，我们知道，用两个圆，配以合适的长方形或平行四边形，都能围成一个圆柱。事实上，圆柱除了可以这样围成之外，还有一种方法也可以得到。请同学们看这幅图，你想到了什么？
（课件呈现图6）
生：我知道，用一个长方形，搓着转起来，会看到一个圆柱的样子。
师：同学们都想象到了吧，真厉害！老师这里就有一个长12cm、宽5cm的长方形，如果以12cm这条边为轴转起来（图7），我们会得到怎样的一个圆柱呢？
生：底面直径5cm、高12cm。
生：不对，底面半径5cm、高12cm。
师：谁的对呢？请同学们想象它转起来的样子。（在学生想象之后，教师再以课件动态演示，如图8，学生清晰地看到半径的确是5cm）
师：那么，如果以5cm的边为轴，绕出来的圆柱尺寸又是怎样的呢？
生：那一定是底面半径12cm、高5cm的圆柱。
师：是呀！那么，这两个圆柱的大小一样吗？
（生有猜一样的，有猜不一样的，教师不语，课件动态呈现，如图9。学生一看，纷纷嚷起来“第二个要大”）
师：长方形不同的旋转，得到的圆柱不一样。不一样的图形，旋转后得到的立体图形也是不一样的。这里还有一个三角形和梯形（图10），你能想象它们旋转以后会变成怎样的立体图形吗？
（学生想象，教师课件演示，如图11，学生情绪高涨）
【策略分析】
“跳”，是这个教学片段中用到的变式策略。
这个“跳”字，是纵向地往上跳跃的意思，它有别于横向地“拓”。纵向地往上跳跃，那是指教学时，教师意识到知识的深刻内涵或后续发展，因此有意变化学习材料或学习要求，促使学生的学习再往上走一步，以获得更高级的知识，或实现更高位的感悟。
在片段四中，教师意识到圆柱这个立体图形的得出是有两种不同方式的——三个面的围成，一个长方形的旋转。这两种方式反映的是认识几何图形的两种不同思维方式，但于学生空间思维的发展，后者可能更为重要。于是，当教学进入到后程时，课就转变到研究长方形旋转成圆柱的大环节了。如此变化，学生的思维就跳上了一个新的高度。而长方形的旋转，若仅仅定位于能旋转得到圆柱，显然定位就低了。紧跟着的变式——以5cm的边为轴，绕出来的圆柱尺寸又是怎样的呢？这两个圆柱的大小一样吗？两个要求的变化，再次“逼迫”着学生的观察比较、空间想象等能力往高处提升。最后，学习材料变式至三角形和梯形的旋转，学生对知识的理解、对空间的感悟，达到的高度那是显而易见的了。
以上用四个片段，直观地阐述变式教学中的一些策略：反、跟、拓、跳。四个所谓的策略，概括必定不全，用词也不一定恰当，内涵或许更有冲突。深受变式教学理念熏陶的广大教师，都积累着自己熟悉的、善用的策略，也都在自己的教学中深入地实践着、总结着。因此，笔者提炼几个不成熟的策略，以期引发广大教师对变式教学做更多的实践和更深的思考，更好地前行在“数学教育的中国道路”上！
参考文献：
[1]顾泠沅，黄荣金，等.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[J].云南教育（中学教师），2007（3）.
[2]张奠宙，于波.数学教育“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.
（浙江省海盐县教育研训中心 314300）
【关键词】变式教学；教学创新
近几十年，关于“中国学习者悖论”的话题，大家一直很感兴趣。所谓“中国学习者悖论”，指的是一方面中国学生的数学学习成绩相当好，但另一方面中国学生的“学习环境”却很差，如学生人数多、教师的教学方法落后等。总之，两者之间看似非常矛盾，这使得许多西方的教育研究者感到极为困惑。
对这个矛盾的分析有很多种，其中中国人自己的研究结果尤其是顾泠沅先生的观点得到了较广泛的认可。他提出，因为中国数学教师教学时善于运用变式的技巧，即注重引导学生对概念和原理进行多角度的理解，注重由浅入深、有层次地推进教学，所以看似落后的教学方式，实则也能够有效引发学生开展有意义的学习。而事实上，中国的数学教师，经过多年的耳濡目染和模仿尝试，也早已经将变式教学内化为自己最常规、最自觉的教学意识，并时刻运用于自己的教学实践中。从某种程度上讲，我们的教学设计能不断地开拓创新，学生的数学学习能如此扎实有效，“变式”在其间的引领和促进是不可忽视的。
下面笔者以“圆柱的认识”四个教学片段来呈现四次不同的变式，并简要说明如此教学中变式技巧的运用策略及相应的一些思考。
一、变式教学中“反转”策略的运用
【片段一】
师：同学们，今天我们要学习“圆柱的认识”。昨晚，老师给大家布置过一个回家作业，要求大家将书本附页中的圆柱手工制作图（如图1）剪好带来。现在请大家拿出来吧！（学生每人拿出两个圆和一个长方形纸片）
