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摘要：“知二补三”是培养学生读图能力的一种方法。主要包括两大类问题：一类是知道形体形状，根据两面投影补画第三视图；另一类是不知道形体的形状，利用两面投影并根据想象补画第三视图。笔者在长期的教学中发现学生对于这类问题的解决常常感到难以入手，没有思路。笔者在本文中根据自己的经验对于这两类问题的解答提出了一些解题思路与方法，并给出了实例加以演示。
关键词：工程制图；知二补三；投影；三视图
作者简介：岳慧（1977-），女，甘肃兰州人，浙江农林大学天目学院，讲师，工学硕士，主要研究方向：工程图学教学、理论与实践研究；党政红（1978-），女，陕西渭南人，浙江农林大学园林学院，讲师，工学硕士，主要研究方向：工程图学教学、理论与实践研究。（浙江 临安 311300）
基金项目：本文系浙江农林大学教改基金资助项目（项目编号：TMZD0804)的部分研究成果。
工程制图是一门形象思维很强的课程，主要是实现从三维视图到二维图形或从二维图形到三维实体的转化。只有不断地由物画图，再由图想物才能培养学生的形象思维能力以及空间想象能力。[1]“知二补三”便是在这一过程中所派生出来的一类常见而又重要的问题之一，同时这一类问题的顺利解决也是学好工程制图课程的一个重要环节。
“知二补三”主要包括两大类问题。一类是知道形体形状，要求根据两面投影补画第三视图；另一类是不知道形体的形状，要求利用两面投影根据想象补画第三视图。在教学过程中，笔者发现学生对于第一类问题大多都能独立解决，但对于第二类问题往往都会感到力不从心，无从下手。根据这几年的教学经验，笔者认为针对这一类问题只要摆正心态，遵循一定的解题技巧，解决起来并不是很难。
一、掌握基本的作图与读图知识
“知二补三”主要是解决复杂组合体的三视图问题，对于常见的组合体的读图与绘图的基本知识和基本方法要能熟练地掌握和灵活地应用。[2]第一，应掌握三视图的基本规律，即“长对正，高平齐，宽相等”的三等规律，这也是解题的通用规律，基本上解题的过程中都要用到这条规律，而且它的灵活利用程度会直接影响到解题的速度和准确率；第二，应掌握各种位置直线和各种位置平面的投影特性，特殊位置的线与面的投影具有积聚性或全等形的特性，一般位置的线与面具有类似性的特性，在解题过程中应灵活运用它们这些性质；第三，应掌握基本形体的投影特性，并能根据基本几何形体的投影图进行形体分析；第四，应按照投影关系把有关视图联系起来分析。
二、正确的调整好心态
在教与学的过程中，笔者发现良好的心态对于作图问题的解决至关重要。遇到没有把握的问题切忌心慌、烦躁，应尽力地调整好自己的心态，使自己保持一种积极而又平和的心态。同时还应不断地告诉自己，任何人遇到这样的问题都不会轻而易举地得出正确的答案，只有一步一个脚印地对一条线、一个面反复分析、反复假设、反复验证，才能得出正确的答案。
三、“知二补三”问题的解法分析
对于知道形体形状，要求根据两面投影补画第三视图的这一类作图问题，首先必须分析三维实体的特点，分析出其所缺投影的形状特征和内部连接情况。具体绘图时有以下三种情况。
（1）知道形体的正面投影与水平投影，补画侧面投影。这主要是利用正面投影与侧面投影的高平齐和水平投影与侧面投影的宽相等定出侧面投影的大体部位，然后再按照形体的左侧表面自下而上，从后至前的顺序画出其内部的具体轮廓。
（2）知道形体的正面投影与侧面投影，补画水面投影。这主要是利用正面投影与水平投影的长对正和水平投影与侧面投影的宽相等定出水平投影的大体部位，然后再按照形体的上侧表面自左而右、从前至后的顺序画出其内部的具体轮廓。
