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近年来中考的压轴题常常会出现图形运动问题,我们先来回顾一下这些题目.
例1 (2000年吉林省)如图,有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ = PR = 5 cm,QR = 8 cm,点B,C,Q,R在同一条直线l上,当C,Q两点重合时,等腰三角形PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动,t (s)后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S (cm2.)
解答下列问题:
(1) 当t = 3 s时,求S的值.
(2) 当t = 5 s时,求S的值.
(3) 当5 s ≤ t ≤ 8 s时,求S与t的函数关系式,并求出S的最小值.
例2 (2001年天津市)已知:在Rt△ABC中,∠B = 90°,BC = 4 cm,AB = 8 cm,D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点,若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y.
(1) 如图,当AP = 3 cm时,求y的值.
(2) 设AP = x (cm),试用含x的代数式表示y(cm2).
(3) 当y = 2 cm2时,试确定点P的位置.
例1､例2是刚开始出现图形运动问题时我们见到的压轴题,这些题目中的面积关系比较简单,在2002~ 2003年,我们又见到了更复杂一些的图形运动问题,在这些问题中图形运动的速度是变化的,运动中变量之间的关系是由图像形式给出的,例3､例4即是实例.
例3 (2002年吉林省)如图,菱形OABC的边长为4 cm,∠AOC = 60°,动点P从O出发,以1 cm/s的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2 s后,动点Q从O出发,在OA上以1 cm/s的速度,在AB上以2 cm/s的速度沿O→A→B路线运动,过P,Q两点分别作对角线AC的平行线,设P点运动的时间x(s),这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y (cm),请你回答下列问题:
(1) 当x = 3时,y的值是多少?
(2) 就下列各种情形,求y与x之间的函数关系式:
① 0 ≤ x ≤ 2; ② 2 ≤ x ≤ 4;
③ 4 ≤ x ≤ 6; ④ 6 ≤ x ≤ 8.
(3) 在直角坐标系中,用图像表示(2)中的各种情形下y与x的关系.
例4 (2003年吉林省)如图①,在矩形ABCD中,AB = 10 cm,BC = 8 cm,点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D点停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A点停止.若点P､点Q同时出发,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,a(s)时点P､点Q同时改变速度,点P的速度为b(cm/s),点Q的速度变为d(cm). 图②是点P出发x(s)后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图像;图③是点Q出发x(s)后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图像.
(1) 参照图②,求a,b及图②中c的值.
(2) 求d的值.
(3) 设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还须走的路程为y2(cm).请分别写出动点P,Q改变速度后y1,y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P,Q相遇时,x的值.
(4) 当点Q出发_________s时,点P､点Q在运动路线上相距的路程为25 cm.
近两年的图形运动问题表现的形式更加多样化,反映的函数关系也更加深刻.
例5 (2006年长春市)如图1,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t(s).
(1) 求正方形ABCD的边长.
(2) 当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分(如图②所示),求P,Q两点的运动速度.
(3) 求(2)中面积S(平方单位)与时间t(s)的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4) 若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,使∠OPQ = 90°的点P有_______个.
抛物线y = ax2 + bx + c(a≠0)的顶点坐标是- , .
例6 (2007年吉林省)如图①,在边长为8cm的正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A､ 点C同时出发,沿对角线以1 cm/s的相同速度运动,过E作EH垂直于AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG,EB.设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S1,AE,EB,BA围成的图形面积为S2(这里规定:线段的面积为0).E到达C停止,F到达A停止.若E的运动时间为x(s),解答下列问题:
(1) 当0 < x < 8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1 = S2.
(2) ①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式(图②为备用图).②求y的最大值.
此类试题近年来在各地中考试题中还有很多.为什么这几年图形运动问题在中考压轴题中频频出现呢?这是以上这类题目的特点所决定的,当图形的一部分运动时,图形中的某些量或某些关系就随之变化,反映在量的关系上就是函数关系.因此这类题目把几何中的图形变化的关系用函数关系反映出来是很好的代数几何知识相结合应用问题,它集中体现了初中数学知识的综合应用能力,因此受到广泛的关注.
既然此类问题出现这么多,那么怎样解答图形运用问题呢?在学习了图形与函数的基础知识之后,用代数式去表示相关的量就是解题的关键了.
如例1的(3)中,为了求出S与t 的关系,关键是求出S△QBH,S△RCG.而S△QBH = × QB·BH,S△RCG = × CR·CG. 由QB = t - S,BH =(t - S),CR = 8 - t,CG =(8 - t). 正是由于把QB,BH,CR,CG表示出来,S与t的关系也就显现出来.
如例2中的(2),y是矩形的面积,为了求出矩形的面积,关键是求出矩形的长与宽,在图①中,长MN =,宽DN =x - 4,则可以求出y与x的关系;在图②中,长PN =,NH = 2;在图③中BF = 2,BP = 8 - x,从而很容易找到y与x之间的关系.