师：老师昨天特意没让大家把这些材料粘成一个圆柱。因为，有一个挑战性问题要考大家。
师：已知我们剪好的圆，直径是5cm。如果不用尺量，你能知道我们剪的那个长方形的尺寸吗？
（学生一下子有点无措，教师引导学生先观察思考，再动手自己围一围，仔细研究长方形的尺寸和圆之间的关系）
生：我知道长方形的长和圆的周长是一样的，3.14×5=15.7cm；宽我不能知道，但是我知道这个宽就相当于圆柱的高度。（生纷纷附和）
师：这是为什么呢？
生：因为这个长方形卷起来的时候，长度要和圆的一周正好配起来，而宽度就是卷起来以后圆柱的高度。
（学生边讲边示意，教师适时以课件演示，直观地支撑学生的说法，其他学生都理解赞同）
师：同学们不妨再量一下，看看长度到底是不是15.7cm？
【策略分析】
這个片段，体现了变式设计中的一个“反”字。所谓“反”，是指将原本顺向呈现的学习材料，或者顺向推进的学习过程，反转呈现形式或推进过程，使学生受到的刺激更深刻，学习更加聚焦于知识的本质与关键，知识建构更牢固。
如上述片段，通常的教学形式，是让学生将学具圆柱剪下粘好，然后面对拿在手里的圆柱去研究侧面与底面之间的关系。或者是不粘好圆柱，但请学生计算出圆的周长，量出长方形的长，让学生发现相等，再研究为什么相等。也就是说，要么是先有学具，再研究问题；要么是先有数据，再研究关联。但笔者以为，这两种形式学生受到的刺激都不够强烈，都难以主动、有效地探究侧面与底面之间的关系。此时，反转形式与过程——不用尺量，你能知道我们剪的那个长方形的尺寸吗？如此变式，就逼着学生通过观察与想象，借助操作与推理，思考侧面卷曲的过程，思考侧面与底面之间的对接。同样是理解了关系，但学生经历了一个更充分、深刻的探究过程，表象清晰，理解到位。这样的效果显然是顺向教学所不可比拟的。
二、变式教学中“跟进”策略的运用
【片段二】
在得出“长方形的长等于圆柱底面的周长，长方形的宽等于圆柱的高”之后，教学进入一个针对性的巩固练习。
师：同学们，老师这里还有一张黄颜色的纸片（图2），它的长是31.4cm、宽是15.7cm。如果把它当作圆柱的侧面，要给它配两个圆当作底面，要配的圆的直径该是多少厘米呢？
生：用31.4÷3.14=10cm。
生：也可以把15.7cm当底去配圆，那就是15.7÷3.14=5cm。
师：这样的两个圆柱各长得怎么样，你们想象得出吗？
生：一个粗，一个细；一个胖，一个长。
（很多学生努力地想象着，教师适时以动画将长方形卷曲成两个不同的圆柱，让学生体会不同的卷曲得到不同的圆柱）
【策略分析】
这个片段，体现的是变式设计中的“跟”字——有变化地“跟”。学生经历探究获得新知之后，教师马上开展跟进练习，让学生对新知加以巩固或运用，这是中国数学教师最自觉的一种教学行为。而且，我们在实施这种教学行为的时候，往往不会机械地、简单地拿一些与例题完全同一层次的习题进行练习，而是注重有变化地跟进。
从上述片段可见，此处的跟进就体现了两点变化。其一，例题原本是想“圆需要配什么尺寸的长方形”，而此处已变化为“长方形需要配怎样的圆”；其二，例题中的圆配长方形，结论是唯一的，而这个练习，答案就变成两种了。两处变化了的跟进练习，对于学生双基的夯实和能力的提升，功效是明显的：更牢固地把握了圆柱侧面与底面的关系，尤其是正反的计算；进一步提升了灵活解决问题的能力，强化了圆柱平面与立体之间的转化意识。一个小小的跟进练习，会顾及并解决后续练习课中的多个知识技能点，这就是中国数学教师教学的鲜明特色。
当然，此处设计也有“反”的意蕴，为突出“跟”字，不再赘述，后文均如此。
三、变式教学中“拓展”策略的运用
【片段三】
师：同学们，我们刚才都是把两个圆配上一个合适的长方形围成圆柱的。不知道大家想过没有，如果就是这两个圆，它们还可以配一个什么图形来围成圆柱呢？ （教师课件呈现图3。学生意想不到还会有这样的问题，一个个盯着屏幕，积极地思索了起来）
（此话一出，学生意见不一，有人认为行，也有人认为不行）
生：平行四边形怎么可能呀？它两条边是斜的，围起来以后要弯的，哪里还对得上呢？
生：一边弯了，另一边也会弯，还是能对上的。
……
师：看来同学们对这个问题争议比较大，关键是左右两条边是斜的，折起来以后是弯的怎么办？很容易的办法——拿这样的一张纸，试试就知道了。
（教师拿出一张平行四边形的纸，弯曲成一个圆柱的样子，两条边恰好紧密对接，学生看得兴致盎然）
师：同学们，配一个平行四边形能围成圆柱，这个问题并不难，难的是你知道这个平行四边形和围成的圆柱之间的关系吗？
