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函数是整个高中数学的重点，函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占有相当大的比例. 从近几年的高考试题来看，对本部分内容的考查，稳中求变，向着更灵活的方向发展. 对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用问题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果.
重点难点
本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.
重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
方法突破
例1 函数y=ln（1-x）的定义域为（ ）
A. （0，1） B. [0，1）
C. （0，1] D. [0，1]
思索 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围.
破解 根据对数函数真数大于0及二次根号下数大于或等于0得1-x>0，x≥0？圯0≤x<1，即所求函数的定义域为[0，1）. 选B.
点评 函数的定义域即为函数中自变量的取值范围. 定义域是函数的灵魂，求定义域时一定要全面考虑自变量的所有限制条件.
例2 已知函数y=f（x）的定义域为[0，2]，则函数y=的定义域为（ ）
A. [0，1] B. [0，1）
C. [0，1）∪（1，4] D. （0，1）
思索 要求复合函数f（2x）的定义域，应根据f（x）与f（2x）在同一法则的对应下，函数有相同的定义域.
破解 由0≤x≤2得，0≤2x≤2，解得0≤x≤1，又有？摇x-1≠0，故选项B正确.
点评 求函数的定义域看似简单，然而在解决问题中若稍不注意，常会误入歧途，导致失误. 本题解法的道理是：在一个题目中的同一个对应法则的作用下，对自变量的要求一致.
例3 函数f（x）=x-1，x≥0，，x<0.若f（a）>a，则实数a的取值范围是___.
思索 分段函数体现了“分类”的数学方法，也是高考命题的热点之一.
解决此类问题一般需从两方面考虑，必要时可结合图象进行处理.
破解 方法一：当a≥0时，有a-1>a，得a<-2（不符合条件，舍去）；当a<0时，有>a，解得a<-1或a>1，所以a<-1，综上可得a的取值范围是（-∞，-1）.
方法二：分别作出函数f（x）的图象与函数y=x的图象，用两函数交点的横坐标确定a的取值范围.
例4 已知二次函数f（2x 1）=4x2-6x 5，求f（x）的解析式.
思索 已知复合函数f（g（t）），求f（x），可用换元法或配凑法求解；由于f（x）是二次函数，也可采用待定系数法求解.
破解 方法一（换元法）：令2x 1=t（t∈R），则x=，所以f（t）=4-6· 5=t2-5t 9（t∈R），所以f（x）=x2-5x 9.
方法二（配凑法）：因为f（2x 1）=4x2-6x 5=（2x 1）2-5（2x 1） 9，所以f（x）=x2-5x 9.
方法三（待定系数法）：因为f（x）是二次函数，所以可设f（x）=ax2 bx c（a≠0），则f（2x 1）=a（2x 1）2 b（2x 1） c=4ax2 （4a 2b）x a b c. 因为f（2x 1）=4x2-6x 5，所以4a=4，4a 2b=-6，a b c=5，解得a=1，b=-5，c=9.所以f（x）=x2-5x 9.
点评 在使用换元法时应特别注意所换元的取值范围，若本题中已知函数的x≠0，则t≠1，最后注明所求函数的定义域x≠1；在使用待定系数法时，必须明确所求解析式的类型，如一次函数必须设成f（x）=ax b（a≠0），不能遗漏任何一个系数.
例5 已知f（x）满足f 2f（x）=x 1，求f（x）.
思索 欲求f（x），必须消去已知中的f，可由x与的倒数关系，用替换已知式中的x，便可得到另一方程，然后联立解之即可.
破解 因为f 2f（x）=x 1 ①，
所以在原式中以代替x，得f（x） 2f= 1 ②.
由①×2-②，消去f，得3f（x）=2x- 1，即f（x）=x- .
点评 本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，从而得到f（x）的表达式，该方法被称作解方程法，也叫消元法. 若原函数式中含有形如f（x）与f， f（-x）与f（x）的式子，均可以采用此法求f（x）的解析式.
例6 设f（x）是R上的函数，满足f（0）=1，并且对任意实数x，y，都有f（x-y）=f（x）-x（2x-y 1），求f（x）的表达式.
思索 所给函数方程含有两个变量，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件求解即可.
破解 令y=x，得f（0）=f（x）-x（x 1），所以f（x）=x2 x 1.
点评 此法是特殊值法，通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式. 至于取什么特殊值，需要根据题目条件而定.
变式练习 1. 下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ）
A. f（x）=lnx B. f（x）=
C. f（x）=x D. f（x）=ex
2. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x），x≤0，f（x-1）-f（x-2），x>0，则f（2009）的值为（ ）
A. -1？摇？摇？摇？摇？摇B. 0？摇？摇？摇？摇 C. 1？摇？摇？摇？摇 D. 2
3. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6？摇时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A. y= B. y=
C. y= D. y=
？摇？摇4. 设函数f（x）=lg，则f f的定义域为（ ）
A. （-4，0）∪（0，4）
B. （-4，-1）∪（1，4）
C. （-2，-1）∪（1，2）
D. （-4，-2）∪（2，4）
5. 已知f= ，求f（x）的解析式.