在例3(2)的图②中,PE = OE = OP = x,并且OF = FQ = OQ = x - 2.从而可以写出2 ≤ x ≤ 4时,y与x的关系;图③中,PE = PB = 8 - x,QF = OQ = x - 2.则可以写出4 ≤ x ≤ 6时,y与x 关系;本题比较困难的是图④中,Q点的速度为原来的2倍,若Q点的速度不变,则AQ = x - 2 - 4 = x - 6,而Q点在AB上的速度为原来的2倍,因此AQ = 2(x - 6) = 2x - 12.从而BQ = QF = BF = 4 - (2x - 12) = 16 - 2x. 这是本题中最难找到的关系,一旦用代数式表示了BQ的长,问题也就迎刃而解了.
在例4中,看懂原题中图②､图③两个图像所反映出来的P,Q两点的运动关系是很重要的,在此基础上,可知6 s后由于P点的速度为2,则点P经过的路程为6 + 2(x - 6),点Q经过的路程为12 + (x - 6). 从而也容易找到y与x的关系并解答此题.
例5(2)中,要求的S为△OPQ的面积,则要写出△OPQ的底与高,底OQ = 4 + t,P到x轴的距离可由过PG⊥y轴于G,而OA = 10,在Rt△APG中,AP = t,则GA =t,从而P到x轴的距离为10 -t.
在例6中,如图①,S1是矩形,HE = x,EF = 16 - 2x,S2是三角形,AE = x,AE边上的高为8,从而可求出S1,S2与x的关系.图②中S1是矩形,HE = 16 - x,EF = 2x - 16,S2是三角形,AE = x,AE边上的高为8,从而也可以求出S1,S2与x的关系.
从上面的分析可以看出以图形运动类的题目为压轴题主要的步骤是写出函数关系,写出函数关系的关键步骤是写出相关的代数式,虽然题目都不相同,但写出代数式这一思路是十分清晰的.
为了使大家理解解题的关键步骤,并使阅读时思路连贯,因此把这六个例题的答案以附录的形式附在后面,做完这些题再看下面的附录,解题的思路就更清楚了.
(本文作者为吉林省教育厅教研室兼职教研员,任2005年长春市中考数学命题组组长,2007年吉林省中考数学命题组组长).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
例1 (2000年吉林省)如图,有一边长为5 cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ = PR = 5 cm,QR = 8 cm,点B,C,Q,R在同一条直线l上,当C,Q两点重合时,等腰三角形PQR以1 cm/s的速度沿直线l按箭头方向开始匀速运动,t (s)后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为S (cm2.)
解答下列问题:
(1) 当t = 3 s时,求S的值.
(2) 当t = 5 s时,求S的值.
(3) 当5 s ≤ t ≤ 8 s时,求S与t的函数关系式,并求出S的最小值.
例2 (2001年天津市)已知:在Rt△ABC中,∠B = 90°,BC = 4 cm,AB = 8 cm,D,E,F分别为AB,AC,BC边上的中点,若P为AB边上的一个动点,PQ∥BC,且交AC于点Q,以PQ为一边,在点A的异侧作正方形PQMN,记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y.
(1) 如图,当AP = 3 cm时,求y的值.
(2) 设AP = x (cm),试用含x的代数式表示y(cm2).
(3) 当y = 2 cm2时,试确定点P的位置.
例1､例2是刚开始出现图形运动问题时我们见到的压轴题,这些题目中的面积关系比较简单,在2002~ 2003年,我们又见到了更复杂一些的图形运动问题,在这些问题中图形运动的速度是变化的,运动中变量之间的关系是由图像形式给出的,例3､例4即是实例.
例3 (2002年吉林省)如图,菱形OABC的边长为4 cm,∠AOC = 60°,动点P从O出发,以1 cm/s的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2 s后,动点Q从O出发,在OA上以1 cm/s的速度,在AB上以2 cm/s的速度沿O→A→B路线运动,过P,Q两点分别作对角线AC的平行线,设P点运动的时间x(s),这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为y (cm),请你回答下列问题:
(1) 当x = 3时,y的值是多少?
(2) 就下列各种情形,求y与x之间的函数关系式:
① 0 ≤ x ≤ 2; ② 2 ≤ x ≤ 4;
③ 4 ≤ x ≤ 6; ④ 6 ≤ x ≤ 8.
(3) 在直角坐标系中,用图像表示(2)中的各种情形下y与x的关系.
例4 (2003年吉林省)如图①,在矩形ABCD中,AB = 10 cm,BC = 8 cm,点P从A出发,沿A→B→C→D路线运动,到D点停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A点停止.若点P､点Q同时出发,点P的速度为1 cm/s,点Q的速度为2 cm/s,a(s)时点P､点Q同时改变速度,点P的速度为b(cm/s),点Q的速度变为d(cm). 图②是点P出发x(s)后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图像;图③是点Q出发x(s)后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图像.
(1) 参照图②,求a,b及图②中c的值.
(2) 求d的值.
(3) 设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还须走的路程为y2(cm).请分别写出动点P,Q改变速度后y1,y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P,Q相遇时,x的值.
(4) 当点Q出发_________s时,点P､点Q在运动路线上相距的路程为25 cm.
近两年的图形运动问题表现的形式更加多样化,反映的函数关系也更加深刻.