（3）知道形体的水平投影与侧面投影，补画正面投影。这主要是利用正面投影与水平投影的长对正和正面投影与侧面投影的高平齐定出正面投影的大体部位，然后再按照形体的前侧表面自下而上、从左至右的顺序画出其内部的具体轮廓，最后还应分析投影当中是否有不可见的线条，如果有，应用虚线绘制出来。
对于不知道形体的形状，要求利用两面投影并根据想象补画出第三视图，由于这一类问题没有直观图的辅助，做起来就具有一定的难度。可以利用形体分析法或者线面分析法解答这一类问题。
根据形体分析法作图时，应从反映组合体形体特征明显的视图入手，按能反映形体特征的封闭线框划块，把视图分解为若干部分，分别找出每一部分有关投影，利用各部分的两面投影补画第三视图，然后根据他们之间的相对位置进行组合，最后想象出他们的整体形状，反过来再对已有的视图进行验证。
根据线面分析法作图时，主要是根据线面的投影特性分析视图中线段和线框的含义，从边数最多的那个面入手解决，在组合体中边数最多的那个面往往是形体视图中最难的和最有特征的一个面，如果这个面解决了，剩下的问题也就迎刃而解了。
四、“知二补三”问题的实例分析
下面笔者将通过实际例题的解决为大家介绍如何灵活地解决这些看似复杂的问题。
例题1：根据图2形体的直观图，由图1两面投影补画第三视图。
在例题1中，由于有组合体直观图（图2）的帮助，很容易便能够想象出它的组合方式以及正面投影的情况。
从形体的哪一部分入手是学生非常关心的问题，因为这直接关系到做题的速度，常规情况下，同学们按照正面投影反映形体上下与左右关系的情况，总是按照从左至右、从下至上的顺序依次对照直观图绘制投影。
实际上如果按照找特征面，先画特征面的投影的方法进行，（如图3所示）然后把剩余的形体轮廓线补齐，将在很大程度上节约同学们宝贵的时间。[3]
另外对于这类问题的解决，还应充分地了解工程上常用的轴测投影的画法与要求，根据其画三视图时投射的方向千万不能弄错，对于知二补三的问题由于有其他两视图的帮助一般不会弄错，但如果直接要求根据直观图绘制投影时是很容易弄错的。
笔者教大家一个好办法，就是大家在看图时在形体直观图上最靠近作图者的那一点便是水平投影最前、最左的一点。
例题2：根据图4中组合体两面投影补画第三视图。
直观看上去，例题2似乎有一定的难度，但只要遵循上面这一类问题的解法步骤，从形体分析法与线面分析法比较入手。通过对水平投影与侧面投影的分析，知道这一组合体由两大部分组成，后半体是一个标准的八边形柱体水平横放，这一块可以利用形体分析法进行视图分析，在其前侧中心部位与另一复杂体相贯，这一部分如果用形体分析法欠妥，应该采用线面分析法进行视图分析，应从能够反映这一形体特征的那个面入手，只要把这个问题解决了，剩下的问题便非常容易了。
这里能够反映这一形体的特征面是侧面投影中的九边形，通过投影规律分析，可以得知它是一个铅垂面，在水平投影中积聚成一条直线，在其他两个投影面中的投影反映类似性。同时通过对水平投影的分析，得知这一组合体是一个左右对称的形体，只要分析出它的左半部分的投影即可。
反过来，只要把八边形的问题解决了，就等于解决了这一组合体视图的主体部分，剩下的投影问题都与这个八边形有着千丝万缕的联系，只要把他们的联系搞清楚即可，这个对于学生而言大多都可以解决。最后对于不可见的组合体轮廓线，也应充分重视，因为它们也是视图当中不可缺少的组成部分。
五、小结
解决“知二补三”这类作图问题，方法和技巧固然重要，然而要从根本上解决这类问题，必须对形体中基本的点、线、面的投影规律充分掌握，了然于心，同时还必须有一定量的练习，通过这些练习不断地总结经验，加深对理论、规律、方法和技巧的理解。
参考文献：
[1]余明浪.“工程制图”教学改革和探索[J].工程图学学报,2009,30,(5):157-162.