参考答案
1. A 由已知可得y=的定义域是（0， ∞）， f（x）=lnx的定义域是（0， ∞）； f（x）=的定义域是{xx≠0}； f（x）=x的定义域是R， f（x）=ex的定义域是R，故选A.
2. C 由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0， f（1）=f（0）-f（-1）=-1， f（2）=f（1）-f（0）=-1， f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0， f（4）=f（3）-f（2）=0-（-1）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1， f（6）=f（5）-f（4）=0. 所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现. 所以f（2009）=f（5）=1，故选C.
3. B 方法一：（特殊取值法）：若x=56，y=5，排除C，D；若x=57，y=6，排除A，所以选B.
方法二：设x=10m α（0≤α≤9），0≤α≤6时，=m =m=，当6<α≤9时，=m =m 1= 1，所以选B.
4. B 方法一：由>0，得f（x）的定义域为{x-2 方法二：因为f f=lg，所以所求函数的定义域为>0的解集，解得x∈（-4，-1）∪（1，4）.
5. 令=t，则x=（t≠1）. 又f= =1 ，所以f（t）=1 （t-1）2 t-1=t2-t 1（t≠1）. 所以f（x）=x2-x 1（x≠1）.
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3. 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4. 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.
典例精讲
重点难点
本部分内容由映射及函数的概念、函数的表示组成，函数的定义域、值域、解析式是构成函数的三大要素. 纵观近几年的高考试题，本节内容以客观题为主，主要考查对概念的理解能力、逻辑思维能力，突出考查函数的三要素、函数的定义域与函数的表示方法、分段函数概念的理解与应用、抽象函数的性质讨论.
重点：掌握映射的概念、函数的概念，掌握分段函数的概念，会求函数的定义域，掌握函数的三种表示法——图象法、列表法、解析法，会求函数的解析式.
难点：函数的概念，求函数的解析式.
方法突破
例1 函数y=ln（1-x）的定义域为（ ）
A. （0，1） B. [0，1）
C. （0，1] D. [0，1]
思索 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围.
破解 根据对数函数真数大于0及二次根号下数大于或等于0得1-x>0，x≥0？圯0≤x<1，即所求函数的定义域为[0，1）. 选B.
点评 函数的定义域即为函数中自变量的取值范围. 定义域是函数的灵魂，求定义域时一定要全面考虑自变量的所有限制条件.
例2 已知函数y=f（x）的定义域为[0，2]，则函数y=的定义域为（ ）
A. [0，1] B. [0，1）
C. [0，1）∪（1，4] D. （0，1）
思索 要求复合函数f（2x）的定义域，应根据f（x）与f（2x）在同一法则的对应下，函数有相同的定义域.
破解 由0≤x≤2得，0≤2x≤2，解得0≤x≤1，又有？摇x-1≠0，故选项B正确.
点评 求函数的定义域看似简单，然而在解决问题中若稍不注意，常会误入歧途，导致失误. 本题解法的道理是：在一个题目中的同一个对应法则的作用下，对自变量的要求一致.
例3 函数f（x）=x-1，x≥0，，x<0.若f（a）>a，则实数a的取值范围是___.
思索 分段函数体现了“分类”的数学方法，也是高考命题的热点之一.
解决此类问题一般需从两方面考虑，必要时可结合图象进行处理.
破解 方法一：当a≥0时，有a-1>a，得a<-2（不符合条件，舍去）；当a<0时，有>a，解得a<-1或a>1，所以a<-1，综上可得a的取值范围是（-∞，-1）.
方法二：分别作出函数f（x）的图象与函数y=x的图象，用两函数交点的横坐标确定a的取值范围.
例4 已知二次函数f（2x 1）=4x2-6x 5，求f（x）的解析式.
思索 已知复合函数f（g（t）），求f（x），可用换元法或配凑法求解；由于f（x）是二次函数，也可采用待定系数法求解.
破解 方法一（换元法）：令2x 1=t（t∈R），则x=，所以f（t）=4-6· 5=t2-5t 9（t∈R），所以f（x）=x2-5x 9.
方法二（配凑法）：因为f（2x 1）=4x2-6x 5=（2x 1）2-5（2x 1） 9，所以f（x）=x2-5x 9.
方法三（待定系数法）：因为f（x）是二次函数，所以可设f（x）=ax2 bx c（a≠0），则f（2x 1）=a（2x 1）2 b（2x 1） c=4ax2 （4a 2b）x a b c. 因为f（2x 1）=4x2-6x 5，所以4a=4，4a 2b=-6，a b c=5，解得a=1，b=-5，c=9.所以f（x）=x2-5x 9.
点评 在使用换元法时应特别注意所换元的取值范围，若本题中已知函数的x≠0，则t≠1，最后注明所求函数的定义域x≠1；在使用待定系数法时，必须明确所求解析式的类型，如一次函数必须设成f（x）=ax b（a≠0），不能遗漏任何一个系数.
例5 已知f（x）满足f 2f（x）=x 1，求f（x）.
思索 欲求f（x），必须消去已知中的f，可由x与的倒数关系，用替换已知式中的x，便可得到另一方程，然后联立解之即可.