例5 (2006年长春市)如图1,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(0,10),(8,4),顶点C,D在第一象限,点P从点A出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点Q从点E(4,0)出发,沿x轴正方向以相同速度运动.当点P到达点C时,P,Q两点同时停止运动,设运动的时间为t(s).
(1) 求正方形ABCD的边长.
(2) 当点P在AB边上运动时,△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(s)之间的函数图像为抛物线的一部分(如图②所示),求P,Q两点的运动速度.
(3) 求(2)中面积S(平方单位)与时间t(s)的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.
(4) 若点P,Q保持(2)中的速度不变,则点P沿着AB边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大;沿着BC边运动时,∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小.当点P沿着这两边运动时,使∠OPQ = 90°的点P有_______个.
抛物线y = ax2 + bx + c(a≠0)的顶点坐标是- , .
例6 (2007年吉林省)如图①,在边长为8cm的正方形ABCD中,E,F是对角线AC上的两个动点,它们分别从点A､ 点C同时出发,沿对角线以1 cm/s的相同速度运动,过E作EH垂直于AC交Rt△ACD的直角边于G,连接HG,EB.设HE,EF,FG,GH围成的图形面积为S1,AE,EB,BA围成的图形面积为S2(这里规定:线段的面积为0).E到达C停止,F到达A停止.若E的运动时间为x(s),解答下列问题:
(1) 当0 < x < 8时,直接写出以E,F,G,H为顶点的四边形是什么四边形,并求x为何值时,S1 = S2.
(2) ①若y是S1与S2的和,求y与x之间的函数关系式(图②为备用图).②求y的最大值.
此类试题近年来在各地中考试题中还有很多.为什么这几年图形运动问题在中考压轴题中频频出现呢?这是以上这类题目的特点所决定的,当图形的一部分运动时,图形中的某些量或某些关系就随之变化,反映在量的关系上就是函数关系.因此这类题目把几何中的图形变化的关系用函数关系反映出来是很好的代数几何知识相结合应用问题,它集中体现了初中数学知识的综合应用能力,因此受到广泛的关注.
既然此类问题出现这么多,那么怎样解答图形运用问题呢?在学习了图形与函数的基础知识之后,用代数式去表示相关的量就是解题的关键了.
如例1的(3)中,为了求出S与t 的关系,关键是求出S△QBH,S△RCG.而S△QBH = × QB·BH,S△RCG = × CR·CG. 由QB = t - S,BH =(t - S),CR = 8 - t,CG =(8 - t). 正是由于把QB,BH,CR,CG表示出来,S与t的关系也就显现出来.
如例2中的(2),y是矩形的面积,为了求出矩形的面积,关键是求出矩形的长与宽,在图①中,长MN =,宽DN =x - 4,则可以求出y与x的关系;在图②中,长PN =,NH = 2;在图③中BF = 2,BP = 8 - x,从而很容易找到y与x之间的关系.
在例3(2)的图②中,PE = OE = OP = x,并且OF = FQ = OQ = x - 2.从而可以写出2 ≤ x ≤ 4时,y与x的关系;图③中,PE = PB = 8 - x,QF = OQ = x - 2.则可以写出4 ≤ x ≤ 6时,y与x 关系;本题比较困难的是图④中,Q点的速度为原来的2倍,若Q点的速度不变,则AQ = x - 2 - 4 = x - 6,而Q点在AB上的速度为原来的2倍,因此AQ = 2(x - 6) = 2x - 12.从而BQ = QF = BF = 4 - (2x - 12) = 16 - 2x. 这是本题中最难找到的关系,一旦用代数式表示了BQ的长,问题也就迎刃而解了.
在例4中,看懂原题中图②､图③两个图像所反映出来的P,Q两点的运动关系是很重要的,在此基础上,可知6 s后由于P点的速度为2,则点P经过的路程为6 + 2(x - 6),点Q经过的路程为12 + (x - 6). 从而也容易找到y与x的关系并解答此题.
例5(2)中,要求的S为△OPQ的面积,则要写出△OPQ的底与高,底OQ = 4 + t,P到x轴的距离可由过PG⊥y轴于G,而OA = 10,在Rt△APG中,AP = t,则GA =t,从而P到x轴的距离为10 -t.
在例6中,如图①,S1是矩形,HE = x,EF = 16 - 2x,S2是三角形,AE = x,AE边上的高为8,从而可求出S1,S2与x的关系.图②中S1是矩形,HE = 16 - x,EF = 2x - 16,S2是三角形,AE = x,AE边上的高为8,从而也可以求出S1,S2与x的关系.
从上面的分析可以看出以图形运动类的题目为压轴题主要的步骤是写出函数关系,写出函数关系的关键步骤是写出相关的代数式,虽然题目都不相同,但写出代数式这一思路是十分清晰的.
为了使大家理解解题的关键步骤,并使阅读时思路连贯,因此把这六个例题的答案以附录的形式附在后面,做完这些题再看下面的附录,解题的思路就更清楚了.
(本文作者为吉林省教育厅教研室兼职教研员,任2005年长春市中考数学命题组组长,2007年吉林省中考数学命题组组长).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”