[2]殷佩生,吕秋灵.画法几何及水利工程制图[M].北京:高等教育出版社,2006:128-132.
[3]王德芳,刘政.画法几何及土建水利制图复习自测题集[M].上海:同济大学出版社,2005:44-51.
（责任编辑：沈清）
关键词：工程制图；知二补三；投影；三视图
作者简介：岳慧（1977-），女，甘肃兰州人，浙江农林大学天目学院，讲师，工学硕士，主要研究方向：工程图学教学、理论与实践研究；党政红（1978-），女，陕西渭南人，浙江农林大学园林学院，讲师，工学硕士，主要研究方向：工程图学教学、理论与实践研究。（浙江 临安 311300）
基金项目：本文系浙江农林大学教改基金资助项目（项目编号：TMZD0804)的部分研究成果。
工程制图是一门形象思维很强的课程，主要是实现从三维视图到二维图形或从二维图形到三维实体的转化。只有不断地由物画图，再由图想物才能培养学生的形象思维能力以及空间想象能力。[1]“知二补三”便是在这一过程中所派生出来的一类常见而又重要的问题之一，同时这一类问题的顺利解决也是学好工程制图课程的一个重要环节。
“知二补三”主要包括两大类问题。一类是知道形体形状，要求根据两面投影补画第三视图；另一类是不知道形体的形状，要求利用两面投影根据想象补画第三视图。在教学过程中，笔者发现学生对于第一类问题大多都能独立解决，但对于第二类问题往往都会感到力不从心，无从下手。根据这几年的教学经验，笔者认为针对这一类问题只要摆正心态，遵循一定的解题技巧，解决起来并不是很难。
一、掌握基本的作图与读图知识
“知二补三”主要是解决复杂组合体的三视图问题，对于常见的组合体的读图与绘图的基本知识和基本方法要能熟练地掌握和灵活地应用。[2]第一，应掌握三视图的基本规律，即“长对正，高平齐，宽相等”的三等规律，这也是解题的通用规律，基本上解题的过程中都要用到这条规律，而且它的灵活利用程度会直接影响到解题的速度和准确率；第二，应掌握各种位置直线和各种位置平面的投影特性，特殊位置的线与面的投影具有积聚性或全等形的特性，一般位置的线与面具有类似性的特性，在解题过程中应灵活运用它们这些性质；第三，应掌握基本形体的投影特性，并能根据基本几何形体的投影图进行形体分析；第四，应按照投影关系把有关视图联系起来分析。
二、正确的调整好心态
在教与学的过程中，笔者发现良好的心态对于作图问题的解决至关重要。遇到没有把握的问题切忌心慌、烦躁，应尽力地调整好自己的心态，使自己保持一种积极而又平和的心态。同时还应不断地告诉自己，任何人遇到这样的问题都不会轻而易举地得出正确的答案，只有一步一个脚印地对一条线、一个面反复分析、反复假设、反复验证，才能得出正确的答案。
三、“知二补三”问题的解法分析
对于知道形体形状，要求根据两面投影补画第三视图的这一类作图问题，首先必须分析三维实体的特点，分析出其所缺投影的形状特征和内部连接情况。具体绘图时有以下三种情况。
（1）知道形体的正面投影与水平投影，补画侧面投影。这主要是利用正面投影与侧面投影的高平齐和水平投影与侧面投影的宽相等定出侧面投影的大体部位，然后再按照形体的左侧表面自下而上，从后至前的顺序画出其内部的具体轮廓。
（2）知道形体的正面投影与侧面投影，补画水面投影。这主要是利用正面投影与水平投影的长对正和水平投影与侧面投影的宽相等定出水平投影的大体部位，然后再按照形体的上侧表面自左而右、从前至后的顺序画出其内部的具体轮廓。
（3）知道形体的水平投影与侧面投影，补画正面投影。这主要是利用正面投影与水平投影的长对正和正面投影与侧面投影的高平齐定出正面投影的大体部位，然后再按照形体的前侧表面自下而上、从左至右的顺序画出其内部的具体轮廓，最后还应分析投影当中是否有不可见的线条，如果有，应用虚线绘制出来。