破解 因为f 2f（x）=x 1 ①，
所以在原式中以代替x，得f（x） 2f= 1 ②.
由①×2-②，消去f，得3f（x）=2x- 1，即f（x）=x- .
点评 本题是利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函数式子，从而得到f（x）的表达式，该方法被称作解方程法，也叫消元法. 若原函数式中含有形如f（x）与f， f（-x）与f（x）的式子，均可以采用此法求f（x）的解析式.
例6 设f（x）是R上的函数，满足f（0）=1，并且对任意实数x，y，都有f（x-y）=f（x）-x（2x-y 1），求f（x）的表达式.
思索 所给函数方程含有两个变量，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件求解即可.
破解 令y=x，得f（0）=f（x）-x（x 1），所以f（x）=x2 x 1.
点评 此法是特殊值法，通过取某些特殊值代入题设中的等式，可使问题具体化、简单化，从而顺利地找出规律，求出函数的解析式. 至于取什么特殊值，需要根据题目条件而定.
变式练习 1. 下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（ ）
A. f（x）=lnx B. f（x）=
C. f（x）=x D. f（x）=ex
2. 定义在R上的函数f（x）满足f（x）=log2（1-x），x≤0，f（x-1）-f（x-2），x>0，则f（2009）的值为（ ）
A. -1？摇？摇？摇？摇？摇B. 0？摇？摇？摇？摇 C. 1？摇？摇？摇？摇 D. 2
3. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6？摇时再增选一名代表. 那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A. y= B. y=
C. y= D. y=
？摇？摇4. 设函数f（x）=lg，则f f的定义域为（ ）
A. （-4，0）∪（0，4）
B. （-4，-1）∪（1，4）
C. （-2，-1）∪（1，2）
D. （-4，-2）∪（2，4）
5. 已知f= ，求f（x）的解析式.
参考答案
1. A 由已知可得y=的定义域是（0， ∞）， f（x）=lnx的定义域是（0， ∞）； f（x）=的定义域是{xx≠0}； f（x）=x的定义域是R， f（x）=ex的定义域是R，故选A.
2. C 由已知得f（-1）=log22=1，f（0）=0， f（1）=f（0）-f（-1）=-1， f（2）=f（1）-f（0）=-1， f（3）=f（2）-f（1）=-1-（-1）=0， f（4）=f（3）-f（2）=0-（-1）=1，f（5）=f（4）-f（3）=1， f（6）=f（5）-f（4）=0. 所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现. 所以f（2009）=f（5）=1，故选C.
3. B 方法一：（特殊取值法）：若x=56，y=5，排除C，D；若x=57，y=6，排除A，所以选B.
方法二：设x=10m α（0≤α≤9），0≤α≤6时，=m =m=，当6<α≤9时，=m =m 1= 1，所以选B.
4. B 方法一：由>0，得f（x）的定义域为{x-2
5. 令=t，则x=（t≠1）. 又f= =1 ，所以f（t）=1 （t-1）2 t-1=t2-t 1（t≠1）. 所以f（x）=x2-x 1（x≠1）.
1. 理解映射的概念，应注意以下几点
（1）集合A，B及对应法则“f ”是确定的，是一个整体系统.
（2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，这与从集合B到集合A的对应关系一般是不同的.
（3）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应关系的本质特征.
（4）集合A中的不同元素，在集合B中对应的象可以是同一个.
（5）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2. 理解函数的概念，应注意以下几点
（1）函数是从非空数集A到非空数集B的映射关系.
（2）数集A是函数的定义域，函数的值域是数集B的子集.
3. 求函数定义域的基本思路
如果没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意以下几点：
（1）分母不能为0.
（2）对数的真数必须为正.
（3）偶次根式中被开方数应为非负数.
（4）零指数幂中，底数不等于0.
（5）负分数指数幂中，底数应大于0.
（6）若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.
（7）如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义.
如求复合函数的定义域，已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则函数f[g（x）]的定义域是满足不等式a≤g（x）≤b的x的取值范围；一般地，若函数f[g（x）]的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求f（x）的定义域就是求x∈[a，b]时g（x）的值域.
注意：研究函数的有关问题时一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.
4. 求函数解析式的基本策略
函数的解析式是函数与自变量之间建立联系的桥梁，许多和函数有关的问题的解决都离不开解析式，因而求解函数解析式是高考中的热点. 解决这类问题的关键在于抓住函数对应法则“f ”的本质. 下面介绍几种求函数解析式的主要方法.
（1）凑配法：把形如f（g（x））内的g（x）当做整体，在解析式的右端整理成只含有g（x）的形式，再把g（x）用x代替，可得f（x）的解析式.
（2）换元法：已知f（g（x）），求f（x）的解析式，一般可用换元法. 具体为：令t=g（x），再求出f（t），可得f（x）的解析式，换元后要确定新元t的取值范围.
（3）解方程组法：若已知抽象函数的表达式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，然后利用消元法求出f（x）的表达式.
（4）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入相关值求出系数.
（5）赋值法：已知一个关于x，y的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y，得出关于x的函数解析式.
典例精讲