（挑战性的问题再次产生，学生对圆柱的高与平行四边形的关系有争论，教师适时拿出刚才的纸包在一个圆柱体上，如图5）
师：同学们请观察，现在这条红色的线就是平行四边形左右两条边，它怎么会是圆柱的高呢？现在我们在这个圆柱上画上一条高，展开它，请注意观察哦！
（随着圆柱侧面平行四边形的展开，学生清晰地看到，圆柱的高就是原来平行四边形的高）
【策略分析】
此片段要说明的是变式教学中“拓”字的运用。所谓“拓”，就是教学时，通过合理的变式，有意识地拓展教学内容中的知识技能或思想方法，使学生所得不局限于刚刚经历的一道题或一节课的学习。这种拓展变式是提升学生能力、发散学生思维的有效手段。
如案例描述，原本这节课要研究的圓柱侧面展开就是长方形，学生搞清长方形的长和宽与圆柱之间的关系就可以了。然而，仅依托长方形，对于让学生体验平面图形和立体图形之间的丰富关系，发展空间感知和空间想象能力，毕竟还是单纯普通了些。此时，简单地一变化——还可以配什么图形来围圆柱？教学一下子就拓宽了方向。平行四边形行不行？为什么行？它和圆柱之间有什么关系？等等问题，又驱动着学生打开思路，大胆想象，深刻地经历了一次虽超越教材却内涵丰富的探究之旅。
从上也可见，“拓”，不在于拓得多，而在于拓得合适，要拓得既贴合学生刚刚之所学，又契合学生能力发展之所向。
四、变式教学中“跳跃”策略的运用
【片段四】
师：通过前面的学习，我们知道，用两个圆，配以合适的长方形或平行四边形，都能围成一个圆柱。事实上，圆柱除了可以这样围成之外，还有一种方法也可以得到。请同学们看这幅图，你想到了什么？
（课件呈现图6）
生：我知道，用一个长方形，搓着转起来，会看到一个圆柱的样子。
师：同学们都想象到了吧，真厉害！老师这里就有一个长12cm、宽5cm的长方形，如果以12cm这条边为轴转起来（图7），我们会得到怎样的一个圆柱呢？
生：底面直径5cm、高12cm。
生：不对，底面半径5cm、高12cm。
师：谁的对呢？请同学们想象它转起来的样子。（在学生想象之后，教师再以课件动态演示，如图8，学生清晰地看到半径的确是5cm）
师：那么，如果以5cm的边为轴，绕出来的圆柱尺寸又是怎样的呢？
生：那一定是底面半径12cm、高5cm的圆柱。
师：是呀！那么，这两个圆柱的大小一样吗？
（生有猜一样的，有猜不一样的，教师不语，课件动态呈现，如图9。学生一看，纷纷嚷起来“第二个要大”）
师：长方形不同的旋转，得到的圆柱不一样。不一样的图形，旋转后得到的立体图形也是不一样的。这里还有一个三角形和梯形（图10），你能想象它们旋转以后会变成怎样的立体图形吗？
（学生想象，教师课件演示，如图11，学生情绪高涨）
【策略分析】
“跳”，是这个教学片段中用到的变式策略。
这个“跳”字，是纵向地往上跳跃的意思，它有别于横向地“拓”。纵向地往上跳跃，那是指教学时，教师意识到知识的深刻内涵或后续发展，因此有意变化学习材料或学习要求，促使学生的学习再往上走一步，以获得更高级的知识，或实现更高位的感悟。
在片段四中，教师意识到圆柱这个立体图形的得出是有两种不同方式的——三个面的围成，一个长方形的旋转。这两种方式反映的是认识几何图形的两种不同思维方式，但于学生空间思维的发展，后者可能更为重要。于是，当教学进入到后程时，课就转变到研究长方形旋转成圆柱的大环节了。如此变化，学生的思维就跳上了一个新的高度。而长方形的旋转，若仅仅定位于能旋转得到圆柱，显然定位就低了。紧跟着的变式——以5cm的边为轴，绕出来的圆柱尺寸又是怎样的呢？这两个圆柱的大小一样吗？两个要求的变化，再次“逼迫”着学生的观察比较、空间想象等能力往高处提升。最后，学习材料变式至三角形和梯形的旋转，学生对知识的理解、对空间的感悟，达到的高度那是显而易见的了。
以上用四个片段，直观地阐述变式教学中的一些策略：反、跟、拓、跳。四个所谓的策略，概括必定不全，用词也不一定恰当，内涵或许更有冲突。深受变式教学理念熏陶的广大教师，都积累着自己熟悉的、善用的策略，也都在自己的教学中深入地实践着、总结着。因此，笔者提炼几个不成熟的策略，以期引发广大教师对变式教学做更多的实践和更深的思考，更好地前行在“数学教育的中国道路”上！
参考文献：
[1]顾泠沅，黄荣金，等.变式教学：促进有效的数学学习的中国方式[J].云南教育（中学教师），2007（3）.
[2]张奠宙，于波.数学教育“中国道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.
（浙江省海盐县教育研训中心 314300）