对于不知道形体的形状，要求利用两面投影并根据想象补画出第三视图，由于这一类问题没有直观图的辅助，做起来就具有一定的难度。可以利用形体分析法或者线面分析法解答这一类问题。
根据形体分析法作图时，应从反映组合体形体特征明显的视图入手，按能反映形体特征的封闭线框划块，把视图分解为若干部分，分别找出每一部分有关投影，利用各部分的两面投影补画第三视图，然后根据他们之间的相对位置进行组合，最后想象出他们的整体形状，反过来再对已有的视图进行验证。
根据线面分析法作图时，主要是根据线面的投影特性分析视图中线段和线框的含义，从边数最多的那个面入手解决，在组合体中边数最多的那个面往往是形体视图中最难的和最有特征的一个面，如果这个面解决了，剩下的问题也就迎刃而解了。
四、“知二补三”问题的实例分析
下面笔者将通过实际例题的解决为大家介绍如何灵活地解决这些看似复杂的问题。
例题1：根据图2形体的直观图，由图1两面投影补画第三视图。
在例题1中，由于有组合体直观图（图2）的帮助，很容易便能够想象出它的组合方式以及正面投影的情况。
从形体的哪一部分入手是学生非常关心的问题，因为这直接关系到做题的速度，常规情况下，同学们按照正面投影反映形体上下与左右关系的情况，总是按照从左至右、从下至上的顺序依次对照直观图绘制投影。
实际上如果按照找特征面，先画特征面的投影的方法进行，（如图3所示）然后把剩余的形体轮廓线补齐，将在很大程度上节约同学们宝贵的时间。[3]
另外对于这类问题的解决，还应充分地了解工程上常用的轴测投影的画法与要求，根据其画三视图时投射的方向千万不能弄错，对于知二补三的问题由于有其他两视图的帮助一般不会弄错，但如果直接要求根据直观图绘制投影时是很容易弄错的。
笔者教大家一个好办法，就是大家在看图时在形体直观图上最靠近作图者的那一点便是水平投影最前、最左的一点。
例题2：根据图4中组合体两面投影补画第三视图。
直观看上去，例题2似乎有一定的难度，但只要遵循上面这一类问题的解法步骤，从形体分析法与线面分析法比较入手。通过对水平投影与侧面投影的分析，知道这一组合体由两大部分组成，后半体是一个标准的八边形柱体水平横放，这一块可以利用形体分析法进行视图分析，在其前侧中心部位与另一复杂体相贯，这一部分如果用形体分析法欠妥，应该采用线面分析法进行视图分析，应从能够反映这一形体特征的那个面入手，只要把这个问题解决了，剩下的问题便非常容易了。
这里能够反映这一形体的特征面是侧面投影中的九边形，通过投影规律分析，可以得知它是一个铅垂面，在水平投影中积聚成一条直线，在其他两个投影面中的投影反映类似性。同时通过对水平投影的分析，得知这一组合体是一个左右对称的形体，只要分析出它的左半部分的投影即可。
反过来，只要把八边形的问题解决了，就等于解决了这一组合体视图的主体部分，剩下的投影问题都与这个八边形有着千丝万缕的联系，只要把他们的联系搞清楚即可，这个对于学生而言大多都可以解决。最后对于不可见的组合体轮廓线，也应充分重视，因为它们也是视图当中不可缺少的组成部分。
五、小结
解决“知二补三”这类作图问题，方法和技巧固然重要，然而要从根本上解决这类问题，必须对形体中基本的点、线、面的投影规律充分掌握，了然于心，同时还必须有一定量的练习，通过这些练习不断地总结经验，加深对理论、规律、方法和技巧的理解。
参考文献：
[1]余明浪.“工程制图”教学改革和探索[J].工程图学学报,2009,30,(5):157-162.
[2]殷佩生,吕秋灵.画法几何及水利工程制图[M].北京:高等教育出版社,2006:128-132.
[3]王德芳,刘政.画法几何及土建水利制图复习自测题集[M].上海:同济大学出版社,2005:44-51.
（责任编辑：沈清）